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9.1.1平面直角坐標系的概念 教學設計
一、內容和內容解析
1.內容
本節課是人教版《義務教育教科書 數學》七年級下冊（以下統稱“教材”）第九章“平面直角坐標系”9.1.1平面直角坐標系的概念，內容包括：理解平面直角坐標系的有關概念，能畫出平面直角坐標系；在給定的平面直角坐標系中，能根據坐標描出點的位置，由點的位置寫出坐標．
2.內容解析
本節課在學生已有知識和生活經驗的基礎上，從生活實例中的“點位”和數軸上點的坐標出發，引導學生觀察、分析從而抽象出平面直角坐標系的概念，然后通過繪制平面直角坐標系和根據坐標描點、由點寫坐標的過程加深理解.平面直角坐標系在初中數學中地位關鍵，它是數形結合的重要工具，是在數軸基礎上的拓展.同時，它還為后續學習函數圖象和幾何圖形的位置關系等內容奠定了基礎．
基于以上分析，確定本節課的學習重點為：理解平面直角坐標系的有關概念，能畫出平面直角坐標系.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）理解平面直角坐標系的有關概念，能畫出平面直角坐標系；在給定的平面直角坐標系中，能根據坐標描出點的位置，由點的位置寫出坐標.
（2）經歷動手操作、觀察、猜想、驗證等過程，培養歸納總結和邏輯推理的能力，感悟由特殊到一般和數形結合的思想．
（3）感悟通過幾何建立直觀、通過代數得到數學表達的過程，培養數學抽象、幾何直觀和空間觀念等核心素養．
2.目標解析
（1）平面直角坐標系由兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成，學生需要清晰掌握橫軸（x軸）、縱軸（y軸）、原點、單位長度等基本要素的定義和作用. 在給定的平面直角坐標系中，學生能根據坐標描出點的位置，由點的位置寫出坐標，這一正一反的操作，是對平面直角坐標系核心功能的直接運用，強化了學生對數與形對應關系的理解.
（2）在學習平面直角坐標系時，學生通過動手繪制坐標系、在坐標系中描點等操作，觀察不同點的坐標特征以及它們在坐標系中的分布規律. 在這個過程中，學生從具體的操作和觀察出發，經過合理的猜想和嚴謹的驗證，得出一般性的結論，鍛煉了歸納總結能力，培養了邏輯推理能力.
由特殊到一般的數學思想體現在從研究特殊位置的點（如坐標軸上的點、象限角平分線上的點）的坐標規律，推廣到整個平面直角坐標系中任意點的坐標特征. 通過對特殊點的深入研究，總結出普遍適用的規律，讓學生體會從局部到整體、從特殊到一般的數學研究方法. 數形結合思想貫穿始終，平面直角坐標系將抽象的數（坐標）與直觀的形（點的位置）緊密聯系起來. 通過坐標能直觀看到點在平面中的位置，從點的位置又能抽象出對應的坐標數值，這種相互轉化幫助學生更好地理解了數學問題，為他們今后解決更復雜的數學問題提供了有力的工具和思路.
（3）學生在構建和理解平面直角坐標系的過程中，將生活中確定位置的實際問題抽象為數學中的坐標表示，把具體的點和圖形在平面上的位置關系抽象為坐標數值之間的關系. 平面直角坐標系為學生提供了一個直觀的幾何模型，學生可以通過觀察坐標系中的點、線、圖形等，直觀地理解它們的位置關系. 這有助于培養學生的數學抽象、幾何直觀和空間觀念等核心素養，為后續學習圖形的平移、旋轉、對稱等變換在坐標系中的表示，理解空間中物體的位置關系和運動變化奠定了思維基礎.
三、教學問題診斷分析
1.概念理解偏差：學生可能混淆坐標軸與數軸的概念，不能充分理解平面直角坐標系中兩坐標軸的相應特征，特別是在繪制平面直角坐標系時出現正方向標注錯誤. 同時，對于象限的劃分及邊界歸屬理解模糊，誤將坐標軸上的點歸為某一象限.
2.坐標讀寫出錯：在讀寫點的坐標時，容易顛倒橫、縱坐標的順序. 對于坐標中正負號的確定也存在困難，尤其是第二象限和第四象限內的點的坐標. 另外，在處理含分數、小數的坐標時，會出現讀數或書寫錯誤.
