資源簡介

7.3　定義、命題、定理
　　　　　　　　　　　　　　　　　
課題 7.3　定義、命題、定理 授課人
學習 目標 1.掌握命題、定理的概念,并能分清命題的題設和結論. 2.能判定真命題和假命題. 3.能根據已知條件對簡單問題進行證明.
學習 重點 　　掌握命題、定理的概念,并能分清命題的組成.
學習 難點 　　分清命題的組成,并能把一個命題改寫成“如果……那么……”的形式.
教學活動
教學 步驟 師生活動 設計意圖
活動 一: 創設 情境 導入 新課 【課堂引入】 　　下列6個語句,有什么不同 你能對它們進行分類嗎 如果你能分類,分類的依據是什么 (1)熊貓沒有翅膀;(2)對頂角相等;(3)如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行;(4)你喜歡數學嗎 (5)作線段AB=CD;(6)清新的空氣;(7)不許講話. 像(1)(2)(3)這樣可以判斷為正確(或真)或錯誤(或假)的陳述語句,叫作命題. 　　既復習了已學知識,又讓學生認識了命題的多種表現形式.
(續表)
活動 二: 探究 與 應用 【探究1】 定義的概念 　　前面,我們在學習一些新的數學對象時,對它們進行了清晰、明確的描述.例如: (1)規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸; (2)使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值,叫作方程的解; (3)從一個角的頂點出發,把這個角分成兩個相等的角的射線,叫作這個角的平分線; (4)直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫作點到直線的距離. 這樣的描述稱為數學對象的定義.一個數學對象的定義揭示了它的本質特征,能夠幫助我們準確地理解它,并作出準確的判斷. 【探究2】 命題的概念 我們再來看一些可以判斷正確與否的陳述語句,例如: (1)等式兩邊加同一個數,結果仍相等; (2)對頂角相等; (3)如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行; (4)兩條平行直線被第三條直線所截,同旁內角互補; (5)如果一個數能被2整除,那么它也能被4整除. 容易判斷,前4個語句都是正確的,第5個語句是錯誤的.像這樣可以判斷為正確(或真)或錯誤(或假)的陳述語句,叫作命題.被判斷為正確(或真)的命題叫作真命題,被判斷為錯誤(或假)的命題叫作假命題. 【應用舉例】 例1　下列語句是命題的是 (C) A.連接A,B兩點　　　　B.用三角尺畫∠AOB=30° C.兩點之間,線段最短　　D.一個數的立方大于它本身嗎 【探究3】 命題的題設和結論 數學中的命題?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?這時“如果”后接的部分是題設,“那么”后接的部分是結論.有些命題的題設和結論不明顯,要經過分析才能找出來,從而將它們寫成“如果……那么……”的形式. 判斷下列語句是不是命題,如果是命題,指出命題的題設和結論,并判斷此命題是真命題還是假命題. (1)畫射線AC; (2)同位角相等嗎 (3)兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內角互補,那么這兩條直線平行; (4)任意兩個直角都相等; (5)如果兩條直線相交,那么它們只有一個交點; (6)若|x|=|y|,則x=y. 解:(1)(2)不是命題;(3)(4)(5)(6)是命題. (3)題設是兩條直線被第三條直線所截,同旁內角互補,結論是這兩條直線平行,是真命題; (4)題設是兩個角是直角,結論是這兩個角相等,是真命題; (5)題設是兩條直線相交,結論是它們只有一個交點,是真命題; (6)題設是|x|=|y|,結論是x=y,是假命題. 　　通過各類型的語句,探究命題的概念.
(續表)
活動 二: 探究 與 應用 　　有些數學命題,如“對頂角相等”,沒有寫成標準形式,題設和結論不明顯,要認真分析它是由什么來推斷什么,從而把它改寫成標準形式,這樣就容易找到它的題設和結論.如“對頂角相等”改寫成標準形式是“如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等”.有些命題的題設之前還有題設,那么把這兩個題設合起來作為命題的題設,如“兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行”,題設是兩條直線被第三條直線所截,同位角相等,結論是這兩條直線平行. 【應用舉例】 例2　下列語句中,哪些是命題 哪些不是命題 若是命題,則指出是真命題還是假命題,并改寫成“如果……那么……”的形式,再分別找出命題的題設和結論. (1)和為90°的兩個角互為余角; (2)-8小于-6嗎 (3)乘積為1的兩個數互為倒數. 解:(1)是命題,是真命題. 改寫:如果兩個角的和為90°,那么這兩個角互為余角. 題設:兩個角的和為90°.結論:這兩個角互為余角. (2)不是命題. (3)是命題,是真命題. 改寫:如果兩個數的乘積為1,那么這兩個數互為倒數. 題設:兩個數的乘積為1.結論:這兩個數互為倒數. 【探究4】 定理與證明 我們已經知道下列各命題都是正確的,即都是公認的真命題: (1)兩點確定一條直線; (2)兩點之間,線段最短; (3)在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直; (4)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行. 