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第11章　§11.1　余弦定理 課后作業
一、單選題
1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，則A的大小為(　　)
A.30° B.60° C.45° D.90°
答案　B
解析　由余弦定理，得cos A＝，又0°2.某人向正東方向走x km后向右轉150°，然后朝新方向走3 km，結果他離出發點恰好是 km，那么x的值是(　　)
A. B.2 C.2或 D.3
答案　C
解析　如圖所示，在△ABC中，AB＝x km，BC＝3 km，AC＝ km，B＝30°.
由余弦定理，得()2＝x2＋32－2×3×x×，所以x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2.
3.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2－c2＋b2<0，則C是(　　)
A.直角 B.鈍角 C.銳角 D.都有可能
答案　B
解析　由余弦定理知cos C＝<0，故C是鈍角.
4.若△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為(　　)
A. B.8－4 C.1 D.
答案　A
解析　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，所以ab＝.
5.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cos B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos B＝.
6.若△ABC的三邊長分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，則·的值為(　　)
A.19 B.14 C.－18 D.－19
答案　D
解析　由余弦定理，得cos B＝＝.
所以·＝||||cos(π－B)＝7×5×＝－19.
7.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2＝ac，若m＝sin B＋cos B，則實數m的取值范圍為(　　)
A.(，2] B. C.[，2] D.
答案　C
解析　由余弦定理得cos B＝＝≥，當且僅當a＝c時取等號，∵08.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos2，則△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.銳角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
答案　A
解析　在△ABC中，因為cos2，所以，所以cos A＝.
由余弦定理，知cos A＝，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
二、多選題
9.(多選)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，則角B的值可以為(　　)
A. B. C. D.
答案　BC
解析　由余弦定理cos B＝，得a2＋c2－b2＝2accos B.
又(a2＋c2－b2)tan B＝ac，∴2accos B·tan B＝ac，∴sin B＝.
∵B∈(0，π)，∴B＝或.
10.(多選)已知銳角三角形的三邊長分別為2，3，x，則x的取值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.2
答案　CD
解析　由題設知1當x為最大邊時，由余弦定理可知22＋32－x2>0，解得3當x不是最大邊時，則3為最大邊，只要保證3所對的角為銳角就可以了，則有22＋x2－32>0，解得當x＝3時，三邊長分別為2，3，3，構成銳角三角形.
綜上可知x的取值范圍為(，).故結合選項可知C，D滿足題意.
三、填空題
11.某人從A處出發，沿北偏西60°方向行走2 km后到達B處，再沿正東方向行走2 km到達C處，則A，C兩地的距離為　　　　km.
答案　2
解析　如圖所示，由題意知，∠ABC＝30°，又AB＝2 km，BC＝2 km，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC＝12＋4－2×2×2×＝4，所以AC＝2 km，所以A，C兩地的距離為2 km.
12.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，則A＝　　　　，AC邊上的高為　　　　.
答案　　
解析　由余弦定理，可得cos A＝，
又0設AC邊上的高為h，則h＝AB·sin A＝3×.
13.已知三角形的三邊長分別為a，b，(a>0，b>0)，則其最大角為　　　　.
答案　120°
解析　易知>a，>b，設最大角為θ，則cos θ＝＝－，
又∵0°<θ<180°，∴θ＝120°.
14.在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且b=c，=.若點O是△ABC外一點，∠AOB=θ(0<θ<π)，OA=2OB=2，則平面四邊形OACB面積的最大值是　　　　.
解析　如圖，在△ABC中，∵=，
∴sin Bcos A+cos Bsin A=sin A，即sin(A+B)=sin(π-C)=sin C=sin A，∴A=C，
又b=c，故△ABC為等邊三角形.
∴S四邊形OACB=S△AOB+S△ABC=·OA·OB·sin θ+·AB2·sin
=×2×1×sin θ+(OA2+OB2-2OA·OB·cos θ)=sin θ-cos θ+=2sin+.
∵0<θ<π，∴-<θ-<，故當θ-=，即θ=時，sin取得最大值1，
故S四邊形OACB的最大值為2+=.
反思感悟　求解平面圖形有關的面積最值(范圍)問題可以先轉化為三角形的面積，用三角形的面積公式表示，進而利用三角函數的有界性、基本不等式、函數單調性求解.
四、解答題
15.已知A，B，C為△ABC的三個內角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
（1）求A的大小；
（2）若a＝2，b＝2，求c的值.
解　（1）∵cos A＝2cos2－1，2cos2＋cos A＝0，∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－，∵0°（2）由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，即(2)2＝22＋c2－2×2·c×，
化簡得c2＋2c－8＝0，解得c＝2(c＝－4舍去).
16.已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
（1）求A的大小；
（2）若b＋c＝2a＝2，試判斷△ABC的形狀.
