資源簡介

(共18張PPT)
新湘教版數(shù)學(xué)七年級下冊
運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算和推理
本節(jié)內(nèi)容
1.2.3
第一章 整式的乘法
1.熟練地運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算.
正確選擇乘法公式進(jìn)行運(yùn)算.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
重 點(diǎn)：
前言
綜合運(yùn)用平方差和完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式的計(jì)算.
難 點(diǎn)：
2.能正確地根據(jù)題目的要求選擇不同的乘法公式進(jìn)行運(yùn)算.
3.提高學(xué)生對乘法公式綜合運(yùn)用的能力，分析、解決問題的能力.
4.培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.
溫故知新
請同學(xué)們回憶我們學(xué)過的平方差公式與完全平方公式：
注意：公式中的 a 與 b 既可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.
平方差公式：
（a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式：
①和平方公式：
②差平方公式：
（a+b)2=a2+2ab+b2
（a-b)2=a2-2ab+b2
相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。
和的平方、差的平方，
等于兩邊平方，中間積的2倍（注意中間項(xiàng)的正負(fù)）。
互為相反數(shù)的平方
填一填：
① a+b的相反數(shù) ，a—b的相反數(shù)是 。
-a-b
b-a
②（a+b)2= ；
(—a —b)2= 。
a2+2ab+b2
a2+2ab+b2
③(a—b)2 = ；
(b—a)2= 。
a2-2ab+b2
a2-2ab+b2
互為相反數(shù)(式)的平方相等：
（a+b)2=(-a-b)2
互為相反數(shù)(式)的平方相等：
（a-b)2=(b-a)2
互為相反數(shù)(式)的平方相等：
（a+b)2=(-a-b)2；（a-b)2=(b-a)2
動(dòng)腦筋
典例分析
舉
例
運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：
(1)(-x+1)2
解：原式=(x-1)2
=x2-2 x 1+12
底數(shù)的第一項(xiàng)是負(fù)號，可將整個(gè)底數(shù)變成相反數(shù)。
=x2-2x+1
底數(shù)的第一項(xiàng)是負(fù)號，可將整個(gè)底數(shù)變成相反數(shù)。
解：原式=(2x+3)2
=(2x)2+2 2x 3+32
=4x2+12x+9
(2)(-2x-3)2
以舊引新
做一做
運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(x + 1)(x2+ 1)(x - 1).
如果按順序計(jì)算，太麻煩了。有簡單的方法計(jì)算嗎？
能組成平方差公式
解：原式= (x+1)(x-1)(x2+1)
= (x2-1)(x2+1)
= x4-1
（交換律）
乘法運(yùn)算中，有時(shí)采用乘法運(yùn)算律可以簡化計(jì)算。
典例分析
舉
例
例7 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：
（1）(a+ b + c)2； （2）（a- b + c)(a+ b - c).
是一個(gè)三項(xiàng)式，如果將（a+b)看成一個(gè)整體，就滿足了完全平方公式。
解：原式=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2﹒(a+b)﹒c+c2
=a2+2ab+b2 +2ac+2bc+c2
相同的項(xiàng)
相反的項(xiàng)
兩個(gè)多項(xiàng)相乘，如果只含有相同的項(xiàng)和相反的項(xiàng)，可利用平方差公式計(jì)算。
解：原式=[a-(b-c)][a+(b-c)]
=a2-(b-c)2
=a2-(b2-2bc+c2)
=a2-b2+2bc-c2
典例分析
舉
例
例8 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：
（1）(a+ b)2 +(a- b)2；
解：原式=a2+2ab+b2
（2）(a+ b)2 -(a- b)2
+a2 -2ab+b2
=2a2+2b2
將(a+ b)2和(a- b)2都看成一個(gè)整體，就可以使用平方差公式
解：原式=[(a+ b)+(a- b)][(a+ b)-(a- b)]
=2a﹒2b
=4ab
還有其他方法嗎？
典例分析
舉
例
例9 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(x + y)3.
將(x+y)3變成（x+y)2(x+y)就可以用學(xué)過的知識計(jì)算了！
解：原式=(x+y)2(x+y)
=(x2 + 2xy + y2)(x + y)
=x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3
=x3+3x2y+3xy2+y3
對點(diǎn)練習(xí)
個(gè)位是5的數(shù)的平方
動(dòng)腦筋
填空：
（1） 152 = =100×1× +25；
（3） 352 = =100×3× +25
（2） 252 = =100×2× +25
225
625
1225
由此猜測：十位數(shù)字是a，個(gè)位數(shù)字是5的兩位數(shù)可以表示為 ，它的平方可表示為100× × + 。
2
3
4
10a+5
a
(a+1)
25
10a+5=100a(a+1)+25,如：45=100×4×5+25=2025
總結(jié)
152=225
252=625
352=1225
452=2025
等于其十位數(shù)字a與a+1的積的100倍，再加上25。
個(gè)位是5的數(shù)的平方
個(gè)位是5的數(shù)的平方：
證明：十位數(shù)字是a，個(gè)位數(shù)字是5的兩位數(shù)是10a+5.
