資源簡介

第2課時(shí)　余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用
題型1 三角形面積公式及其應(yīng)用
例1　在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，則sin B∶sin C=　　　　.
答案　1∶4
解析　因?yàn)镾△ABC=bcsin A，所以c===4，由正弦定理=，得sin B∶sin C=b∶c=1∶4.
反思感悟　對(duì)于面積公式S=absin C=acsin B=bcsin A，總的概括為兩邊與夾角正弦乘積的一半.一般是已知角A就選S=bcsin A，但也要結(jié)合具體條件，要根據(jù)解題目標(biāo)和其他條件(如已知條件中角的大小)選取對(duì)解題有利的面積公式.如已知a，c，就以選S=acsin B為宜.
跟蹤訓(xùn)練1?。?）在△ABC中，若a=3，cos C=，S△ABC=4，則b=　　　　.
答案　2
解析　∵cos C=，∴0°（2）在△ABC中，已知b=2，B=，C=，則c=　　　　，△ABC的面積為　　　　　.
答案　2　+1
解析　由正弦定理得c==2.
又sin A =sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C =，所以△ABC的面積為S=bcsin A=+1.
二、判斷三角形的形狀
例2　在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，試判斷△ABC的形狀.
解　在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得==，
∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2，∴A是直角.
∵A=180°－(B+C)，sin A=2sin Bcos C，∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，∴sin(B－C)=0.
又－90°反思感悟　判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)
（1）利用余弦定理、正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊(或角)的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊(或角)的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.
（2）統(tǒng)一成邊(或角)的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解.
跟蹤訓(xùn)練2?。?）在△ABC中，已知3b=2asin B，且cos B=cos C，A是銳角，則△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
答案　D
解析　由3b=2asin B，得=，根據(jù)正弦定理，得=，所以=，即sin A=.
又A是銳角，所以A=60°.
又cos B=cos C，且B，C都為三角形的內(nèi)角，所以B=C.
故△ABC為等邊三角形.
（2）在△ABC中，若acos C+ccos A=bsin B，則此三角形為(　　)
A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案　C
解析　在△ABC中，由acos C+ccos A=bsin B，以及正弦定理可知，sin Acos C+sin Ccos A=sin2B，
即sin(A+C)=sin B=sin2B，∵0三、正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用
例3　如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A=，B=，AB=6.在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE=1，連接EC，ED.若∠CED=，EC=.
（1）求sin∠BCE的值；
（2）求CD的長.
解?。?）在△BEC中，由正弦定理，知=，
因?yàn)锽=，BE=1，CE=，所以sin∠BCE===.
（2）因?yàn)椤螩ED+∠DEA=B+∠BCE，且∠CED=B=，所以∠DEA=∠BCE，
所以cos∠DEA====.
因?yàn)锳=，所以△AED為直角三角形，又AE=5，所以ED===2.
在△CED中，由余弦定理，得CD2=CE2+DE2－2CE·DE·cos∠CED=7+28－2××2×=49.所以CD=7.
反思感悟　三角形中幾何計(jì)算問題的解題要點(diǎn)及關(guān)鍵
（1）正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運(yùn)算是解題要點(diǎn)，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理.
（2）此類問題突破的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件.
跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在四邊形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5.
（1）求BD的長；
（2）求△ABD的外接圓半徑R；
（3）求AC的長.
解　如圖，由∠DAB=60°，∠BCD=120°，可知四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形.
（1）在△ABD中，由∠DAB=60°，AD=2，AB=5及余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cos∠DAB=52+22－2×5×2×=19.所以BD=.
（2）在△ADB中，由正弦定理，得=2R=，則△ABD的外接圓半徑R=.
（3）在△ABC中，由正弦定理，得=2R=，則AC=×=.
鞏固提升
1.在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a=4，b=3，C=60°，則△ABC的面積為____________.
解析　S△ABC=absin C=×4×3×=3.
2.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若asin A+bsin B解析　根據(jù)正弦定理可得a2+b2由余弦定理得cos C=<0，所以C是鈍角，故△ABC是鈍角三角形.
3. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADC=60°，CD=AD=2，BD=4，則sin B的值為____________.
解析　由題意，得△ADC為等邊三角形，則∠ADB=120°，AC=2，在△ABD中，
由余弦定理，得AB2=BD2+AD2－2BD·ADcos∠ADB=42+22－2×4×2×=28，
則AB=2，在△ABD中，由正弦定理，得=，則sin B==.
4.在△ABC中，sin B=2sin A，a+c=3，且cos C=，則a=　　　　.
答案　1
解析　∵sin B=2sin A，∴b=2a，又a+c=3，∴c=3－a，∴cos C===，整理得a2+2a－3=0，解得a=1(a=－3舍去).
5.如圖所示，在四邊形ABCD中，D=2B，且AD=1，CD=3，cos B=.
（1）求△ACD的面積；
（2）若BC=2，求AB的長.
解?。?）因?yàn)镈=2B，cos B=，所以cos D=cos 2B=2cos2B－1=－.
因?yàn)镈∈(0，π)，所以sin D==.
因?yàn)锳D=1，CD=3，所以△ACD的面積S=AD·CD·sin D=×1×3×=.
（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2－2AD·DC·cos D=12，所以AC=2.
在△ABC中，因?yàn)锽C=2，=，所以===，所以AB=4.
第2頁 共2頁第2課時(shí)　余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用
題型1 三角形面積公式及其應(yīng)用
例1　在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，則sin B∶sin C=　　　　.
跟蹤訓(xùn)練1　（1）在△ABC中，若a=3，cos C=，S△ABC=4，則b=　　　　.
（2）在△ABC中，已知b=2，B=，C=，則c=　　　　，△ABC的面積為　　　　　.
二、判斷三角形的形狀
例2　在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，試判斷△ABC的形狀.
跟蹤訓(xùn)練2?。?）在△ABC中，已知3b=2asin B，且cos B=cos C，A是銳角，則△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
（2）在△ABC中，若acos C+ccos A=bsin B，則此三角形為(　　)
A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
三、正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用
例3　如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A=，B=，AB=6.在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE=1，連接EC，ED.若∠CED=，EC=.
（1）求sin∠BCE的值； （2）求CD的長.
跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在四邊形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5.
（1）求BD的長； （2）求△ABD的外接圓半徑R； （3）求AC的長.
鞏固提升
1.在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a=4，b=3，C=60°，則△ABC的面積為____________.
2.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若asin A+bsin B3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADC=60°，CD=AD=2，BD=4，則sin B的值為____________.
4.在△ABC中，sin B=2sin A，a+c=3，且cos C=，則a=　　　　.
5.如圖所示，在四邊形ABCD中，D=2B，且AD=1，CD=3，cos B=.
（1）求△ACD的面積； （2）若BC=2，求AB的長.
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一、單選題
1.在△ABC中，已知b=5，A=60°，S△ABC=5，則c等于(　　)
A.4 B.16 C.21 D.
答案　A
解析　S△ABC=bcsin A=×5c·=5，解得c=4.
2.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin A∶sin B∶sin C=1∶∶2，則△ABC的形狀是(　　)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.無法判斷
答案　C
解析　在△ABC中，由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=1∶∶2，設(shè)a=x，則b=x，c=2x(x>0)，則a2+b2=c2，故△ABC為直角三角形.
3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acos B+bcos A=4sin C，則△ABC外接圓的面積為(　　)
A.16π B.8π C.2π D.4π
答案　D
解析　由acos B+bcos A=4sin C及正弦定理，可得sin Acos B+sin Bcos A=，化簡得sin(A+B)=，在△ABC中，sin(A+B)=sin C，解得R=2，所以△ABC外接圓的面積為S=πR2=4π.
4.在△ABC中，∠BAC=120°，AD為角A的角平分線，AC=3，AB=6，則AD等于(　　)
A.2 B.2或4 C.1或2 D.5
答案　A
解析　設(shè)AD=x，如圖，∠DAC=∠DAB=60°.
