資源簡介

8.3　實數及其簡單運算
第1課時　實數的相關概念及大小比較
課題 第1課時　實數的相關概念及大小比較 授課人
學習 目標 　　1.了解無理數和實數的概念. 2.會對實數按照一定的標準進行分類,培養分類能力. 3.實數和數軸上的點一一對應.
學習 重點 　　無理數和實數的概念.實數和數軸上的點一一對應.
學習 難點 　　無理數和實數的概念.
教學活動
教學 步驟 師生活動 設計意圖
活動 一: 創設 情境 導入 新課 【課堂引入】 問題1:什么是有理數 有理數怎樣分類 可以寫成分數形式的數稱為有理數,即有理數就是形如(p,q是整數,q≠0)的數.有理數可以分為正有理數、0與負有理數. 問題2:列舉幾個無限不循環小數,你知道的無限不循環小數都有哪些形式 　　以問題的形式對有理數的概念與分類進行復習,進一步感受數系的擴充,體會無限不循環小數和無限循環小數的界定.
活動 二: 探究 與 應用 【探究1】 實數的概念及分類 把下列有理數寫成小數的形式,你發現了什么 4,,-,,,. 可以發現,上面的有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式,即 4=4.0,=2.5,-=-0.6,=6.75,=1.,=0.. 總結: 1.有理數和無理數的概念 事實上,任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式.反過來,任何有限小數或無限循環小數也都是有理數. 通過前面的學習,我們知道,很多數的平方根、立方根是無限不循環小數,例如,,-,,等,π=3.14159265…也是無限不循環小數.從上面的討論可知,無限不循環小數都不是有理數.無限不循環小數又叫作無理數. 像有理數一樣,無理數也有正負之分.例如,,,π是正無理數,-,-,-π是負無理數. 　　對于無理數的學習,聯系有理數的概念,并引導學生對比,區分不同,并能準確地進行判斷.
活動 二: 探究 與 應用 　　常見無理數的形式: a.開方開不盡的數,如,等. b.π及化簡后含有π的數,如,π-1等. c.有規律的無限不循環小數,如0.1010010001…(相鄰的兩個1之間依次多一個0)等. 2.實數的概念及分類 有理數和無理數統稱實數.這樣,我們學過的數可以這樣分類: 實數 由于非0有理數和無理數都有正負之分,所以非0實數也有正負之分,于是實數也可以這樣分類: 實數 【應用舉例】 例1　在實數,0,,2π,0.333…,2.12112111211112…(相鄰的兩個2之間依次多一個1)中,無理數有 (C) A.1個　　　　　B.2個　　　　　C.3個　　　　　D.4個 變式　把下列各數填入相應的集合中:-,,0.3,,,-7.,-3.14152,0,,,-0.2121121112…(相鄰的兩個2之間依次多一個1). 有理數集合:　-,,0.3,,-7.,-3.14152,0,,　…; 無理數集合: ,,-0.2121121112…(相鄰的兩個2之間依次多一個1),　…; 正實數集合: ,0.3,,,,,　…; 負實數集合:　-,-7.,-3.14152,-0.2121121112…(相鄰的兩個2之間依次多一個1),　…. 【探究2】 實數與數軸的對應關系 (1)以單位長度為直徑畫1個圓,它的周長等于π.如圖8-3-4,從原點開始,將這個圓沿數軸向右滾動一周,圓上的一點由原點O到達點O',點O'對應的數是多少 圖8-3-4 師生共同歸納:OO'的長是這個圓的周長,所以點O'對應的數是π.這樣,數軸上的點O'就表示無理數π. 　　 通過具體的實例,加強學生對無理數和實數概念的認識,進一步鞏固新知.
(續表)
活動 二: 探究 與 應用 　　 　圖8-3-5 (2)教師指導學生以單位長度為邊長畫一個正方形(如圖8-3-5),以原點為圓心,正方形的對角線長為半徑畫弧,與正半軸的交點就表示,與負半軸的交點就表示-.(為什么 ) 推測無理數都可以用數軸上的點來表示,從而確定實數與數軸上的點是一一對應關系. 引導學生歸納總結: 每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示;反過來,數軸上的每一個點都表示一個實數.因此,實數與數軸上的點是一一對應的. 【探究3】 實數的大小比較 與規定有理數的大小一樣,對于數軸上的任意兩個點,右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大. 圖8-3-6 與有理數一樣,在實數范圍內: (1)正數大于0,負數小于0,正數大于負數; (2)兩個正數,絕對值大的數較大; (3)兩個負數,絕對值大的數反而小. 【應用舉例】 例2　把下列實數表示在數軸上,并比較它們的大小(用“<”連接): -,,-2,2.5,0. 解:將各數在數軸上表示出來,如圖8-3-7所示. 圖8-3-7 由圖可知,它們的大小為-2<-<0<<2.5. 變式1　在|-5|,0,-3,四個數中,最小的數是 (C) A.|-5|　　　　　B.0　　　　　C.-3　　　　　D. 變式2　比較以下兩個數的大小: ①7　< ;②3　> ; ③-3　< ;④1-　>　1-. 　　 類比有理數的大小比較,實數的大小比較同樣如此,借助數軸比較更形象直觀.
活動 三: 課堂 總結 反思 【小結】 　　提綱挈領,重點突出.
活動 三: 課堂 總結 反思 【當堂訓練】 1.下列各數中,是無理數的是 (D) A.3.1415　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.把下列各數分別填入相應的集合里. -π,-,,,3.14,0,,-,,0.8181181118…(相鄰的兩個8之間依次多一個1). 整數集合:{ …}; 無理數集合:{ …}; 有理數集合:{ …}; 負實數集合:{ …}. 解:整數集合:{,0,,…}; 無理數集合:{-π,,,-,0.8181181118…(相鄰的兩個8之間依次多一個1),…}; 有理數集合:-,,3.14,0,,…; 負實數集合:-π,-,-,…. 3.判斷題. (1)無限小數都是無理數; (2)無理數都是無限小數; (3)用根號表示的數都是無理數; (4)所有有理數都可以用數軸上的點表示,反過來,數軸上的所有點都表示有理數; (5)所有實數都可以用數軸上的點表示,反過來,數軸上的所有點都表示實數. 4.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根與立方根中,哪些是有理數 哪些是無理數 5.把下列實數表示在數軸上,并比較它們的大小(用“<”連接): -2,,,-π. 　　通過設置當堂訓練,進一步鞏固所學新知,同時檢測學習效果,做到“堂堂清”.

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