基于上述教學問題診斷分析，本節課的學習難點如下：深入理解平面直角坐標系的有關概念；能夠熟練且準確地讀寫點的坐標.
四、教學過程設計
（一）情境引入
問題 在慶祝中華人民共和國成立70周年聯歡活動中，天安門廣場上出現了 “祖國萬歲”等壯觀的圖案，你知道它們是怎么組成的嗎？
視頻播放
表演現場設置了由有序數對標識的點位，3000多名表演者手舉光影屏，根據預先編排的流程，不停地變換所在的點位，就拼出了不同的圖案．
點位是用小學學過的有序數對表示的，它刻畫了天安門廣場表演區內點的位置. 本節我們繼續學習刻畫平面內點的位置的方法．
我們知道，數軸上的點與實數是一一對應的，數軸上每個點都對應一個實數，這個實數叫作這個點在數軸上的坐標．反過來，知道數軸上一個點的坐標，這個點在數軸上的位置也就確定了．
設計意圖：結合生活實例，激發興趣：播放慶祝中華人民共和國成立70周年聯歡活動視頻，用宏大且具有視覺沖擊力的場景吸引學生注意力，激發他們的好奇心和探索欲.從演員依點位表演引出有序數對和平面直角坐標系概念，將抽象的數學知識與生活實際緊密相連，讓學生意識到數學在生活中的廣泛應用，明白數學是解決實際問題的有力工具，提升學生對數學實用性的認知.
建立新舊知識聯系，降低理解難度：通過回顧數軸上點與實數一一對應，以及點的坐標即該點表示的實數，自然過渡到平面直角坐標系的概念.以學生已掌握的數軸知識為基礎，類比引出新知識，利用知識的遷移規律，幫助學生理解平面直角坐標系的概念，降低了學生對新知識的理解門檻，符合學生的認知發展規律.
（二）合作探究
探究1 類似于利用數軸確定直線上點的位置，能不能找到一種辦法來確定平面內的點的位置呢 （例如圖中A，B，C，D，E各點）？
我們可以在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系.
坐標平面內的點與有序實數對是一一對應的．利用坐標平面內點的坐標，可以確定平面內點的位置．
建立平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個部分，每個部分稱為象限．坐標軸上的點不屬于任何象限.
探究2 原點O的坐標是什么？x軸和y軸上的點的坐標有什么特點？各個象限內的點的坐標有什么特點？
設計意圖：強化知識遷移，深化概念理解：引導學生類比數軸確定直線上點的位置的方法，探尋利用平面內有序數對確定平面內點的位置，能讓學生在已有知識經驗基礎上構建新知識體系.通過類比，學生可以清晰看到從一維數軸到二維平面直角坐標系的拓展，理解有序數對是確定平面內點的位置的關鍵要素，進一步理解平面直角坐標系的本質.
借助動態演示，突破學習難點：運用幾何畫板進行動態演示，將抽象的點的坐標變化與點在坐標平面內位置的變化直觀呈現.學生可以清晰觀察到坐標數值改變如何引起點的移動，以及點在不同位置時坐標的相應特征.這種可視化的教學方式，幫助學生克服了抽象思維障礙，突破了理解難點，增強了對知識的感性認識，進而上升到理性認知，提高了學習效率和質量.
（三）典例分析
例1 寫出圖中點A，B，C，D，E的坐標.
例2 在平面直角坐標系中描出下列各點： A(4，5)，B(-2，3)，C(-2.5，-2)，D(4，-2)，E(0，-4)．
解：先在x軸上找出表示4的點，再在y軸上找出表示5的點，過這兩個點分別作x軸和y軸的垂線，垂線的交點就是點A．類似地，可在圖中描出點B，C，D，E．
設計意圖：通過典型例題的分析，加深學生對平面直角坐標系核心知識的理解與運用，強化坐標與點的對應關系.這兩類例題從正反兩個角度考察學生對平面直角坐標系知識的掌握情況，通過學生的解題過程和結果，能及時發現學生在概念理解、坐標讀寫、找點繪圖等方面存在的問題，以便針對性地進行指導和強化訓練，幫助學生查缺補漏，鞏固所學知識.
（四）鞏固練習
1. 寫出圖中點A，B，C，D，E，F的坐標.
