資源簡介

利用仰、俯角解直角三角形
教學目標
1.了解仰角、俯角等有關概念,經歷對實際問題的探究,會利用解直角三角形的知識解決實際問題.
2.通過在具體情景中從數學的角度發現問題和提出問題,并綜合運用數學知識解決簡單實際問題.
3.經歷將實際問題轉化為數學問題的探究過程,提高應用數學知識解決實際問題的能力.
4.通過探索用解直角三角形知識解決仰角、俯角等有關問題,讓學生體會數學知識的發生、發展、應用過程,并發展學生的動手能力.
5.經歷從實際問題構建數學模型的過程,體會數學來源于生活又應用于生活
教學重點
1.能根據題意畫出示意圖,將實際問題的數量關系轉化為直角三角形元素之間的關系.
教學難點
2.正確理解題意,將實際問題轉化為數學模型的建模過程.
教學過程
（一）復習提問
1.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c.
(1)三邊a,b,c有什么關系
(2)∠A,∠B有怎樣的關系
(3)邊與角之間有怎樣的關系
2.解直角三角形應具備怎樣的條件
【師生活動】學生回答問題,教師點評歸納.
（二）新知講解
1.活動一
(教材例3)2012年6月18日,“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現交會對接.“神舟”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343 km的圓形軌道上運行,如圖所示,當組合體運行到地球表面P點的正上方時,從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置 最遠點與P點的距離是多少(地球半徑約為6400 km,π取3.142,結果取整數)
思路一
師生合作探究
(1)從組合體上最遠能直接看到的地球上的點,應該是視線與地球相切時的切點.
(2)根據題意畫出平面圖形.
(3)所要求的距離是圖形中的哪條線段的長度
(4)已知中有哪些條件 求弧長需要知道哪些條件
(5)弧所對的圓心角在哪個三角形中 你能求出這個角的度數嗎
(如圖②所示,☉O表示地球,點F是組合體的位置,FQ是☉O的切線,切點Q是從組合體中觀測地球時的最遠點.弧PQ的長就是地面上P,Q兩點間的距離.為計算弧PQ的長需先求出∠POQ(即α)的度數)
【師生活動】　教師通過提出的問題引導學生分析思考,指導學生畫出平面圖形,分析已知條件和所求的結論,師生共同分析題意及解題思路后,學生獨立完成并板書解題過程.
教師引導思考:
(1)要解決實際問題,首先要做什么 (將實際問題抽象成數學問題)
(2)如何根據題意畫出平面圖形 (地球平面圖形是圓,組合體近似看作點)
(3)從組合體中看到的地球表面最遠的點在什么位置 (過點作圓的切線,切點即為所求)
學生操作:畫出平面示意圖.
(4)最遠點與P點的距離在示意圖中指的是什么的長
(5)如何求這段距離 和圓有什么關系
(6)如何將所需數據轉化為解直角三角形的知識
【師生活動】　學生嘗試根據圖形寫出解題思路,教師巡視過程中及時幫助有困難的學生,展示解題過程,規范解題格式.
【展示】　解答同思路一.
[設計意圖]　引導學生畫出示意圖,把實際問題轉化為數學問題,分析實際問題中的數量關系,利用解直角三角形的知識解決實際問題,讓學生經歷作圖、分析過程,體會數形結合思想在數學中的應用,提高學生分析問題、解決問題的能力.
2.活動二
【思考】　平時我們觀察物體時,我們的視線相對于水平線來說可有幾種情況
【歸納】　視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角是仰角,視線在水平線下方的角是俯角.
(教材例4)熱氣球的探測器顯示,從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°,看這棟樓底部的俯角為60°,熱氣球與樓的水平距離為120 m,這棟樓有多高(結果取整數)
教師引導分析:
(1)分析題意,已知條件有哪些
(2)你能直接求出AB的長嗎
(3)如何求出BC的長 (線段BD與線段CD的和)
(4)在Rt△ABD中,能否求線段BD的長
(5)在Rt△ACD中,能否求線段CD的長
【展示】　解:如圖所示,α=30°,β=60°,AD=120.
∵tan α= ,tan β=,
∴BD=AD·tan α=120×tan 30°
=120×=40,
CD=AD·tan β=120×tan 60°
=120×=120.
∴BC=BD+CD=40+120
=160≈277(m).
因此,這棟樓高約為277 m.
3.活動三
【思考】　你能總結利用解直角三角形的有關知識解決實際問題的一般過程嗎
【師生活動】　學生思考后小組合作交流,共同歸納解題過程,教師對學生的回答以鼓勵為主,將學生的回答補充完整.
【歸納】
(1)將實際問題抽象成數學問題(畫出示意圖,將其轉化為解直角三角形的問題);
(2)根據問題中的條件,適當選用銳角三角函數解直角三角形;
(3)得到數學問題的答案;
(4)得到實際問題的答案.
[設計意圖]　通過例題的探究,歸納解決實際問題的一般步驟,培養學生歸納總結能力和建模思想.
[知識拓展]　仰角與俯角都是視線與水平線的夾角.
歸納小結
用解直角三角形的有關知識解決實際問題的一般過程:
(1)將實際問題抽象成數學問題(畫出示意圖,將其轉化為解直角三角形的問題);
(2)根據問題中的條件,適當選用銳角三角函數等解直角三角形;
(3)得到數學問題的答案;

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