∴（10a+5)2=
(10a)2 + 2﹒10a﹒5+52
= 100a2+100a+25.
又∵100a(a+1)+25 =100a2 +100a+25，
∴（10a+5)2 =100a(a+1)+25.
做一做：752=？
5625
對點(diǎn)練習(xí)
練 習(xí)
做一做
1. 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：
（1）(x-2)(x+2)(x2+4）； （2）(x+1)2(x-1)2；
（3）(a-b-c)2； （4）(x+2y-1)(x+2y+1）；
（5）(2x+y-1)(2x-y+1）.
解：原式=(x2-4)(x2+4）
=(x2)2-42
=x4-16
解：原式=[(x+1)(x-1)]2
=(x2-1)2
=x4-2x2+1
練 習(xí)
做一做
1. 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：
（1）(x-2)(x+2)(x2+4）； （2）(x+1)2(x-1)2；
（3）(a-b-c)2； （4）(x+2y-1)(x+2y+1）；
（5）(2x+y-1)(2x-y+1）.
解：原式=[a-(b+c)]2
=a2-2a(b+c)+(b+c)2
=a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2
解：原式=[(x+2y)-1][(x+2y)+1]
=x2+4xy+y2-1
=(x+2y)2-12
解：原式=[2x+(y-1)][2x-(y-1)]
=4x2-(y-1)2
=4x2-y2+2y-1
練 習(xí)
做一做
2. 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（3x-2)2 -(2x + 5)2.
繼續(xù)學(xué)習(xí)
方法一：
原式=[(3x-2)+(2x+5)][(3x-2)-(2x+5)]
=(3x-2+2x+5)(3x-2-2x-5)
=(5x+3)(x-7)
=5x2-35x+3x-21
=5x2-32x-21
方法二：
原式=9x2-2﹒3x﹒2+4-（4x2+2﹒2x﹒5+25）
=9x2-12x+4-4x2-20x-25
=5x2-32x-21
練 習(xí)
3. 若n是整數(shù)，則(n+3)2 -（5n+9）一定能被2整除. 試說明理由.
解：(n+3)2 -（5n+9)=n2+6n+9-5n-9
=n2+n
又∵n(n+1)=n2+n
∴(n+3)2=n(n+1)
又∵n是整數(shù)，
∴n(n+1)表示兩個(gè)連續(xù)整數(shù)相乘，
∴n(n+1)一定是個(gè)偶數(shù)，
∴(n+3)2 -（5n+9)一定是個(gè)偶數(shù)，即一定能被2整除。
挑戰(zhàn)平臺
課堂總結(jié)
運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算和推理
互為相反數(shù)的平方相等：
運(yùn)用乘法公式計(jì)算：
(a-b)2=(b-a)2
(-a-b)2=(a+b)2
[ ]
先觀察式子的特點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)某朔ü剑儆?jì)算。有時(shí)會結(jié)合其它運(yùn)算法則。
[ ]
個(gè)數(shù)是5的兩位數(shù)的平方：
十位數(shù)字是a個(gè)位數(shù)字是5的兩位數(shù)的平方，等于其十位數(shù)字a與a+1的積的100倍，再加上25。
[ ]
作 業(yè)
課堂作業(yè)：P22習(xí)題2第3、4題
課后作業(yè)：P22習(xí)題2第6、7題，并做P24~26《復(fù)習(xí)題1》
湘教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊
課程結(jié)束新湘教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊
《完全平方公式》教學(xué)設(shè)計(jì)
【教學(xué)目標(biāo)】
1.熟練地運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算。
2.能正確地根據(jù)題目的要求選擇不同的乘法公式進(jìn)行運(yùn)算。
3.提高學(xué)生對乘法公式綜合運(yùn)用的能力，分析、解決問題的能力。
4.培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。
【教學(xué)重點(diǎn)】
弄正確選擇乘法公式進(jìn)行運(yùn)算。
【教學(xué)難點(diǎn)】
綜合運(yùn)用平方差和完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式的計(jì)算。
【教學(xué)方法】
實(shí)驗(yàn)法、觀察法、練習(xí)法、小組合作交流法、啟發(fā)式、講授法。
【教學(xué)過程】
〖溫故知新〗
提問：請同學(xué)們回憶我們學(xué)過的平方差公式與完全平方公式：
1.平方差公式：（a+b)(a-b)=a2-b2 （技巧：相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。）
2.平方差公式：
①和平方公式：（a+b)2=a2+2ab+b2
②差平方公式：（a-b)2=a2-2ab+b2
