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第二章 相交線和平行線
2.1兩條直線的位置關系（1）
生活中的“線”
導入新知
在同一平面內，兩條直線的位置關系有相交和平行兩種.
相交線
平行線
若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為相交線.
在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線.
知識點1 平行線和相交線
探究新知
如圖，直線AB與CD相交于O.觀察圖中的∠1與∠2的位置有什么關系
位置關系：
1.∠1和∠2有公共頂點O；
2.∠1和∠2的兩邊互為反向延長線.
知識點2 對頂角的定義及性質
探究新知
對頂角的定義：
有公共頂點，且兩邊互為反向延長線的兩個角叫做對頂角.
∠1和∠2
∠3和∠4
圖中的對頂角有：
探究新知
如圖所示的四個圖形中,∠1和∠2是對頂角的是 ( 　)
探究新知
B
對頂角的性質：對頂角相等.
∠1和∠2有什么數量關系？
∠1=∠2
驗證：
因為∠AOB=∠COD=180°，
所以∠2+∠3=180°，
∠1+∠3=180°.
所以∠1=∠2.
所以∠2=180°-∠3，
∠1=180°-∠3.
探究新知
探究新知
理解對頂角需要注意的兩點
1.對頂角是兩條直線相交形成的，它們成對出現，不能單獨說一個角是對頂角。
2.對頂角既反映兩角之間的位置關系，又反映兩角之間的數量關系。
知識點3 補角、余角
觀察圖中的∠1與∠3，∠2與∠4的數量有什么關系
∠1+∠3=180
∠2+∠4=180
探究新知
如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補角（簡稱互補）.
互余、互補只與數量有關，與位置無關。
如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角（簡稱互余）.
如圖,ON與DC交于點O,∠DON=∠CON=90°,且∠1=∠2.在圖中:
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
(1)有哪些角互為補角 有哪些角互為余角
(2)∠3與∠4有什么關系 為什么
(3)∠AOC與∠BOD有什么關系 為什么
探究新知
如圖，ON與DC交于點O，∠DON=∠CON=90 ，∠1=∠2.
（1）有哪些角互為補角？有哪些角互為余角？
探究新知
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
如圖，ON與DC交于點O，∠DON=∠CON=90 ，∠1=∠2.
（2）∠3與∠4有什么關系？為什么？
理由：因為 ∠DON=∠CON=90 ，
結論：∠3=∠4
所以 ∠3=90 -∠1，∠4=90 -∠2.
因為∠1=∠2，
所以∠3=∠4.
性質：同角或等角的余角相等.
探究新知
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
如圖，ON與DC交于點O，∠DON=∠CON=90 ，∠1=∠2.
（3）∠AOC與∠BOD有什么關系？為什么？
理由：因為 ∠DOC=180 ，
結論：∠AOC=∠BOD
所以 ∠AOC=180 -∠1，
因為 ∠1=∠2，
所以 ∠AOC=∠BOD.
∠BOD=180 -∠2.
性質：同角或等角的補角相等.
探究新知
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
1.下列說法正確是（ ）
A.在同一平面內，不相交的兩條射線是平行線
B.在同一平面內，兩條直線不相交就重合
C.在同一平面內，沒有公共點的兩條直線是平行線
D.不相交的兩條直線是平行線
直線
平行
在同一平面內
C
課堂檢測
2.下列說法正確的有 ___________（填序號）
①已知∠A=40°，則∠A的余角等于50°.
②若∠1+∠2=180°，則∠1和∠2互為補角.
③若∠1+∠2+∠3=180°，則∠1，∠2，∠3互補.
互補和互余指的都是兩個角！

課堂檢測
3.如圖,點A,O,B在同一直線上,且∠AOC=∠BOC=∠EOF=90°,則∠AOE的余角有 (　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
B
課堂檢測
課堂檢測
4.如圖,直線AB,CD相交于點O,已知∠AOD=160°,則∠BOC的大小為 (　　)
A.20° B.60° C.70° D.160°
D
1.相交線與平行線
2.對頂角
3.余角和補角
在同一平面內，兩條直線的位置關系有相交和平行兩種.
定義：有公共頂點，且兩邊互為反向延長線的兩個角叫做
對頂角.
性質：對頂角相等.
定義：如果兩個角的和是180 ，那么稱這兩個角互為補角.
如果兩個角的和是90 ，那么稱這兩個角互為余角.
性質：同角或等角的補角相等，
同角或等角的余角相等.
