資源簡介

第六章 幾何圖形初步
6.3.3 余角和補角
教學目標
1．在具體的現實情境中，理解余角、補角的概念，掌握余角和補角的性質．
2．通過探索余角和補角的性質，發展幾何直觀和推理能力．
3．體會觀察、歸納、推理對獲取數學猜想和論證的重要作用，初步體會數學中推理的嚴謹性和結論的確定性，能在獨立思考和小組交流中獲益.
重點難點
重點
余角、補角的概念和性質.
難點
通過簡單的推理，歸納出余角、補角的性質，并用規范的語言描述性質.
教學準備
課件
師生活動：教師提出問題，學生思考.
教師指出：學完今天的內容就能解決這個問題了.
【設計意圖】通過生活問題設疑，激發學生的學習興趣，讓學生體會數學與生活的聯系.
高效課堂
任務一：探究余角和補角的概念
問題：求下列各圖中的兩個角的和，并根據這些和把這四個圖分成兩組，你是怎么分的？每一組中的兩個角的和有什么共同的特點？
① ② ③ ④
師生活動：教師提出問題，學生討論交流.
學情預設：通過計算，②④為一組，它們的和都是90°，①③為一組，它們的和都是180°．
歸納概念：如圖，如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角，簡稱這兩個角互余，其中一個角是另一個角的余角.
符號語言：因為
所以／1和／2互為余角．
反之，因為／1和／2互為余角，
所以°（或
如圖，如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角，簡稱這兩個角互補，其中一個角是另一個角的補角.
符號語言：因為
所以＜3和／4互為補角．
反之，因為＜3和／4互為補角，
所以（或
【設計題圖】讓學生通過觀察，從直觀的角度去感受余角和補角的概念，培養學生的觀察、歸納能力及文字語言、符號語言的表述能力.
練一練：圖中給出的各角中，哪些互為余角？哪些互為補角？
師生活動：學生根據余角和補角的概念獨立解決，并口答，教師評價.
學情預設：互為余角有：①與④，②與③.
互為補角有：①與⑧，②與⑦，③與⑥，④與⑤.
小游戲：同桌之間，一個同學說出一個角，讓另一個同學說出它的余角和補角，說完之后交換角色.
教師指出：同學說出的角，如果有余角和補角，則需注意這個角一定是小于90度的．
【設計息圖】通過練一練和小游戲，讓學生再一次加深對余角和補角概念的理解，并能讓學生會求一個角的余角和補角.
任務二：探究余角和補角的性質
問題1：／1與／2，＜3都互為余角，／2與／3的大小有什么關系？
師生活動：根據余角的概念，學生找出／1與＜2，／3之間的數量關系，并自主探究／2與／3的大小關系，教師關注學生的表現．
學情預設：因為／1與＜2，＜3都互為余角，所以，所以∠2=∠3.
師生共同歸納余角的性質：同角的余角相等.
問題2：∠1與／2互余，＜3與／4互余，如果∠1=∠，那么／2與／4相等嗎？為什么？
師生活動：根據剛才的經驗，學生可討論交流，并書寫證明過程，教師關注學生推理是否規范嚴謹.
解：∠2與＜4相等，理由如下：因為＜1與／2互余，所以.因為∠3與∠4互余，所以，所以∠1+∠2=∠3+∠4.又因為∠1=∠3，所以∠1+∠2=,∠1+∠4,，所以∠2=∠4.
師生共同歸納余角的性質：等角的余角相等.
教師讓學生類比探究余角性質的方法，來探究補角的性質：同角（等角）的補角相等.
學生積極探討，教師適時點評.
【設計意圖】通過師生合作得出余角的性質，教師引導學生學會說理，規范幾何書寫過程.通過類比，探究補角的性質，并獨立推導證明，在多種形式的數學活動中，發展演繹推理能力.
任務三：應用新知，解決問題
例 如圖，點A，O，B在同一條直線上，射線OD和射線OE分別平分／AOC和／BOC.
（1）圖中相等的角有哪些？
（2）求／DOE的度數．
（3）圖中哪些角互為余角？
師生活動：教師引導學生觀察圖形，找到圖中角之間的關系，第（2）題注意幾何書寫過程.
解：（1）根據射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC,，可得∠AOD=∠DOC,∠COE=∠BOE.
(2
（3）由（2）知，所以∠DOC和／COE互為余角.
同理，∠AOD和∠BOE,,∠AOD和∠COE,,∠DOC和／BOE也互為余角.
【設計意圖】學生初學幾何推理，將大問題分解成小問題，層層遞進，從而讓學生能更快更準確地解決問題，通過例題講解鞏固新知.
任務四：回歸情境，解決問題
如圖，要測量兩堵圍墻所形成的／AOB的度數，但人不能進入圍墻，如何測量？
師生活動：教師再出示情境問題，學生合作探究討論交流，畫出示意圖，有兩種方法可求得／AOB的度數.方法一：延長AO至D（或者延長BO至C），測得＜AOC（或者＜BOD）的度數，則∠AOB是它的補角.方法二：根據同角的補角相等，只要測得＜COD的度數，那么∠AOB=∠COD.
課堂總結
教師引導學生回顧本節課所學內容：
1．余角和補角的概念．
2．余角和補角的性質．
作業設計
基礎性作業：教材練習第1～3題．
提高性作業：教材習題6.3第15題．
板書設計
6.3.3 余角和補角
1．余角和補角的概念
余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角，簡稱這兩個角互余，其中一個角是另一個角的余角
補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角，簡稱這兩個角互補，其中一個角是另一個角的補角
2．余角和補角的性質
同角（等角）的余角相等，同角（等角）的補角相等
3．應用新知
例
教學特色
1．發展幾何直觀，深化數學理解
發展學生的幾何直觀、培養學生的空間想象力是本節課教學的一個重要目標，應重視讓學生從事動手操作、觀察、思考、想象、交流等活動，為學生提供一些有意義的、有一定挑戰性的學習任務，如對于余角和補角的概念和性質，鼓勵學生勤思考、多動手、善交流，在活動中獲得幾何概念和性質，以及讀圖、表達、推理等技能，從而發展學生的幾何直觀.
2．聯系生活實際，注重概念理解
本節內容涉及的概念與性質較多，大多數幾何圖形與性質是學生初次接觸，且比較抽象.作為幾何入門階段的學習，要善于培養學生學習的興趣，注意揭示所學概念與性質同現實生活的聯系.本節課在情境導入時，創設了生活中測量圍墻內角的度數的情境，激發了學生的學習興趣，讓學生體會到所學知識在實際生活中有著廣泛的應用.本教學案例設計中通過設置一些問題，讓學生體驗到幾何探究的樂趣，成功體會解決問題的喜悅.
3．多種教學活動，培養邏輯推理
學習“圖形與幾何”與“數與代數”的方式、方法有所不同.本節課通過自主探究、合作交流，通過練一練、小游戲等活動，加深對余角和補角概念的理解.對于余角和補角的性質，讓學生獨立思考，觀察角之間的聯系，從而得出性質.同時，要養成勇于質疑、善于說理和獨立思考、認真嚴謹的學習習慣，逐步提升學生的空間想象能力、邏輯推理能力、動手操作能力和應用幾何圖形知識解決實際問題的能力.

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