解　（1）∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，∴cos A＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
（2）在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc. ①
又∵b＋c＝2，與①聯立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，∴△ABC為等邊三角形.
17.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
（1）求B的大小；
（2）若a＋c＝1，求b的取值范圍.
解　（1）由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，即sin Asin B－sin Acos B＝0.
因為sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.
又cos B≠0，所以tan B＝.
又0（2）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
因為a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3.
又0即b的取值范圍為.
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一、單選題
1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，則A的大小為(　　)
A.30° B.60° C.45° D.90°
2.某人向正東方向走x km后向右轉150°，然后朝新方向走3 km，結果他離出發點恰好是 km，那么x的值是(　　)
A. B.2 C.2或 D.3
3.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2－c2＋b2<0，則C是(　　)
A.直角 B.鈍角 C.銳角 D.都有可能
4.若△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足(a＋b)2－c2＝4，C＝60°，則ab的值為(　　)
A. B.8－4 C.1 D.
5.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cos B等于(　　)
A. B. C. D.
6.若△ABC的三邊長分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，則·的值為(　　)
A.19 B.14 C.－18 D.－19
7.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2＝ac，若m＝sin B＋cos B，則實數m的取值范圍為(　　)
A.(，2] B. C.[，2] D.
8.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos2，則△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.銳角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
二、多選題
9.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，則角B的值可以為(　　)
A. B. C. D.
10.已知銳角三角形的三邊長分別為2，3，x，則x的取值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.2
三、填空題
11.某人從A處出發，沿北偏西60°方向行走2 km后到達B處，再沿正東方向行走2 km到達C處，則A，C兩地的距離為　　　　km.
12.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，則A＝　　　　，AC邊上的高為　　　　.
13.已知三角形的三邊長分別為a，b，(a>0，b>0)，則其最大角為　　　　.
14.在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且b=c，=.若點O是△ABC外一點，∠AOB=θ(0<θ<π)，OA=2OB=2，則平面四邊形OACB面積的最大值是　　　　.
四、解答題
15.已知A，B，C為△ABC的三個內角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
（1）求A的大小； （2）若a＝2，b＝2，求c的值.
16.已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
（1）求A的大小； （2）若b＋c＝2a＝2，試判斷△ABC的形狀.
17.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
（1）求B的大小； （2）若a＋c＝1，求b的取值范圍.
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余弦定理的證明
問題　在Rt△ABC中，已知兩直角邊a，b和C＝90°，則c2＝a2＋b2.那么你能用所學知識研究一般的三角形中，是否也有類似的結論嗎？
提示　如圖，在△ABC中，有向量等式，聯想＝||2，
所以·＝()·()＝＋2·
＝||2＋2||||cos(180°－A)＋||2＝c2－2cbcos A＋b2，即a2＝b2＋c2－2bccos A.
知識梳理
1.余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有
余弦定理 語言 敘述 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
公式 表達 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理 推論 cos A＝， cos B＝， cos C＝.
2.解三角形
我們把三角形的三個角和三條邊叫作三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形.
3.利用余弦定理，可以解決以下兩類解三角形的問題：
（1）已知三邊，求三個角；
（2）已知兩邊及一角，求第三邊和其他兩個角.
注意點：
（1）勾股定理是余弦定理的一個特例.
（2）余弦定理把用“邊角邊”和“邊邊邊”判定三角形全等的方法從數量的角度進行了刻畫.
（3）已知兩邊及其中一邊的對角也可以利用余弦定理建立一元二次方程求第三邊.
題型1 已知兩邊及一角解三角形
例1　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，求a的值.
解　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋27－2×3×3×＝9，所以a＝3.
延伸探究　把本例條件A＝30°換成B＝30°，求C.
解　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
當a＝3時，A＝30°，C＝120°；
當a＝6時，由余弦定理得cos A＝＝0，又0°反思感悟　已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法
已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊.
跟蹤訓練1　已知在△ABC中，
（1）a＝1，b＝2，cos C＝，則c＝　　　，sin A＝　　　. （2）a＝，c＝2，cos A＝，則b＝　　　.
解析　（1）根據余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.
由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝，所以sin A＝ .
（2）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得5＝b2＋4－2×b×2×，即3b2－8b－3＝0，解得b＝3.
題型2 已知三邊解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小.
解　根據余弦定理，得cos A＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，cos C＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－，∴A＝，B＝，C＝.
反思感悟　已知三角形的三邊解三角形的方法
利用余弦定理求出三個角的余弦值，進而求出三個角.
跟蹤訓練2　在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a∶b∶c＝3∶2∶4，則cos C＝　　　.
解析　由題意可設a＝3k(k>0)，則b＝2k，c＝4k，所以cos C＝＝－.
題型3 余弦定理的應用
例3.1 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，試判斷該三角形的形狀.