課堂小結
作業
內容
正式作業
課后習題2.1：1，3，4
家庭作業
績優學案：核心解讀、基礎過關（必做）
能力提升、素養拓展（選做）
課后作業兩條直線的位置關系 教學設計
教材分析
本節內容首先介紹平行線、相交線,在初中數學中起到承上啟下的作用。在小學,學生已對平行、相交有了初步的了解，已經在形象上知曉了,本節內容在學生已有的基礎上讓學生自行探索平行、相交的概念，為即將要學習的“探索直線平行的條件”、“探索平行線的性質”等打基礎.本課又是繼“角”及“角的大小比較”之后的內容，是進一步認識角，并認識兩角之間的關系,并為尋找角之間的數量關系打下基礎，同時也為以后的學習做好鋪墊。從知識的準備上，學生已認識了角，有了這個基礎,對于本課認識做好好了鋪墊；從難度上，難度不大，學生也能學會；從知識呈現體系，也是很恰當地；從應用上，學生主經常找角的數量關系,應用價值很大。
二、教學目標
1. 通過觀察、操作、推理、交流等過程,進一步培養空間觀念、推理能力和表達能力。
2.在具體情境中,了解余角、補角、對頂角,掌握同角或等角的余(補)角相等,對頂角相等,并能解決一些實際問題。
三、教學重難點
【重點】了解對頂角、余角、補角的概念及應用有關性質解決實際問題。
【難點】應用對頂角、余角、補角的性質解決實際問題。
四、教學準備
教師準備：多媒體、課件、練習題
學生準備：課本、練習本、三角尺、量角器
教學方法
引導-探究-發現法
六、教學過程
1.新課導入
我們在生活中處處可見道路、房屋、山川、橋梁……在這些大自然的杰作和人類的創造物中,蘊含著大量的直線、射線、線段，下面我們就來欣賞一組生活中的圖片。
[處理方式]同學們觀察圖片,并與同伴交流觀察幾幅圖片后的發現,得出圖中的線有些是平行的，有些是相交的，由其中一個小組作展示,其余同學作補充，教師引入課題:本節課我們就共同學習與兩條直線的位置關系相關的知識。
新知構建
探究活動1　兩條直線的位置關系
我們在七年級上冊學習了直線和直線的表示方法,請同學們在紙上畫兩條直線,并用字母表示。(教師展示部分學生所畫的圖)
師:以上這些同學所畫直線的位置關系可以分為幾類
生:可以分為兩類，分別為相交和平行。
師:但是我們所展示的圖形中有三種情況,如何解釋呢
生:因為直線是無限延伸的,圖(1)中把直線a和b畫長點就變成了兩條相交的直線。
師:這位同學解釋得非常好!這就是我們這節課要研究的兩條直線的位置關系。
師:通過大家的畫圖我們知道了兩條直線的位置關系有相交和平行兩種，但是在說兩條直線的位置關系時,我們應強調什么問題呢
生:必須在同一平面內。
師:很好!也就是說平面內兩條直線的位置關系有兩種:平行和相交.那么什么是相交線和平行線呢
生:若兩條直線只有一個公共點,我們稱這兩條直線為相交線。
生:在同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線。
師:下面請同學們欣賞幾幅生活中的圖片,并指出圖片中的相交線和平行線.(課件展示圖片,找學生指出圖片中的相交線和平行線)
師:你還能舉出生活中有關相交線和平行線的例子嗎 (學生舉出例子有窗戶、黑板、學校的推拉門、教室的墻等等)
[設計意圖]讓學生觀察圖片,不但可以體會到幾何來源于生活,激發學生學習的興趣,還可以更進一步地理解平行線、相交線的概念。
探究活動2　對頂角的定義與性質
【活動內容】　觀察下面圖形,思考問題。
問題1：觀察上面圖中的∠1與∠2、∠3與∠4的位置有什么關系
[處理方式]回憶角的定義，從頂點和邊兩個要素入手，學生觀察總結之后,教師予以補充確定，得到對頂角的概念。
【歸納總結】如圖①所示,直線AB和CD相交于點O,∠1和∠2有公共點O,它們的兩邊互為反向延長線,具有這種位置關系的兩個角叫對頂角。
【即時練習】(多媒體顯示)
1.下列各圖中,∠1和∠2是對頂角的是 ( )
問題2：∠1與∠2的數量有什么關系？
[處理方式]第一種方法用量角器測量，第二種方法利用數學推理。學生觀察總結之后,教師予以補充確定，得到對頂角的性質：對頂角相等。
【歸納總結】
理解對頂角需要注意的兩點：
1.對頂角是兩條直線相交形成的，它們成對出現，不能單獨說一個角是對頂角。
2.對頂角既反映兩角之間的位置關系，又反映兩角之間的數量關系。
探究活動3　補角、余角的定義及性質
