資源簡介

課題：2.1等式性質與不等式性質（2）
教材：人教A版普通高中教科書《數學》必修第一冊
一、教學內容解析
本課時學習的內容是人教A版《普通高中教科書.數學（必修）》第一冊第二章2.1等式性質與不等式性質（第2課時）,是繼“不等關系與不等式”、“兩個實數大小關系的基本事實”之后的內容.其研究方法為后續研究二次函數與一元二次方程、不等式奠定了基礎.本課時的主要內容是：等式性質及其蘊含的思想方法；不等式的基本性質及其研究方法；不等式的一些常用性質.
兩個實數大小關系的基本事實是研究不等式性質的邏輯基礎.等式的基本性質是研究不等式基本性質的類比對象，不等式的基本性質與等式的基本性質都是“式”的性質，具有相似性，所以可根據等式基本性質中蘊含的數學思想來研究不等式的基本性質.不等式的基本性質又是研究不等式的一些常用性質的基礎，可以借助推廣和特殊化的方法由不等式的基本性質得出不等式的其他一些常用性質.
教學重點：梳理等式基本性質及其蘊含的數學思想方法；類比等式的基本性質猜想并證明不等式的基本性質。
二、教學目標設置
1．梳理等式的基本性質及其中蘊含的思想方法，即相等關系自身的特性和相等關系對運算的“不變性”；
2．運用等式的基本性質中蘊含的思想方法，研究不等式的基本性質，發展邏輯推理素養；
3．運用不等式的基本性質發現并證明一些常用的不等式性質，了解“一般化”“特殊化”等研究數學問題的方法，發展邏輯推理素養；
4．運用實數大小關系的基本事實和不等式的性質解決簡單的不等式問題，發展邏輯推理素養。
三、學生學情分析
不等式性質的探究是以實數大小關系的基本事實為依據，以梳理等式的性質中所蘊含的思想方法為前提，以類比等式的基本性質為方法展開的。學生雖然在初中階段學習過等式的性質和不等式的性質3、性質4，但初中是運用由特殊到一般的歸納方法得到的，并沒有進行嚴格的證明，也沒有挖掘這些性質中所蘊含的思想方法；經過初中三年的學習，學生的理性思維得到一定發展；高中階段對等式與不等式的學習強調邏輯推理和學生的理性思維，學生缺少從代數角度證明不等式的經驗.
教學重難點：類比等式的基本性質及研究方法，猜想并證明不等式的基本性質，發現不等式的一些常用性質。
四、教學策略分析
1.邏輯關聯策略：梳理—類比猜想—證明—理解運用；
2.“問題串”策略：搭建問題支架，調動學生思維；
3.小組合作學習策略：采取組內個人獨學、對子對學、組內群學的方式，落實好自主學習，并通過展示、反饋達成目標；
4.教具、信息化設備：通過導學案、多媒體課件、智慧教室環境等進行師生評價、生生評價。
五、教學過程
1.創設情境，引出課題
請學生解不等式,并闡述每一步的理由.
師生活動：請一位學生來黑板前寫出不等式的解答過程；學生集體闡述每一步解答的理由。
(預設)根據初中所學的知識，學生能很快求解出此一元一次不等式.但在闡述每一步的理由時 ，并不明白為什么這么做.
【設計意圖】通過練習，創設情境，引出問題，激發學生去探索新知.
2.回顧舊知，做好鋪墊
師生活動：小組內成員互查課前下發的導學案里“回顧舊知”部分，教師巡視。
（1）回顧兩個實數大小關系的基本事實.
如果,那么;如果,那么;如果,那么.
（2）其他實數基本事實—符號法則：
如果,那么(正數的相反數是負數)；
如果,那么(負數的相反數是正數)；
如果，那么(正數的倒數是正數)；
如果,那么（兩個正數的和是正數）；
如果,那么（兩個負數的和是負數）；
如果,,那么; 如果,,那么(同號得正)；
如果,,那么; 如果,,那么(異號得負).
【設計意圖】通過舊知回顧，便于學生運用舊知來證明不等式.
類型 等式性質 不等式性質 備注
自身 1.如果,那么. 1.如果,那么 對稱性
2.如果,,那么 2.如果,,那么 傳遞性
運算 3.如果，那么 3.如果，那么 可加性
4.如果，那么 4.如果,,那么 如果,,那么 可乘性
3.類比猜想，科學求證
“不等以等為界”，為了更好地理解和掌握不等式性質，請學生回憶等式有哪些性質？
師生活動：教師提問學生：初中學習過的等式的性質有哪些？學生敘述，教師板書上表，并幫助學生梳理等式性質所蘊含的思想方法（不等式性質先空著不填）。
問題1.根據上表，誰能給出不等式性質1？
師生活動：學生猜想不等式性質。
（預設）如果,那么.
追問1.這是不等式的自身特性，誰能證明？
師生活動：教師幫助學生整理語言，給出證明的示范，使學生感受到數學問題的證明要有章可循，要有理有據。
（預設）因為,所以（基本事實），所以(符號法則)，即,所以.