有些命題可以從基本事實或其他真命題出發,用邏輯推理的方法判斷它們是正確的,并且可以作為進一步判斷其他命題真假的依據,這樣的真命題叫作定理. 歸納:定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質屬性,而且還可以作為進一步判斷其他命題真假的依據. 探究證明:根據已知條件,也可以是學過的定義、基本事實、定理等,經過演繹推理,來判斷一個命題的正確性,這樣的推理過程叫作證明. 如圖7-3-2,有下列三個條件: ①DE∥BC;②∠1=∠2;③∠B=∠C. 圖7-3-2 (1)若從這三個條件中任選兩個作為題設,另一個作為結論,組成一個命題,則一共能組成幾個命題 請你把它們寫出來; 　　師生通過例題共同探究確定命題的題設和結論的方法. 引導學生區分命題與定理的關系,且體會數學命題證明的必要性.
(續表)
活動 二: 探究 與 應用 　　(2)請你就其中的一個真命題給出推理過程. 解:(1)一共能組成3個命題,它們是:題設①②,結論③;題設①③,結論②;題設②③,結論①. (2)答案不唯一,如選擇命題:題設①②,結論③. 證明:∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C. 又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C. 歸納總結: 幾何證明的一般步驟: 第一步:根據題意畫出圖形; 第二步:根據命題的題設和結論,結合圖形,寫出已知、求證; 第三步:通過分析,找出證明的方法,寫出證明過程. 在證明幾何命題時,須注意以下幾點: 1.明確題目的題設和結論; 2.證明過程中每一步結果所用的根據必須是得到這一結果的充分理由; 3.要防止利用未學過的定理來證明學過的命題,避免循環論證. 【應用舉例】 例3　如圖7-3-3,已知直線a⊥b,b∥c,求證:a⊥c. 圖7-3-3 證明:∵a⊥b(已知), ∴∠1=90°(垂直的定義). ∵b∥c(已知), ∴∠1=∠2(兩直線平行,同位角相等), ∴∠2=90°(等式的基本事實), ∴a⊥c(垂直的定義). 　　 歸納證明的過程有助于培養學生嚴密的邏輯推理能力,為后續的學習打好基礎.
【拓展提升】 圖7-3-4 例4　如圖7-3-4,已知DP平分∠ADC交AB于點P,∠1+∠3=90°,∠2=∠4. 求證:DP⊥PC. 證明:∵DP平分∠ADC,∴∠3=∠4. ∵∠2=∠4,∴∠2=∠3. 又∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°. 又∵∠1+∠2+∠DPC=180°, ∴∠DPC=90°,∴DP⊥PC. 　　知識的綜合與拓展,提高學生的應考能力.
活動 三: 課堂 總結 反思 【小結】 命題 　　框架圖式總結,更容易形成知識網絡.
(續表)
活動 三: 課堂 總結 反思 【當堂訓練】 1.指出下列命題的題設和結論: (1)若a=b,則5a=5b; (2)如果AB⊥CD,垂足為O,那么∠AOC=90°; (3)如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3; (4)兩直線平行,同位角相等. 　圖7-3-5 2.在下面的括號內,填上推理的依據. 如圖7-3-5,∠A+∠B=180°,求證:∠C+∠D=180°. 證明:∵∠A+∠B=180°, ∴AD∥BC(　　　　　　　　　　), ∴∠C+∠D=180°(　　　　　　　　　　). 3.命題“同位角相等”是正確的嗎 如果是,請說明理由;如果不是,請舉出反例. 4.已知:如圖7-3-6,∠1+∠2=180°,∠A=∠D. 　圖7-3-6 求證:∠B=∠C. 證明:∵∠1與∠CGD是對頂角, ∴∠1=∠CGD(　　　　　　　). 又∵∠1+∠2=180°(　　　　), ∴∠CGD+∠2=180°(　　　　　　), ∴AE∥FD(　　　　　　　　　　　　), ∴∠A=∠BFD(　　　　　　　　　　). 又∵∠A=∠D(　　　　　), ∴∠BFD=∠D(　　　　　　), ∴AB∥CD(　　　　　　　　　　), ∴∠B=∠C(　　　　　　　　　　). [答案:對頂角相等　已知　等量代換　同旁內角互補,兩直線平行　兩直線平行,同位角相等　已知　等量代換　內錯角相等,兩直線平行　兩直線平行,內錯角相等] 　　通過練習,進一步鞏固所學知識,使教師及時了解學生對本課所學知識的掌握情況.
【教學反思】 ①[授課流程反思] 既復習了已學知識,又讓學生認識了命題的多種表現形式,從而使學生明白命題我們都已接觸過,只是沒有從概念上加以澄清,從而消除學生對新知識的恐懼感,增加親切感. ②[講授效果反思] 本節課的教學內容較簡單,通過本節課的教學,學生在區分命題的題設和結論的基礎上知道命題有真假之分,其中有的真命題又叫作定理.對于假命題只要舉出反例加以說明即可,其中推理過程叫作證明. ③[師生互動反思] 學生小組合作學習的積極性較高,體現出學生愿學、樂學的心態,教師要及時地給予鼓勵和表揚. ④[習題反思] 好題題號　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 錯題題號　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　回顧反思,找出差距與不足,形成知識及教學體系,更進一步提升教師教學能力.

展開更多......

收起↑