1.補角和余角的定義。
問題：在右圖中,∠1與∠3有什么數量關系
【歸納總結】
補角定義:如果兩個角的和是180°,那么稱這兩個角互為補角。
余角定義:如果兩個角的和是90°,那么稱這兩個角互為余角。
2.補角和余角的性質。
如圖(1)所示,打臺球時,選擇適當的方向,用白球擊打紅球,反彈后的紅球會直接入袋,此時∠1=∠2,將圖(1)抽象成圖(2),ON與DC交于點O,∠DON=∠CON=90°,且∠1=∠2.在圖(2)中:
(1)有哪些角互為補角 有哪些角互為余角
(2)∠3與∠4有什么關系 為什么
(3)∠AOC與∠BOD有什么關系 為什么
[處理方式]小組討論，讓學生在不斷的探索過程中得到不同程度的感悟,自己能夠主動地去探究問題的實質,體驗成功的喜悅；教師要充分發散學生的思維,鼓勵學生各抒己見進一步培養學生的推理能力。
【歸納總結】同角或等角的余角相等,同角或等角的補角相等。
[設計意圖]先給出臺球桌面的實景圖,再給出由實景圖抽象出的幾何圖形,引導學生了解抽象的必要性和抽象的過程,并通過問題串,引導學生探索出“同角或等角的余角相等,同角或等角的補角相等”的結論。
3.課堂檢測
1.下列說法正確是（ ）
A.在同一平面內，不相交的兩條射線是平行線。
B.在同一平面內，兩條直線不相交就重合。
C.在同一平面內，沒有公共點的兩條直線是平行線。
D.不相交的兩條直線是平行線。
2.下列說法正確的有 ___________（填序號）
①已知∠A=40°，則∠A的余角等于50°。
②若∠1+∠2=180°，則∠1和∠2互為補角。
③若∠1+∠2+∠3=180°，則∠1，∠2，∠3互補。
3.如圖,點A,O,B在同一直線上,且∠AOC=∠BOC=∠EOF=90°,則∠AOE的余角有 (　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4.如圖,直線AB,CD相交于點O,已知∠AOD=160°,則∠BOC的大小為 (　　)
A.20° B.60° C.70° D.160°
4.課堂小結
(1)兩條直線的位置關系。
(2)平行線、相交線的定義。
(3)對頂角的定義及性質。
(4)余角、補角的定義及性質。
板書設計
兩條直線位置關系
相交線與平行線
在同一平面
對頂角
定義：有公共頂點，且兩邊互為反向延長線的兩個角叫做對頂角。
性質：對頂角相等。
余角、補角
定義：如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補角（簡稱互補）。
如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角（簡稱互余）。
性質：同角或等角的余角相等。
同角或等角的補角相等。
作業布置
①課后習題2.1：1，3，4
②績優學案：核心解讀、基礎過關（必做）能力提升、素養拓展（選做）
七、教學反思
首先從反映生活中存在的兩條直線位置關系的圖片的觀察入手,提出兩條直線的兩種位置關系(相交與平行),接著介紹對頂角的概念及其性質,然后學習補角、余角,使學生在直觀情境中,認識相交線所成的角的概念及其性質。
本課時注重創設“開放”的教學環境,引導學生從身邊熟悉的情境出發,使學生經歷從現實生活中抽象出數學模型的過程,體會知識的重要性和在生活中的廣泛應用。通過課堂開放,讓學生在直觀有趣的問題情境中學到有價值的數學,同時也為學生搭建了一個充分展示自我的舞臺,在活動中提高與他人合作交流的能力,激發了學生的潛能,使學生成為課堂的主人,提高了學生分析問題、解決問題的能力。
不足之處：
討論時,應該留給學生充分的獨立思考的時間,不能讓一些思維活躍的學生 的回答代替了其他學生的思考,掩蓋了其他學生的疑問。
在講述補角、余角定義時可以讓學生畫出兩個角,使它們的和為90°；畫出兩個角,使它們的和為180°。選擇有代表性的圖形,使所畫兩角在位置關系上都不同,但是它們在數量上兩角的和都是90°或180°。讓學生理解互余與互補是指兩個角之間的數量關系,與它們的位置無關。而不是老師直接提出互補、互余與位置無關。
應注重學生幾何語言的培養,對課堂生成的問題,應予以重視。

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