問題2.誰能給出不等式性質2呢？
師生活動：在不等式性質1的啟發下，學生自行在導學案上寫出不等式性質2的猜想及證明過程。
（預設）如果,,那么.
追問2.這是不等式的傳遞性，誰能給出證明？
（預設）因為,所以（基本事實），因為，所以（基本事實），所以（符號法則），即,所以(基本事實).
問題3.通過類比，你能否給出不等式的運算性質，并給出證明？
師生活動：小組內討論。5分鐘后，隨機抽取2組上臺展示。每組展示的人數為2人——一位學生展示猜想結果，一位學生展示證明過程。其他學生質疑補充。
（預設）性質3 如果，那么（可加性）
證明：因為,所以（基本事實），所以(,所以（基本事實）.
(預設) 性質4 如果,,那么如果,,那么(可乘性).
證明：因為,所以（基本事實），若，則(符號法則)，所以,所以（基本事實）；若，則(符號法則)，所以,所以（基本事實）.
追問3.性質4說明，不等號的方向是可以改變的.誰能解釋一下：在不等式的兩邊同乘以，不等號的方向為什么不變？
師生活動：解決“遺留”問題。繼續提問一開始上課時到黑板前解題的學生，依據本節課的知識回答上述問題。
（預設）因為，又因為，所以((符號法則)，即,即,所以(基本事實).
師生活動：教師填寫上述表格中不等式的性質。
練習：判斷正誤
如果,那么.
如果,那么.
師生活動：學生口頭回答以上兩個問題。
【設計意圖】通過表格進行類比，便于學生得到不等式的對應性質和比較它們的異同點，促進學生對新知的理解，利用證明性質4的理由解決遺留問題，做到前呼后應.
4.運用性質，推廣延伸
問題4.不等式性質3是在的兩邊同時加上相同的量,不等號的方向不變.如果在的兩邊加上不同的量,你能判斷與間的大小嗎？
師生活動：教師啟發，學生小組內互動合作。3分鐘后隨機抽取一組上臺展示（需要增加的條件、猜想、證明過程），其他學生質疑補充。
（預設）學生：無法判斷！
追問4.需要增加什么樣的條件？
（預設）學生：增加,即如果，，那么.
追問5.你能給出證明嗎？
（預設方案1）因為，所以（性質3），
因為，所以(性質3)，
所以（性質2）.
(預設方案2) 因為，所以（基本事實），因為,所以(基本事實)，所以(符號法則)，即,所以(基本事實).
問題5.不等式性質4是在的兩邊同時乘以相同的量所得，如果在的兩邊乘以不同的量，你能判斷與間的大小關系嗎？
師生活動：教師啟發，學生小組內互動合作。3分鐘后隨機抽取一組上臺展示（需要增加的條件、猜想、證明過程），其他學生質疑補充。
（預設）學生：不能！
追問6. 需要增加什么條件？
（預設）學生：如果，，那么.
追問7. 你能給出證明嗎？
（預設）證明：因為，,所以(性質4)，因為，,所以(性質4)，所以（性質2）.
問題6.這是不等式性質6，要注意其中都是正數.如果把性質6中的變為，你能得到什么結論？
師生活動：教師啟發引導，學生共同歸納總結不等式性質7.
（預設）學生：如果，那么.
追問8.顯然.再由不等式性質6，你能得到什么結論？
（預設）學生：.
追問9.如此下去，你能得到什么結論？
（預設）學生：如果，那么().
【設計意圖】通過對不等式的常用性質的證明，凸顯不等式自身的性質和運算性質的應用價值.
5.鞏固運用，拓廣探索 用不等號“”或“”填空.
師生活動：學生在導學案上獨立完成，由小組長進行批閱。生生之間進行糾錯。
(1)如果，,那么 ;
（2）如果，且則 0
(3)如果，,那么 ;
(4)如果，那么 .
例2 已知，,求證.
師生活動：教師引導學生分析證明的思路及依據，幫助學生整理語言及表達過程。
分析：要證明，因為，所以可以先證明.利用已知和性質4，即可證明.
證明：因為，所以,.
于是 ,
即 .
由,得.
【設計意圖】通過例題，強化學生利用不等式性質解決問題的能力，旨在提升學生的數學運算和邏輯推理能力.
鞏固運用，拓廣探索
作業1（必做）
①已知2,-2,求的取值范圍.
②已知，,,求證.
作業2（選做）
已知，求證.
【設計意圖】分層布置作業，“鞏固運用”面向全體學生，旨在掌握用不等式性質解決問題.“拓廣探索”讓學生運用探究不等式性質的思想方法研究問題.
6.課堂小結，歸納反思
師生活動：教師引導學生回顧本節課所學的知識及思想方法。
1.本節課學習了什么知識？
2.你是如何獲得這些知識？（方法、數學思想）
【設計意圖】總結知識、方法，提升數學核心素養。
六、教學目標檢測設計
(
既不充分也不必要條件
) (
A. 若
) (
2.
設
則
的（ ）
) (
,則
) (
,則
) (
1.設
下列命題正確的是（ ）
)
【設計意圖】第1，2題主要評價學生對不等式基本性質掌握程度；第3題主要評價學生利用不等式基本性質進行推理證明。
(
1
)

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