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第10章 相交線、平行線與平移
10.1 相交線
第1課時 對頂角
1.了解兩條直線相交所構成的角，理解并掌握對頂角的概念.
2.理解對頂角性質的推導過程，并會用這個性質進行簡單的證明和計算.
3.了解對頂角的概念，通過探索對頂角性質的過程，進一步培養(yǎng)學生的識圖能力.
4.有意識地引導學生積極參與到數(shù)學活動過程中，培養(yǎng)學生觀察、分析、推理的能力，體會數(shù)學這與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系.
【教學重點】
對頂角的性質及運用.
【教學難點】
對頂角性質的探索.
情境導入，初步認識
問題：觀察剪刀剪東西的過程，可以將剪刀的兩片刀刃邊沿看作是兩條相交直線，如圖（1）中虛線所示.把這兩條相交直線用圖（2）表示，在剪東西的過程中，∠AOC與∠BOD這兩個角的位置和大小始終保持怎樣的關系？
【教學說明】教師提出問題，學生獨立思考，然后相互交流，發(fā)表各自的見解，初步感知相交線與對頂角.
二、思考探究，獲取新知
1.對頂角的概念問：在圖（2）中，∠1和∠3有何位置關系？
【教學說明】教師提出問題，學生觀察圖片，歸納對頂角的概念.
【歸納結論】在圖（2）中，直線AB與CD相交于點O，∠1和∠3有公共頂點O，并且它們的兩邊分別互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角.
2.對頂角的性質
探究：在圖（2）中，∠1與∠3的大小有什么關系？你能說明具有這樣關系的道理嗎？
【教學說明】教師提出問題，學生觀察圖形，嘗試進行推理論證，感受數(shù)學的嚴密性和邏輯性.
∵∠1+∠2=180°
∠3+∠2=180°
∴∠1=∠3
【歸納結論】對頂角相等.
三、典例精析，掌握新知
例1 如圖所示，直線AB和CD相交于點O，OE是一條射線.
（1）∠AOC的鄰補角是
(2)∠AOD的對頂角是
（3）∠BOD的對頂角是
【解】 （1）∠AOD,∠BOC
(2)∠BOC
(3)∠AOC
例2 如圖，直線a,b相交，∠1=40°,求∠2、∠3、∠4.
【解】∵∠1=40°
∴∠3=∠1=40°
∴∠2=180°-∠1=180°-40°=140°
∴∠4=∠2=140°.
例3 如圖所示，直線AB、DF交于點C，CE是一條射線，∠2=2∠1、
∠ECD=120°.求∠ACF.
【解】∵∠ECD=120°
∴∠1+∠2=60°
又∠2=2∠1
∴∠2=40°
∴∠ACF=∠2=40°.
例4 如圖，∠AOC與∠BOD為對頂角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.請求出∠EOF的度數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？能用一句簡潔的語句描述你的發(fā)現(xiàn)嗎？
【解】∵∠AOC與∠BOD為對頂角
∴C、O、D在同一條直線上.
又OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.
∴∠COE= AOC,∠DOF=∠BOD.
又∠AOC=∠BOD
∴∠COE=∠DOF.
∴∠EOF=∠COE+∠COF=∠DOF+∠COF=∠COD=180°.
發(fā)現(xiàn)：對頂角的角平分線在同一條直線上.
【教學說明】教師給出例題，學生獨立自主完成，教師可讓幾個學生上臺展示自己的答案，交流各自的心得，積累解決問題的經驗與方法.
四、運用新知，深化理解
1.下列說法正確的是（ ）
A.相等的角是對頂角；
B.若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；
C.若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等；
D.有公共頂點且相等的兩個角是對頂角.
2.判斷下列各圖中∠1與∠2是否為對頂角，并說明理由.
3.如圖，兩條直線相交，∠1=35°,求∠2和∠3的度數(shù).
4.如圖，直線AB、CD交于點O，OE平分∠BOD.若∠3∶∠2=8∶1，求∠AOC的度數(shù).
【教學說明】教師給出習題，學生嘗試獨立完成，教師巡視，對解題過程中出現(xiàn)的問題及時予以指正，對有困難的學生進行點撥.
【答案】1.B 2.（1）不是對頂角，∠1與∠2沒有公共頂點;
（2）不是對頂角，∠1與∠2的兩邊不是分別互為反向延長線；
（3）不是對頂角，理由同（2）;
（4）不是對頂角，∠1與∠2是鄰補角;
（5）是對頂角;
（6）不是對頂角，理由同（1）.
3.∠2=∠1=35°
∠3=180°-∠1=145°.
4.∵OE平分∠BOD∴∠1=∠2
又∠3∶∠2=8∶1 ∴∠3=8∠2.
