資源簡(jiǎn)介

三角恒等變換講義
知識(shí)點(diǎn)框架
經(jīng)典例題講解
知識(shí)點(diǎn)一：弧長和扇形面積
例1.扇子發(fā)源于我國，我國的扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，是民族文化的一個(gè)組成部分，歷來我國有“制扇王國”之稱.現(xiàn)有某工藝廠生產(chǎn)的一款優(yōu)美的扇環(huán)形扇子，如圖所示，其扇環(huán)面是由畫有精美圖案的油布構(gòu)成，扇子對(duì)應(yīng)的扇環(huán)外環(huán)的弧長為48cm，內(nèi)環(huán)的弧長為16cm，油布徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為24cm，則該扇子的油布面積大約為（油布與扇子骨架皺折部分忽略不計(jì)）
A．1024cm2 B．768cm2
C．640cm2 D．512cm2
課堂練習(xí)：1.伊麗莎白塔，俗稱“大本鐘”是英國倫敦的標(biāo)志性建筑，其上面鑲嵌著世界上最大的“鐘”，且其分針長約為4米，則經(jīng)過25分鐘，其分針的端點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的長為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
知識(shí)點(diǎn)二：同角三角函數(shù)關(guān)系
例1.若，則的值為（ ）
A．2 B． C． D．
例2.已知為銳角，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
例3.已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
課堂練習(xí)：1.已知是第三象限角且，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．
2.已知，則 ．
3.若，且，是的兩個(gè)根，則 .
4．已知是第二象限內(nèi)的角，，則 .
知識(shí)點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式
例1.在單位圓中，銳角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，連接圓心和得到射線，將射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓相交于點(diǎn)，其中．
(1)求出的值和銳角的大??；
(2)求的值；
(3)記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，若，求的值．
課堂練習(xí)：1.（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知，則（ ）
A． B． C． D．
3.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，它的終邊繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與軸的非負(fù)半軸重合，則（ ）
A． B． C． D．
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)P，且.點(diǎn)P在該單位圓上按逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)Q.若經(jīng)過的圓弧的長為，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
5.已知，則（ ）
A． B． C． D．
知識(shí)點(diǎn)四：三角恒等變換
例1.已知，則（ ）
A． B． C． D．
例2．已知，則（ ）
A． B． C． D．
課堂練習(xí)：
1.已知，，則（ ）
A． B． C． D．
2.若，，并且均為銳角，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3.已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
知識(shí)點(diǎn)四：湊配角
例1．若，則（ ）
A． B． C． D．
課堂練習(xí).1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，角為鈍角，且，則（ ）
A． B． C． D．
2.已知，則（ ）
A． B． C． D．
3.已知 ，則 （ ）
A． B． C． D．
4.已知，為第二象限角，則 .
三、課后練習(xí)
1.（多選）下列說法正確的是（ ）
A．命題“，”的否定是“，”
B．若是第二象限角，則在第三象限
C．已知扇形的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為
D．若角的終邊過點(diǎn)，則
2.已知，則（ ）
A． B． C． D．
3.若，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知，則（ ）
A． B． C． D．
5.已知，，則 .
6.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第一象限，角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 .三角恒等變換講義
知識(shí)點(diǎn)框架
經(jīng)典例題講解
知識(shí)點(diǎn)一：弧長和扇形面積
例1.扇子發(fā)源于我國，我國的扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，是民族文化的一個(gè)組成部分，歷來我國有“制扇王國”之稱.現(xiàn)有某工藝廠生產(chǎn)的一款優(yōu)美的扇環(huán)形扇子，如圖所示，其扇環(huán)面是由畫有精美圖案的油布構(gòu)成，扇子對(duì)應(yīng)的扇環(huán)外環(huán)的弧長為48cm，內(nèi)環(huán)的弧長為16cm，油布徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為24cm，則該扇子的油布面積大約為（油布與扇子骨架皺折部分忽略不計(jì)）
A．1024cm2 B．768cm2
C．640cm2 D．512cm2
【答案】B
【詳解】設(shè)扇子對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為，內(nèi)環(huán)的半徑為cm，外環(huán)的半徑為cm，
則，因?yàn)樯拳h(huán)外環(huán)的弧長為48cm，內(nèi)環(huán)的弧長為16cm，
所以，則，所以該扇子的油布面積為cm2.
故選：B
課堂練習(xí)：1.伊麗莎白塔，俗稱“大本鐘”是英國倫敦的標(biāo)志性建筑，其上面鑲嵌著世界上最大的“鐘”，且其分針長約為4米，則經(jīng)過25分鐘，其分針的端點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的長為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】先算出經(jīng)過25分鐘，分針的端點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)，再用弧長公式計(jì)算即可.
【詳解】分針每60分鐘轉(zhuǎn)一周，故每分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是，
故經(jīng)過25分鐘，分針的端點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為：，
故弧長為米.
故選：C.
知識(shí)點(diǎn)二：同角三角函數(shù)關(guān)系
例1.若，則的值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以．
故選：A
例2.已知為銳角，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求解即可；
（2）根據(jù)和正弦的兩角差公式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)闉殇J角，，從而，
所以.
（2）由及，，解得，，
又，所以，
所以，
所以
，
因?yàn)?，所?
例3.已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由平方關(guān)系求得，從而確定可提范圍，再由平方關(guān)系求得，用方程組思想求得，最后由商數(shù)關(guān)系求得
【詳解】由得，
，又，，所以，所以，A正確；
，D正確；
結(jié)合可得，，B正確；
，C不正確．
故選：ABD．
課堂練習(xí)：1.已知是第三象限角且，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先由題意求出所在的象限，再根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再根據(jù)兩角差的正切公式即可得解.