解　由acos B＋acos C＝b＋c及余弦定理，得a·＋a·＝b＋c，即＝b＋c，
整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因為b＋c≠0，所以a2－b2－c2＝0，即a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
跟蹤訓練3.1　在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是(　　)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形
解析　在△ABC中，因為A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，結合A＝60°，可得△ABC一定是等邊三角形.
例3.2 如圖所示為起重機裝置示意圖.支桿BC＝10 m，吊桿AC＝15 m，吊索AB＝5 m，求起吊的貨物與岸的距離AD.
解　在△ABC中，AC＝15(m)，AB＝5(m)，BC＝10(m)，
由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝－，sin∠ACB＝.
又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×(m).∴起吊的貨物與岸的距離AD為 m.
反思感悟　（1）利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時，一般有兩條思考路線
①先化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數量關系；
②先化角為邊，再進行代數恒等變換，求出三邊之間的數量關系.
（2）判斷三角形的形狀時，經常用到以下結論
①△ABC為直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
②△ABC為銳角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；
③△ABC為鈍角三角形 a2＋b2（3）解決實際問題其實只比解三角形多一步，即把實際問題中涉及的量納入到圖形中.這一過程中要特別注意準確理解和翻譯相關術語.
跟蹤訓練3.2　某觀測站C與兩燈塔A，B的距離分別為3 km和5 km，測得燈塔A在觀測站C北偏西50°，燈塔B在觀測站C北偏東70°，求兩燈塔A，B之間的距離.
解　依題意知在△ABC中，AC＝3(km)，BC＝5(km)，∠ACB＝120°.
由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝32＋52－2×3×5×＝49(km2).
所以AB＝7(km).即兩燈塔A，B之間的距離為7 km.
鞏固提升
1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝，則C＝　　　.
解析　由余弦定理，得cos C＝
＝＝－，
C為△ABC的內角，所以C＝120°.
2.一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是－，則該三角形的第三條邊長為(＝　　　.
解析　設第三條邊長為x，則x2＝52＋32－2×5×3×＝52，所以x＝2.
3.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，則B＝　　　.
解析　∵a2－b2＋c2＝ac，∴cos B＝，又B為△ABC的內角，∴B＝.
4.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，則△ABC是　　　.三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)
答案　直角
解析　由余弦定理得c2＝bc·＋ac·＋ab·，
即c2＝a2＋b2，所以△ABC是直角三角形.
5.在銳角中，，則的取值范圍為　　　.
【分析】由余弦定理可，結合為銳角三角形可得答案.
【詳解】由余弦定理可知：，
在銳角三角形中又有，
即
故答案為：C．
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余弦定理的證明
問題　在Rt△ABC中，已知兩直角邊a，b和C＝90°，則c2＝a2＋b2.那么你能用所學知識研究一般的三角形中，是否也有類似的結論嗎？
知識梳理
1.余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有
余弦定理 語言 敘述 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
公式 表達
余弦定理 推論
2.解三角形
我們把三角形的三個角和三條邊叫作三角形的元素.
已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形.
3.利用余弦定理，可以解決以下兩類解三角形的問題：
（1）已知三邊，求三個角；
（2）已知兩邊及一角，求第三邊和其他兩個角.
注意點：（1）勾股定理是余弦定理的一個特例.
（2）余弦定理把用“邊角邊”和“邊邊邊”判定三角形全等的方法從數量的角度進行了刻畫.
（3）已知兩邊及其中一邊的對角也可以利用余弦定理建立一元二次方程求第三邊.
題型1 已知兩邊及一角解三角形
例1　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，求a的值.
延伸探究　把本例條件A＝30°換成B＝30°，求C.
跟蹤訓練1　已知在△ABC中，
（1）a＝1，b＝2，cos C＝，則c＝　　　，sin A＝　　　.
（2）a＝，c＝2，cos A＝，則b＝　　　.
題型2 已知三邊解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小.
跟蹤訓練2　在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a∶b∶c＝3∶2∶4，則cos C＝　　　.
題型3 余弦定理的應用
例3.1 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，試判斷該三角形的形狀.
跟蹤訓練3.1　在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是(　　)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形
例3.2 如圖所示為起重機裝置示意圖.支桿BC＝10 m，吊桿AC＝15 m，吊索AB＝5 m，求起吊的貨物與岸的距離AD.
跟蹤訓練3.2　某觀測站C與兩燈塔A，B的距離分別為3 km和5 km，測得燈塔A在觀測站C北偏西50°，燈塔B在觀測站C北偏東70°，求兩燈塔A，B之間的距離.
鞏固提升
1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝，則C＝　　　.
2.一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是－，則該三角形的第三條邊長為　　　.
3.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，則B＝　　　.
4.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，則△ABC是　　　.三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)
5.在銳角中，，則的取值范圍為　　　.
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