（技巧：和的平方、差的平方，等于兩邊平方，中間積的2倍（注意中間項(xiàng)的正負(fù)）。
§強(qiáng)調(diào)：公式中的 a 與 b 既可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.。
【設(shè)計(jì)意圖】
通過復(fù)習(xí)平方差公式和完全平方公式，讓學(xué)生掌握平方差公式和完全平方公式的算式的區(qū)別，以及它們結(jié)果的區(qū)別，加深對平方差公式和完全平方公式的掌握，以及運(yùn)用平方差公式和完全平方公式的技巧。
〖新知探究1〗
1.填一填：
① a+b的相反數(shù) -a-b ， a—b的相反數(shù)是 b-a 。
②（a+b)2= a2+2ab+b2 ； (—a —b)2= a2+2ab+b2 。
③(a—b)2 = a2-2ab+b2 ； (b—a)2= a2-2ab+b2 。
2.猜想：互為相反數(shù)（式）的平方有什么關(guān)系？
§規(guī)律：互為相反數(shù)(式)的平方相等——（a+b)2=(-a-b)2；（a-b)2=(b-a)2
（ 學(xué)生填空后，讓學(xué)生觀察兩個(gè)式子及計(jì)算結(jié)果的關(guān)系，并與同學(xué)交流、討論， 總結(jié)出律。）
【設(shè)計(jì)意圖】
學(xué)生利用已學(xué)舊知做題，然后觀察，并與同學(xué)交流、討論，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的習(xí)慣。
〖知識應(yīng)用1〗
運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：
(-x+1)2； (2) (-2x-3)2。
分析：兩個(gè)式子的底數(shù)第一項(xiàng)是負(fù)號，可將整個(gè)底數(shù)變成相反數(shù)。
（1）解：(-x+1)2=(x-1)2=(x-1)2=x2-2﹒x﹒1+12=x2-2x+1
（2）解：(-2x-3)2=(2x+3)2=(2x)2+2﹒2x﹒3+32=4x2+12x+9
（學(xué)生利用歸納出的規(guī)律解題，再相互交流、討論，相互糾錯(cuò)。）
【設(shè)計(jì)意圖】
學(xué)生利用歸納出的規(guī)律解題，訓(xùn)練了學(xué)生對所學(xué)知識的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的習(xí)慣。
〖新知探究2〗
運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(x + 1)(x2+ 1)(x - 1)
分析：(x + 1)(x - 1)能夠使用平方差公式 計(jì)算，得到（x2-1)，（x2-1)(x2+ 1)又可以使用平方差公式計(jì)算。
解：原式=(x + 1)(x - 1)(x2+ 1)=（x2-1)(x2+ 1)=x4-1。
（先讓學(xué)生觀察，再與同學(xué)交流、討論，找出合適的方法解題。）
§強(qiáng)調(diào)：乘法運(yùn)算中，有時(shí)采用乘法運(yùn)算律可以簡化計(jì)算。
【設(shè)計(jì)意圖】
讓學(xué)生觀察，并與同學(xué)交流、討論，應(yīng)用乘法的交換律解題，簡化計(jì)算。培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析能力。
〖知識應(yīng)用2〗
例7 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：
(a+ b + c)2； (2）（a- b + c)(a+ b - c).
分析：第（1）是一個(gè)三項(xiàng)式，如果將（a+b)看成一個(gè)整體，就滿足了完全平方公式；第（2）中的兩個(gè)多項(xiàng)式只有相同的項(xiàng)和相反的項(xiàng)，可以使用平方差公式計(jì)算。
（1）解：原式=[(a+b)+c]2 （2）解：原式=[a-(b-c)][a+(b-c)]
=(a+b)2+2﹒(a+b)﹒c+c2 =a2-(b-c)2
=a2+2ab+b2 +2ac+2bc+c2 =a2-(b2-2bc+c2)
=a2-b2+2bc-c2
(師生共同探究，引導(dǎo)學(xué)生整體轉(zhuǎn)化意識，學(xué)會整體轉(zhuǎn)化思想。)
【設(shè)計(jì)意圖】
通過例題的分析和解答，培養(yǎng)學(xué)生的整體轉(zhuǎn)化思想。
〖知識應(yīng)用3〗
例8 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：
（1）(a+ b)2 +(a- b)2 （2）(a+ b)2 -(a- b)2
解：原式=a2+2ab+b2+a2 -2ab+b2 解：原式=[(a+ b)+(a- b)][(a+ b)-(a- b)]
=2a2+2b2 =2a﹒2b
=4ab
(讓學(xué)生觀，鼓勵(lì)一題解多。）
【設(shè)計(jì)意圖】
通過學(xué)生觀察，找出算式的特點(diǎn)，選用合適的方法，訓(xùn)練學(xué)生對乘法公式的綜合運(yùn)用能力，以及分析能力。
〖知識應(yīng)用4〗
例9 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(x + y)3.