【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿牵?br/>所以，
所以，
為第二或第四象限角，所以，
由，解得（舍去），
所以.
故選：C.
2.已知，則 ．
【答案】
【分析】利用兩角差的正切公式求出，判斷再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與商的關(guān)系求解即可.
【詳解】，
，
，
，
故答案為：.
3.若，且，是的兩個(gè)根，則 .
【答案】/
【分析】先根據(jù)韋達(dá)定理得到，再由，然后結(jié)合同角的平方關(guān)系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椤殛P(guān)于x的方程的兩個(gè)根，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
又，所以，
，
故答案為：
4．已知是第二象限內(nèi)的角，，則 .
【答案】
【分析】首先求出、，再由兩角和的正切公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)槭堑诙笙迌?nèi)的角，，
所以，則，
則.
故答案為：
知識(shí)點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式
例1.在單位圓中，銳角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，連接圓心和得到射線，將射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓相交于點(diǎn)，其中．
(1)求出的值和銳角的大??；
(2)求的值；
(3)記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)1
(3)
【分析】（1）由單位圓與三角函數(shù)的定義求解；
（2）用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后可得；
（3）已知條件代入得，由同角三角函數(shù)關(guān)系得，再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后可得．
【詳解】（1）由于點(diǎn)在單位圓上，且是銳角，
可得，，則，
所以，且為銳角，可得；
（2）
；
（3）由（1）可知，
根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，
因?yàn)?，且?br/>因此，所以．
所以
．
課堂練習(xí)：1.（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求值即可.
【詳解】原式
.
故選：C
2．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，可得答案.
【詳解】，則，又，
所以.
故選：D.
3.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，它的終邊繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與軸的非負(fù)半軸重合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意得到，即可求解
【詳解】由題意可得，
所以，
所以，
故選：A
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)P，且.點(diǎn)P在該單位圓上按逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)Q.若經(jīng)過的圓弧的長為，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，利用三角函數(shù)定義可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo).
【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，
有，解得，
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
故選：C.
5.已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查誘導(dǎo)公式以及二倍角的正切公式，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，由，可得的值，進(jìn)一步可求得，利用二倍角的正切公式對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)得，將，的值代入即可求得.
【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，，根據(jù)二倍角的正切公式可得原式=，由，可得，
當(dāng)時(shí)，，代入可得；
當(dāng)時(shí)，，代入可得.
綜上可得結(jié)果為.
故選：D.
知識(shí)點(diǎn)四：三角恒等變換
例1.已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)余弦的和角公式以及弦切互化，即可求解，即可由余弦的差角公式求解.
【詳解】由可得，
解得，
故，
故選：B
例2．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由條件，結(jié)合兩角差正切公式求，結(jié)合二倍角公式，平方關(guān)系將所求式子轉(zhuǎn)化為齊次式，利用齊次式的方法求結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
因?yàn)椋?br/>所以.
故選：C.
課堂練習(xí)：
1.已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)得到，結(jié)合題目條件可得，利用倍角公式可計(jì)算的值.
【詳解】∵，∴.
∵，∴，
∴，即，
解得或（舍），
∴.
故選：C.
2.若，，并且均為銳角，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系計(jì)算可得，，再由兩角差的余弦公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由，可得，
又，所以，
因?yàn)椋?，所以?br/>所以
，
又因?yàn)椋?
故選：C
3.已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二倍角公式及正弦、余弦的齊次式的運(yùn)算求解.
【詳解】∵，
∴，即，
∴且，即且．
∵，即，
∴，
∴，且，解得，
∴.
故選：C.
4．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助三角恒等變換公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】由，
即，
即，
即
由，則，
即，
即有，解得，
故.
故選：A.
知識(shí)點(diǎn)四：湊配角
例1．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先將用表示為，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解即得.
【詳解】因，
則.
故選：A.
課堂練習(xí).1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，角為鈍角，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)有，，平方關(guān)系得，應(yīng)用求值確定的值，最后由求值.
【詳解】由題意知：，，又，則，
若，則，與為鈍角矛盾，舍去，
故，所以.
故選：D
2.已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由條件根據(jù)二倍角余弦公式可求，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>即，
所以．
故選：D．
3.已知 ，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和差的余弦公式求得，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式可求解.
【詳解】依題意，，即，則，
所以.
故選：A
4.已知，為第二象限角，則 .
【答案】
【分析】由及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得，再根據(jù)并結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解．
【詳解】∵，
∴，
，
∵為第二象限角，∴，∴，
∴
.
故答案為：
三、課后練習(xí)
1.（多選）下列說法正確的是（ ）
A．命題“，”的否定是“，”
B．若是第二象限角，則在第三象限
C．已知扇形的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為
D．若角的終邊過點(diǎn)，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)含量詞的命題否定,弧長,面積公式,誘導(dǎo)公式,任意角三角函數(shù)定義分別判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A：命題“，”的否定是“，”故A正確;
對(duì)于B： 因?yàn)椋忠驗(yàn)槭堑诙笙藿牵?，
所以，則在第三象限，故正確;
對(duì)于C：已知扇形的面積為4，周長為10，則
或
(舍)或者，故C正確；
對(duì)于D：角的終邊過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
2.已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式求得結(jié)果.
【詳解】由，得.
故選：D
3.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：D.
4．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】整體代換應(yīng)用誘導(dǎo)公式計(jì)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合二倍角公式計(jì)算即可.
【詳解】令，則，，
.
故選：D.
5.已知，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、半角公式以及兩角和的正弦公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以，，
所以.
故答案為：.
6.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第一象限，角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 .
【答案】
【分析】由三角函數(shù)的定義可得出的值，再利用誘導(dǎo)公式可得出的值，即為所求.
【詳解】由題意可得，
則角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
故答案為：.

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