∵AC=3，AB=6，且S△ABC=S△ACD+S△ABD，∴×3×6×=·3x·+·6x·，解得x=2.
5.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積S=.根據(jù)此公式，若acos B+(b－2c)cos A=0，且b2+c2－a2=4，則△ABC的面積為(　　)
A. B.2 C. D.3
答案　C
解析　由正弦定理可知acos B+(b－2c)cos A=0化簡為sin Acos B+(sin B－2sin C)cos A=0，
sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A，即sin(A+B)=sin C=2sin Ccos A，∵sin C≠0，∴cos A=，cos A===，解得bc=4，根據(jù)面積公式可知S===.
6. 如圖，在△ABC中，B=45°，AC=8，D是BC邊上一點(diǎn)，DC=5，DA=7，則AB的長為(　　)
A.4 B.4 C.8 D.4
答案　D
解析　在△ACD中，因?yàn)镈C=5，DA=7，AC=8，所以cos∠ADC===，
因此cos∠ADB=－，所以sin∠ADB=，
又B=45°，DA=7，在△ABD中，由正弦定理，可得=，所以AB===4.
7.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，tan A=，且B為鈍角，則sin A+sin C的取值范圍是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由tan A=以及正弦定理得==，所以sin B=cos A，即sin B=sin，
又B為鈍角，所以+A∈，故B=+A，C=π－(A+B)=－2A>0 A∈，
于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=－2sin2A+sin A+1=－2+，
因?yàn)锳∈，所以0二、多選題
8.(多選)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列等式恒成立的是(　　)
A.a2=b2+c2－2bccos A B.asin B=bsin A C.a=bcos C+ccos B D.acos B+bcos C=c
答案　ABC
解析　對(duì)于A，根據(jù)余弦定理，可得a2=b2+c2－2bccos A，故A正確；
對(duì)于B，根據(jù)正弦定理邊角互化，可得asin B=bsin A ab=ab，故B正確；
對(duì)于C，根據(jù)正弦定理，得a=bcos C+ccos B sin A=sin Bcos C+sin Ccos B sin(B+C)=sin A，故C正確；
對(duì)于D，根據(jù)正弦定理的邊角互化可得，sin Acos B+sin Bcos C=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，
即sin Bcos C=cos Asin B，又sin B≠0，所以cos C=cos A，只有當(dāng)A=C時(shí)，等式成立，故D不正確.
9.在△ABC中，已知B=30°，AB=2，AC=2，則△ABC的面積為(　　)
A. B.2 C.2 D.4
答案　AC
解析　由正弦定理，得sin C==，
又AB>AC，B=30°，故該三角形有兩解，所以C=60°或120°.
當(dāng)C=60°時(shí)，A=90°，S△ABC=AB·AC=2；
當(dāng)C=120°時(shí)，A=30°，S△ABC=AB·AC·sin A=.
所以△ABC的面積為2或.
10.在△ABC中，已知a2tan B=b2tan A，則△ABC的形狀是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
答案　AB
解　a2tan B=b2tan A即=，由正弦定理得=，
又sin A≠0，sin B≠0，所以=，即sin Acos A=sin Bcos B，故sin 2A=sin 2B，
故2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=.
所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.
三、填空題
11.已知銳角△ABC的面積為3，AB=2，BC=6，則角B的大小為　　　　.
答案　45°
解析　∵S△ABC=BC·AB·sin B=×6×2sin B=3，∴sin B=，∵△ABC為銳角三角形，∴B=45°.
12.在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sin Bsin C，則△ABC的形狀為　　　　三角形.
答案　等邊
解析　由sin2A=sin Bsin C和正弦定理，得a2=bc.
因?yàn)?a=b+c，所以a=，所以=bc，整理得(b－c)2=0，所以b=c.
從而a==b=c，故△ABC是等邊三角形.
13.在△ABC中，A=，BC=3，則△ABC的周長的取值范圍為______________.
答案　6sin+3
解析　在△ABC中，由正弦定理得===2，
即AC=2sin B，AB=2sin，所以三角形的周長為BC+AC+AB=3+2sin B+2sin
=3+3sin B+3cos B=6sin+3.