又∠1+∠2+∠3=180° ∴10∠2=180°,
∴∠2=18°
∴∠AOC=∠BOD=2∠2=36°.
五、師生互動，課堂小結
通過這節(jié)課的學習，你掌握了哪些新知識？還有哪些疑問？請與同伴交流.
【教學說明】學生相互交流，回顧對頂角的概念與性質，加深對所學知識的理解和運用.
完成練習冊中本課時練習.
從生活實際引出對頂角，再探究對頂角的性質，學生積極主動，在合作交流中體會成功的喜悅，增強學好數(shù)學的信心.
第2課時 垂線
1.了解垂線的概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線.
2.了解垂線段，點到直線的距離的概念.
3.掌握垂直公理和垂線段的性質，會進行簡單的推理.
4.通過動手操作與合作交流，體會數(shù)學知識的嚴密性和邏輯性.
5.有意識地引導學生積極參與數(shù)學活動，培養(yǎng)學生合作交流意識，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.
【教學重點】
垂直公理和垂線段的性質.
【教學難點】
幾何語言的準確敘述.
一、情境導入，初步認識
問題將十字街口的兩條道路看作兩條直線，如圖（2）中的AB和CD，它們相交于點O，形成4個角，如果∠AOC=90°，那么其他3個角的度數(shù)各是多少？為什么？
【教學說明】教師提出問題，學生獨立思考然后相互交流，初步感受生活中的垂直.
二、思考探究，獲取新知
問題 在上面的問題中，AB與CD有怎樣的位置關系？
【教學說明】教師提出問題，學生很容易想到小學所學知識，激發(fā)學生繼續(xù)學習的興趣.
【歸納結論】在兩條直線AB和CD相交所成的4個角中，如果有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，記作“AB⊥CD”，讀作“AB垂直于CD”，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點O叫做垂足.
垂直公理
操作：（1）用三角尺畫垂線.
仿照下面圖的畫圖辦法，過已知直線l上（或外）的一點P畫直線,使它與直線l垂直.
用折紙方法畫垂線.
仿照圖所示的方法，折出經過點P與直線l垂直的折痕，用直尺沿折痕畫出直線.
問題：通過上面的操作，你知道過一點畫已知直線的垂線，能畫幾條嗎？
【教學說明】教師提出問題，學生觀察，實際操作，很容易得出結論，學生共同歸納，體會數(shù)學語言的嚴密性.
【歸納結論】過一點有且只有一條直線垂直于已知直線.
3.垂線段
（1）如圖，點P在直線l外，在直線l上任意取一些點A，B，C，O，把這些點分別與點P連接，得到線段PA，PB，PC，PO，其中PO⊥l.
觀察這些線段，比較它們的長短，其中哪一條線段最短？
（2）點P在直線l外，把一根細繩的一端用圖釘固定在點P處，拉緊細繩，按圖所示步驟進行操作.
觀察細繩上的標記點O（垂直拉緊時的垂足）位置的變化，你有什么發(fā)現(xiàn)？
【教學說明】學生通過觀察，實際操作，并歸納結論.
【歸納結論】在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段（連接直線線外一點與垂足形成的線段）最短.
直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離.
三、典例精析，掌握新知
例 如圖所示，已知OB⊥OD,∠1=∠2,試判斷OA與OC的位置關系，并說明理由.
【解】OA⊥OC.理由如下：
∵OB⊥OD
∴∠2+∠BOC=90°
又∠1=∠2
∴∠1+∠BOC=90°
即∠AOC=90°
∴OA⊥OC.
【教學說明】教師給出例題，學生獨立完成，教師可選幾個同學上臺展示自己的答案，交流各自的心得，積累解決問題的經驗.
四、運用新知，深化理解
1.如圖，在三角形ABC中，D是BC中點，連接AD，請分別畫出自點B，C向AD所作的垂線（垂足為E，F(xiàn)）.
2.（1）如圖，用三角尺畫出點A到直線BC的垂線段；
（2）畫出點B到直線AC的垂線段.
3.如圖，直線l表示一條公路，點P是一所學校所在的位置.要修一條從學校到公路的道路，如何修才能使道路最短？畫出所修道路的示意圖.
【教學說明】教師給出習題，學生獨立完成，教師巡視，指導學生規(guī)范作圖.
五、師生互動，課堂小結
通過這節(jié)課的學習，你掌握了哪些新知識？還有哪些疑問？請與同伴交流.
【教學說明】學生相互交流，回顧垂線、點到直線的距離等概念，理解“垂直公理”和“垂線段最短”等性質.
完成練習冊中本課時 練習.
從生活中的實際例子引出垂線、點到直線的距離等概念，再探究垂直公理和垂線的性質，學生積極主動參與到教學活動中來.

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