資源簡介

最短路徑問題教學設計
一、教學內容分析
《最短路徑問題》是人教版八年級上冊第十三章《軸對稱》的課題學習內容，是在學生已經學習過軸對稱、三角形的基礎上，探究如何利用線段公理解決最短路徑問題。它既是軸對稱、平移、三角形知識運用的延續，又能培養學生獨立思考、自主學習、合作探究的能力，在知識與能力轉化上起到銜接作用。本節課的學習過程體現了建模、轉化、類比的數學思想方法。
二、學情分析：
作為八年級上冊的學生，在以前的學習中很少遇到最值問題（最短路徑問題即最值問題），所以在解決這方面問題的方法儲備較少，感覺比較陌生，無從下手；但是學生已有兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形三邊關系、線段垂直平分線的性質與軸對稱的知識儲備，為本節課的學習奠定了較好的基礎。所以本節課的策略就是怎樣建立這些知識之間的聯系，從而解決本節課的問題。
三、學習目標：
1、能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題,體會圖形的變化在解決最值問題中的作用。
2、在將實際問題抽象成幾何圖形的過程中,提高分析問題、解決問題的能力及滲透感悟轉化思想。
3、通過有趣的問題提高學習數學的興趣.在解決實際問題的過程中,體驗數學學習的實用性。
四、教學重、難點
1．重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。
2．難點：探索發現“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說理。
五、教學過程
學習過程設計
學習流程 學生活動 設計意圖
（一）創設情境、導入新課師：日常生活中從A地前往B地，人們都喜歡走紅色這條路線，而不走藍色這條路線，為什么？生：這樣走更近。師：依據是什么？生：（1）兩點之間，線段最短（2）三角形兩邊之和大于第三邊而我們這節課所要共同探討的內容就是——最短路徑問題。（板書）知識回顧1．兩點的所有連線中， 最短。2.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中， 最短。 通過日常生活中的實例，引起學生興趣，調動其學習的積極性。同時新課程標準強調數學與現實生活的聯系，而且要求“數學教學必須從學生熟悉的生活情境和感興趣的事物出發”，使他們體會到數學就在身邊，感受到數學的趣味和作用，體驗到數學的魅力。利用生活常識學生很容易得到答案，感受數學來源于生活。
自學教材第85 頁至87 頁，思考下列問題：1．求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求，其依據是兩點的所有連線中，線段最短．2．求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．3．在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇． 引導學生思考現象背后蘊含的數學原理，對這節課的教學做好鋪墊。
例題1、相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：　　從圖中的A 地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B 地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？問：1.這是一個實際問題，你打算首先做什么？答：將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線．追問：你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？ 答：從A 地出發，到河邊l 飲馬，然后到B 地；在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地到飲馬地，再回到B 地的路程之和；現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C 為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小問：2.你能找到這樣的點C了嗎？答：還是不能問：當點A、B在直線l的異側，點C在直線l的什么位置時，AC+BC的和最小？答：連接A、B兩點所在的線段，交直線l于點C，C點即為所求。依據: 兩點之間，線段最短。問：4.觀察剛才的圖形和問題圖形，它們的點和直線的位置關系有什么不同？答：點在直線的同側和異側問：5.你能把同側的問題轉化為異側解決嗎？（學生思考，也可以相互之間討論一下）（1）作點B關于直線l 的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l 相交于點C．則點C 即為所求． （也可以作A點關于l的對稱點）問：6.你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？（學生以小組為單位合作解決這個問題）證明：如圖，在直線l 上任取一點C′（與點C 不重合），連接AC′，BC′，B′C′ 由軸對稱的性質知， BC =B′C，BC′=B′C′∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′．　即　AC +BC 最短．教師引導學生對解決問題的思想、方法的小結。練習：1．如圖， A、B是河流 同側的兩個村莊，現要在河邊修一個抽水站向兩村供水，問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請在圖中表示出來．答：如下圖，作點B關于l的對稱點B′，連接AB′交l于點P，點P即為所求． 為學生提供生活情景，培養學生把生活問題轉化為數學問題的能力。經歷觀察—作圖—總結等活動，感受幾何的研究方法，培養學生的邏輯思考能力。通過實際問題建模成數學問題，讓學生體會建模思想，認識到數學是刻畫表達各種現象的重要方法，由于計算機的發展，數學已不僅是一門學科，還是一門技術，在自然科學、社會科學的領域都有應用，感受數學于薄小紙片上決勝千里之外的巨大作用，激發學生的上進心、求知欲，培養學生用數學的意識和能力，落實學習目標。 及時練習鞏固，鍛煉學生的動手能力，同時也檢驗學生的掌握情況。
例題2、如圖所示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點，在BC邊上求作一點P，使△PMN的周長最小。小組合作完成解題思路：過點M作BC的對稱點 M′，連接M′N，與BC的交點即為所求的點P。如圖，牧馬人要把馬從馬棚A牽到草地邊吃草,然后到河邊飲水，最后再回到馬棚A。問題：請你確定這一過程的最短路徑。（學生小組合作討論，相互交流解題經驗）1.轉化為數學問題: 如圖，在l1、l2之間有一點A,要使AM+MN+NA最小,點M、N應該在 l1、l2的什么位置 解題思路：（1）過直線l1、l2作A點關于它們的對稱點A′, A′′,（2）連接A′A′′所在的線段，與直線l1、l2分別交于點M、N（3）走A—M—N路線就最短 類比思維方法是數學創造性思維中很重要的一種思維方法,通過類比剛才解決問題的方法，小組合作，很容易就能完成這個問題。由于此題較難，充分發揮小組的優勢來解決這個問題。進一步提升學生利用已學知識解決問題的能力，并在設置上由淺入深，逐漸加深學生思考，培養學生應用意識、創新意識、過程經驗，通過這道題繼續鞏固本節課解題基本思路（軸對稱、線段和最短），再次體會轉化思想，把本節課的知識進一步拓展延伸。
本節課你收獲了哪些知識？1、本節課研究問題的基本過程：2、本節課運用了轉化的數學思想方法。 教師引導學生歸納本節課的知識要點和思想方法，使學生對本節課的學習有一個較為整體、全面認識，同時使學生養成善于總結的良好的學習習慣，在開動思維、深入探究直到解決問題中獲得成功，最后由教師精講點撥。
2、如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑． 答：作Q關于直線BC的對稱點Q′，連接PQ′交BC于R，∴旅游船線路：P—Q—R—P. 既是練習又是檢測，教師通過巡視和發揮小組的作用了解學生的掌握情況并及時處理。
安全教育 課后不要追逐打鬧，上下樓梯靠右行，注意安全，課間喝水。
A
B
C
B’
C
C’
A
L1
.
A
L2
數學模型
實際問題
邏輯證明
合情推理

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