分析：將(x+y)3變成（x+y)2(x+y)就可以用學(xué)過的知識計(jì)算了
解：原式=(x+y)2(x+y)
=(x2 + 2xy + y2)(x + y)
=x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3
=x3+3x2y+3xy2+y3
（師生共同探究，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化。）
【設(shè)計(jì)意圖】
通過和立方公式的推導(dǎo)，訓(xùn)練學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
〖新知探究2〗
1.填空：
（1） 152 = 225 =100×1× 2 +25；
（2） 252 = 625 =100×2× 3 +25
（3） 352 = 1225 =100×3× 4 +25
2.由此猜測：十位數(shù)字是a，個(gè)位數(shù)字是5的兩位數(shù)可以表示為 10a+5 ，它的平方可表示為100×a × (a+1) + 25 。
§規(guī)律：10a+5=100a(a+1)+25,如：45=100×4×5+25=2025。
（學(xué)生獨(dú)自填空，然后觀察找規(guī)律，并與同學(xué)交流、討論，最后師生共同歸納出規(guī)律》）
3.總結(jié)：
個(gè)位是5的數(shù)的平方：等于其十位數(shù)字a與a+1的積的100倍，再加上25。
證明：十位數(shù)字是a，個(gè)位數(shù)字是5的兩位數(shù)是10a+5.
∴（10a+5)2=(10a)2 + 2﹒10a﹒5+52= 100a2+100a+25.
又∵100a(a+1)+25 =100a2 +100a+25，
∴（10a+5)2 =100a(a+1)+25.
4.做一做：852=？ 答：752=5625.
【設(shè)計(jì)意圖】
通過學(xué)生填空、觀察找規(guī)律，并證明猜想的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸結(jié)總結(jié)的能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)驗(yàn)證的研究精神。
〖鞏固練習(xí)〗
1. 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：
（1）(x-2)(x+2)(x2+4）； （2）(x+1)2(x-1)2；
（3）(a-b-c)2； （4）(x+2y-1)(x+2y+1）；
（5）(2x+y-1)(2x-y+1）.
【設(shè)計(jì)意圖】
通過練習(xí)，讓學(xué)生能熟練運(yùn)用乘法的運(yùn)算律，整體轉(zhuǎn)化進(jìn)行整式乘法運(yùn)算。
2. 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（3x-2)2 -(2x + 5)2.
【設(shè)計(jì)意圖】
通過練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用乘法律進(jìn)行計(jì)算的能力。
〖挑戰(zhàn)平臺〗
3. 若n是整數(shù)，則(n+3)2 -（5n+9）一定能被2整除. 試說明理由.
解：(n+3)2 -（5n+9)=n2+6n+9-5n-9=n2+n
又∵n(n+1)=n2+n ∴(n+3)2=n(n+1)
又∵n是整數(shù)，∴n(n+1)表示兩個(gè)連續(xù)整數(shù)相乘。
∴n(n+1)一定是個(gè)偶數(shù)，
∴(n+3)2 -（5n+9)一定是個(gè)偶數(shù)，即一定能被2整除。
【設(shè)計(jì)意圖】
通過練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生分析能力和邏輯推理能力。
【課后小結(jié)】
1.互為相反數(shù)（式）的平方相等：（a+b)2=(-a-b)2；（a-b)2=(b-a)2
2.整式乘法運(yùn)算技巧：先觀察式子的特點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)某朔ü剑儆?jì)算。有時(shí)需結(jié)合其它運(yùn)算法則。
3.個(gè)位是5的兩位數(shù)的平方：等于其十位數(shù)字a與a+1的積的100倍，再加上25。
【板書設(shè)計(jì)】
【課后作業(yè)】
課堂作業(yè)：P22習(xí)題2第3、4題。
課后作業(yè)：P22習(xí)題2第6、7題，并做P24~26《復(fù)習(xí)題1》
【教學(xué)反思】
亮點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生在做題中觀察、分析，利用轉(zhuǎn)化思想尋找解題的思路，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、分析能力，訓(xùn)練了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想。同時(shí)，通過推導(dǎo)公式，訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯推理能力，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)探究精神。
不足：沒有學(xué)習(xí)因式分解，在證明一些倍數(shù)問題時(shí)，學(xué)生很可能難以理解。
教學(xué)建議：多讓學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，讓學(xué)生在練習(xí)、觀察、討論、交流中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出規(guī)律。同時(shí)，在解題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

展開更多......

收起↑