解：點A的坐標是(-2，-2)；點B的坐標是(-5，4)；點C的坐標是(5，-4)；
點D的坐標是(0，-3)；點E的坐標是(2，5)；點F的坐標是(-3，0).
在如圖所示的平面直角坐標系中描出下列各點： L(-5，3)，M(4，0)，N(-6，2)，P(5，-3.5)，Q(0，5)，R(6，2).
3. 根據點所在的位置，用 “＋”“－”填表．
4. 在平面直角坐標系中選擇一些橫、縱坐標滿足下面條件的點，標出它們的位置，看一看它們在第幾象限或在哪條坐標軸上：
(1)點P（x，y）的坐標滿足xy＞0；
(2)點P（x，y）的坐標滿足xy＜0；
(3)點P（x，y）的坐標滿足xy＝0.
解： (1)點P在第一象限或第三象限；
(2)點P在第二象限或第四象限；
(3)點P在x軸或y軸上.
5. 如圖，在所給的平面直角坐標系中描出點A(-4，-4)，B(-2，-2)，C(3，3)，D(5，5)，E(-3，-3)，F(0，0)．這些點有什么關系？你能再找出一些類似的點嗎？
解：這些點在同一條直線上. 類似的點有(1，1)，(2，2)，(-1，-1)...
6. 建立一個平面直角坐標系，描出點A(-2，4)，B(3，4)，畫出直線AB．
若點C為直線AB上的任意一點，則點C的縱坐標是什么？想一想：
(1)如果一些點在平行于x軸的直線上，那么這些點的縱坐標有什么特點？
(2)如果一些點在平行于y軸的直線上，那么這些點的橫坐標有什么特點？
猜想：點C的縱坐標是4；
(1)這些點的縱坐標相等；
(2)這些點的橫坐標相等.
驗證：幾何畫板動態演示.
設計意圖：通過讓學生寫出平面直角坐標系中點的坐標以及根據坐標描點，再次強化學生對坐標與點的位置相互轉化這一核心技能的掌握，鞏固平面直角坐標系的基礎知識.根據點所在位置歸納點的坐標特征，有助于培養學生的觀察、分析、歸納能力，掌握數學研究的基本方法.
運用幾何畫板進行動態演示，將抽象的點的位置變化以及各類線上點的特征直觀地呈現給學生.幾何畫板的動態效果能夠吸引學生的注意力，幫助學生更清晰地觀察到隨著點的移動坐標的變化規律，以及特殊位置上點的坐標共性.這種可視化教學方式有助于學生突破思維難點，深化對抽象數學知識的理解，增強學生的學習興趣和積極性.
歸納總結
感受中考
1.（2024 廣西）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為（2，1），則點Q的坐標為（C）
A．（3，0） B．（0，2） C．（3，2） D．（1，2）
2.（2023 大慶）已知a+b＞0，ab＞0，則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（D）
A．（a，b） B．（-a，b） C．（-a，-b） D．（a，-b）
第1題圖 第2題圖 第3題圖
3.（2022 宜昌）如圖是一個教室平面示意圖，我們把小剛的座位“第1列第3排”記為（1，3）．若小麗的座位為（3，2），以下四個座位中，與小麗相鄰且能比較方便地討論交流的同學的座位是（C）
A．（1，3） B．（3，4） C．（4，2） D．（2，4）
4.（2024 宿遷）點P(a2+1，-3)在第 四 象限．
解：∵a2+1≥1，-3＜0，
∴點P(a2+1，-3)在第四象限．
5.（2024 甘南州）若點P(3m+1，2-m)在x軸上，則點P的坐標是 (7，0) ．
解：∵點P(3m+1，2-m)在x軸上，
∴2-m＝0，解得：m＝2，
∴3m+1＝3×2+1＝7，
∴點P的坐標是(7，0).
6.（2024 甘南州）如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動，每移動一個單位，得到點A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么點A2020的坐標為 (1010，0)?。?br/>設計意圖：在學習完知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力.
（七）小結梳理
設計意圖：思維導圖以直觀的圖形結構，幫助學生梳理知識脈絡，明確各知識點的關聯，讓學生從整體上把握本節課內容，在腦海中構建完整的知識框架，避免知識碎片化，加深對平面直角坐標系的系統性理解.
（八）布置作業
1.必做題：習題9.1 第1題，第2題.
2.探究性作業：習題9.1 第9題.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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