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11.1 不等式
11.1.1 不等式及其解集
1．理解不等式的概念，理解不等式的解與解集的意義，理解它們的區別與聯系.（重點）
2．會用不等式表示簡單問題的數量關系.（難點）
一、新課導入
[情境導入]一輛汽車在一條規定車速應高于60 km/h，且低于100 km/h 的高速公路上行駛，如何用式子來表示汽車在該高速公路上行駛的路程 s (km)與行駛時間 x (h) 之間的關系呢？
二、新知探究
（一）不等式的概念
[提出問題]問題1 一輛汽車在高速公路上勻速行駛，6:00時汽車距前方的A地210 km，汽車要在8:00之前駛過A地，車速應滿足什么條件？
分析：設車速是 x km/h.汽車要在8:00 之前駛過 A 地，
從時間上看，就是以x km/h的速度行駛 210 km的時間不到2 h,這個不等關系可以表示為
從路程上看，就是以x km/h的速度行駛2 h的路程要超過210 km，這個不等關系可以表示為
[交流討論]小組之間交流討論，式子①和式子②有什么共同的特點.
式子里含有不是“=”的符號.
[概念歸納]像①②這樣用符號“＜”或“＞”表示不等關系的式子，叫作不等式. 像 a + 2 ≠ a - 2 這樣用符號“≠”表示不等關系的式子也是不等式.
[針對練習]判斷下列式子是不是不等式：
(1) -3 ＞ 0； (2) 4x ＋ 3y ＜ 0；
(3) x = 3； (4) x2 ＋ xy ＋ y2；
(5) x ＋ 2 ＞ y ＋ 5.
解 ：(1)、(2) 、(5)是不等式；
(3)、(4)不是不等式.
（二）列不等式
[典型例題]例 用不等式表示下列不等關系：
（1）a 與15的和大于27；
（2）b 的一半與3的差是負數；
（3）某縣在鄉村振興項目的援助下，共種植1333 hm 獼猴桃，種植面積超過全縣原有獼猴桃種植面積的18倍.
解：（1）a+15 ＞ 27.
（2）.
（3）設這個縣原有獼猴桃種植面積為x hm ，那么1333＞18x,也可以表示為18x＜1333.
[針對練習]用不等式表示下列不等關系：
（1）x 的 5 倍大于 -7；
（2）a 與 b 的和的一半小于 -1；
（3）長、寬分別為 x cm，y cm 的長方形的面積小于邊長為 a cm 的正方形的面積.
解：（1）5x > -7.
（2）.
（3）xy ＜ a2.
（三）不等式的解與解集
[提出問題]對于不等式 2x > 210 ，當 x =90,110時，不等式成立嗎？
[交流討論]小組之間交流討論，得出結論：
當 x = 90時，180 < 210，不成立；當 x = 110時，220 >210，成立.
[概念歸納]與方程的解類似，我們把使不等式成立的未知數的值叫作不等式的解.例如：110 是 不等式2x＞210的解，而90不是不等式2x＞210的解.
注：代入法是檢驗某個值是否是不等式的解的簡單、實用的方法.
[課件展示]探究 （1）再取x的一些值試一試，看一看哪些是不等式2x＞210的解.
（2）觀察不等式2x＞210 的解，它們都滿足什么條件？
當 x＞105時，不等式 2x＞210 總成立；而當x＜105或 x=105時，不等式 2x＞210不成立.這就是說，任何一個大于105的數都是不等式 2x＞210 的解，這樣的解有無數個；任何一個小于或等于105的數都不是不等式 2x＞210 的解.因此，x＞105表示了能使不等式2x＞210 成立的 x 的取值范圍.
[概念歸納]一般地，一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集.例如 x＞105是不等式 2x＞210 的解集.求不等式的解集的過程叫作解不等式.
想一想：
1. 不等式的解和不等式的解集是一樣的嗎
2. 不等式的解與解不等式一樣嗎？
[歸納總結]
不等式的解與不等式的解集的區別與聯系
[針對練習]下列說法正確的是( A )
A. x = 3 是 2x + 1 > 5 的解
B. x = 3 是 2x + 1 > 5 的唯一解
C. x = 3 不是 2x + 1 > 5 的解
D. x = 3 是 2x + 1 > 5 的解集
（四）在數軸上表示不等式的解集
[提出問題]問題2 如何在數軸上表示出不等式 2x＞210的解集 x＞105呢？
先在數軸上標出表示 105的點 A；點 A 右邊所有的點表示的數都大于 105，而點 A 左邊所有的點表示的數都小于105.因此可以像下圖那樣表示不等式的解集 x > 105.
注意：在表示 105 的點上畫空心圓圈，表示解集不包含這個點所對應的數.
[歸納總結]解集的表示方法：
第一種：用式子 (如 x > 2)，即用最簡形式的不等式 (如 x > a 或 x < a ) 來表示.
第二種：用數軸，一般標出數軸上某一范圍，其中的點對應的數值都是不等式的解.
數軸表示不等式的解集的步驟：第一步：畫數軸；第二步：定界點；第三步：定方向.
[針對練習]利用數軸來表示下列不等式的解集.
(1)x＞-1； (2)x＜.
變式：已知關于 x 的不等式的解集在數軸上表示如圖，你能寫出此解集嗎
解：x＜-2.
[歸納總結]
用數軸表示不等式的解集，應記住下面的規律：
1.大于向右畫，小于向左畫；
2.＞，＜ 畫空心圓圈.
三、課堂小結
四、課堂訓練
1. 下列式子是不等式的有(　D　)
①2x＝20；②3>2；③x≠4－3；④5a＋6b; ⑤x＞2y；⑥1＞3x＋5y； ⑦；⑧＞3.
A．2個　　B．3個　　 C．4個　　　D．5個
2.列不等式：
(1)a與1的和是正數：____a＋1>0____；
(2)a與3的和小于－3：____a＋3<－3____；
(3)a與－2的差大于5：___a－(－2)>5____；
(4)a的5倍小于10：____5a<10___；
(5)a的三分之一大于－7：___a>－7____.
3. 下列不是不等式 5x－3 < 6 的一個解的是 (　B　)
A.1 B.2
C.－1 D.－2
4.直接寫出x+4＜6的解集，并在數軸上表示出來．
解：x＜2．
這個解集可以在數軸上表示為：
本節課通過實例創設情境,從“等”過渡到“不等”,進而探究了不等式的概念、解與解集、在數軸上表示不等式的解集.通過本節課教學,學生對不等式有了進一步的認識,能夠根據題意列出簡單的不等式,并能驗證不等式的解及表示不等式的解集.

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