四、解答題
14.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(sin B+sin C)2=sin2A+sin Bsin C.
（1）求A的大?。?br/>（2）若b+c=6，△ABC的面積為2，求a的值.
解?。?）∵(sin B+sin C)2=sin2A+sin Bsin C.
∴由正弦定理，得(b+c)2=a2+bc，即b2+c2－a2=－bc，∴cos A===－，∵A∈(0，π)，∴A=.
（2）∵S△ABC=bcsin A=bc=2，∴bc=8，
又b+c=6，∴a2=b2+c2－2bccos A=(b+c)2－bc=36－8=28，∴a=2.
15．已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
（1）若，求B； （2）若，，求c.
【分析】根據(jù)已知條件利用正弦定理求出角，再根據(jù)已知邊的值利用余弦定理求出邊.
【詳解】（1）已知，由正弦定理可得.
因?yàn)?，所以，此時(shí).
在直角中，，所以.
那么，移項(xiàng)可得.
根據(jù)正切函數(shù)的定義，因?yàn)榍沂侨切蝺?nèi)角，所以，從而得出.
（2）已知，且，所以.
根據(jù)余弦定理，將代入可得.
化簡可得.
將，代入，得到.
即，因?yàn)椋?
16．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，的面積為，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【分析】（1）由，利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再利用兩角和的正弦公式求解；
（2）根據(jù)的面積為，得到，再由余弦定理得到求解；
（3）由余弦定理求得 ，進(jìn)而得到，再利用兩角和的余弦公式求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>由正弦定理得 ．
又因?yàn)椋?，從而得?
又因?yàn)?，因此，又因?yàn)?，所以?br/>（2）因?yàn)榈拿娣e為，即，所以 ①．
又由余弦定理，，得 ②．
因?yàn)椋散佗诮獾?，?br/>（3）由余弦定理得 ，所以，
，，所以．
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一、單選題
1.在△ABC中，已知b=5，A=60°，S△ABC=5，則c等于(　　)
A.4 B.16 C.21 D.
2.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin A∶sin B∶sin C=1∶∶2，則△ABC的形狀是(　　)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.無法判斷
3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acos B+bcos A=4sin C，則△ABC外接圓的面積為(　　)
A.16π B.8π C.2π D.4π
4.在△ABC中，∠BAC=120°，AD為角A的角平分線，AC=3，AB=6，則AD等于(　　)
A.2 B.2或4 C.1或2 D.5
5.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積S=.根據(jù)此公式，若acos B+(b－2c)cos A=0，且b2+c2－a2=4，則△ABC的面積為(　　)
A. B.2 C. D.3
6. 如圖，在△ABC中，B=45°，AC=8，D是BC邊上一點(diǎn)，DC=5，DA=7，則AB的長為(　　)
A.4 B.4 C.8 D.4
7.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，tan A=，且B為鈍角，則sin A+sin C的取值范圍是(　　)
A. B. C. D.
二、多選題
8.(多選)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列等式恒成立的是(　　)
A.a2=b2+c2－2bccos A B.asin B=bsin A C.a=bcos C+ccos B D.acos B+bcos C=c
9.在△ABC中，已知B=30°，AB=2，AC=2，則△ABC的面積為(　　)
A. B.2 C.2 D.4
10.在△ABC中，已知a2tan B=b2tan A，則△ABC的形狀是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
三、填空題
11.已知銳角△ABC的面積為3，AB=2，BC=6，則角B的大小為　　　　.
12.在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sin Bsin C，則△ABC的形狀為　　　　三角形.
13.在△ABC中，A=，BC=3，則△ABC的周長的取值范圍為______________.
四、解答題
14.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(sin B+sin C)2=sin2A+sin Bsin C.
（1）求A的大??； （2）若b+c=6，△ABC的面積為2，求a的值.
15.已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
（1）若，求B； （2）若，，求c.
16．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，的面積為，．
（1）求的值； （2）求的值； （3）求的值．
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