資源簡介

田忌賽馬
一、教材分析
田忌賽馬是數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化中的一課，通過古代故事的分析，滲透博弈論的全局觀與取舍策略，在對抗競爭中尋求最優(yōu)對策，滲透“運(yùn)籌優(yōu)化”思想。本節(jié)課要讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究的過程，體驗(yàn)解決問題策略的多樣化，并在尋求解決問題最優(yōu)方案的過程中積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想。除此之外，教師要引導(dǎo)學(xué)生從故事中發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析問題、解決問題，也有助于學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的新認(rèn)識：數(shù)學(xué)絕不僅僅是計(jì)算，數(shù)學(xué)也能優(yōu)化對策。
二、學(xué)情分析
田忌賽馬的故事膾炙人口，學(xué)生對孫臏的取勝策略比較清楚，沒有新奇感。學(xué)生在此前已經(jīng)學(xué)會(huì)三個(gè)元素的排列問題，所以大部分學(xué)生都能有序地排列出田忌六種出馬順序。對于可能性，學(xué)生有一定的感性認(rèn)知，但小部分學(xué)生能主動(dòng)想到用分?jǐn)?shù)來表示簡單事件的可能性。
三、教學(xué)目標(biāo)
1.經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的方法分析田忌賽馬取勝的過程，積極探索最優(yōu)對策。
2.感受統(tǒng)籌優(yōu)化的思想，體會(huì)策略的重要性，能運(yùn)用對策解決生活問題。
3.初步形成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識和實(shí)踐能力。
四、教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：用數(shù)學(xué)的方法分析田忌取勝策略。
教學(xué)難點(diǎn)：從不同情境中體會(huì)以弱勝強(qiáng)策略的唯一性。
五、設(shè)計(jì)思路
本設(shè)計(jì)圍繞著“優(yōu)化思想”，貫穿三大任務(wù)，讓學(xué)生在思考中體會(huì)最優(yōu)策略。從由學(xué)生熟悉的“田忌賽馬”入手研究對策問題，設(shè)置“實(shí)力排序”、“探究策略”、“再次賽馬”三個(gè)環(huán)節(jié)。學(xué)生從定性分析轉(zhuǎn)變?yōu)楸容^數(shù)的大小的定量刻畫馬的實(shí)力強(qiáng)弱。基于此，學(xué)生經(jīng)歷多樣化的賽馬策略，探尋這唯一策略背后的優(yōu)化思想。最后，學(xué)生在再次賽馬的想象中，讓雙方“博弈”起來，體驗(yàn)不同情況下田忌獲勝的可能性，從而反復(fù)體會(huì)以弱勝強(qiáng)策略的唯一性，補(bǔ)足以弱勝強(qiáng)策略的前提。這樣的設(shè)計(jì)讓田忌賽馬更富有數(shù)學(xué)味，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從表征、探究、想象，一步步走進(jìn)深度學(xué)習(xí)。
六、教學(xué)流程
（一）問題導(dǎo)入，回顧故事
師：你們都清楚田忌賽馬的故事了嗎？誰能說一說這兩輪比賽的情況？
評價(jià)：第一個(gè)勇敢發(fā)言的小姑娘／小伙子，講得不錯(cuò)。
師：為了看得更清楚，我們還可以用表格來記錄這兩輪比賽的情況。借助表格，誰再來回顧一遍？
師：同意嗎？看來大家都非常了解比賽情況。我們今天就用數(shù)學(xué)的眼光來研究田忌賽馬。板書：田忌賽馬
[設(shè)計(jì)意圖]回顧田忌賽馬比賽情況，并為后續(xù)比較排序作鋪墊。
（二）定量刻畫，探究對策
1.理清問題條件
（1）排序
師：齊王和田忌各自都有3匹馬，一共有幾匹馬？我們先來研究這6匹馬的實(shí)力誰強(qiáng)誰弱。誰聲音響亮，來讀任務(wù)要求：
1.根據(jù)比賽情況，按實(shí)力由強(qiáng)到弱給齊王、田忌6匹馬排排序
（提示：6匹馬用數(shù)學(xué)符號（字母或數(shù)字）來表示）
2.先自己獨(dú)立思考完成，再四人小組交流你的想法
師：大家聽明白了嗎？提醒下排序時(shí)可以用大于號連接，寫在學(xué)習(xí)單的第一大題。
師：我收集了同學(xué)們的作品。
預(yù)設(shè)1：A>B>C>D>E>F或A>a>B>b>C>c
師：誰看懂了嗎？
師：他是用不同字母來表示這六匹馬的。這個(gè)排序?qū)幔?br/>師：那他是怎么根據(jù)比賽排出這個(gè)順序？
師：你根據(jù)第一輪知道了同等級的馬都是齊王的厲害。那B>C、D>E，你們又是怎么知道的？
預(yù)設(shè)：根據(jù)最后一次比賽的結(jié)果。
師：看來田忌的馬還是比齊王低一等級的馬強(qiáng)。
預(yù)設(shè)2：序號
師：老師這里還有一副作品，瞧，他又用什么表示這六匹馬的呢？
預(yù)設(shè)：序號
師：看來不僅用字母，也可以用數(shù)字編號。
預(yù)設(shè)3：9>8>7>6>5>4（標(biāo)出）
師：第三幅作品也是用數(shù)字表示的。你能看明白嗎，請這位小作者上來介紹下他的想法。
師：誰聽明白了嗎？（那這個(gè)數(shù)字和馬的實(shí)力強(qiáng)弱有什么關(guān)系？）
師：這個(gè)小朋友很有想法。他是用數(shù)字的大小排序來表示馬的實(shí)力強(qiáng)弱，數(shù)字越大，實(shí)力越強(qiáng)。
師：剛才你們的表示方式都很簡潔，今天我們就用這種好方法來研究田忌賽馬的問題。
[設(shè)計(jì)意圖]這是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的第一步，使教學(xué)從一開始就顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)味。直截了當(dāng)?shù)貜臄?shù)學(xué)的視角提出問題，學(xué)生會(huì)用多樣的數(shù)學(xué)符號來表征馬的實(shí)力強(qiáng)弱，從定性分析轉(zhuǎn)變?yōu)楸容^數(shù)的大小的定量刻畫，促成了學(xué)生的數(shù)學(xué)化表現(xiàn)。
2.枚舉驗(yàn)證策略的唯一性
（1）賦值
師：現(xiàn)在毛老師的數(shù)字范圍是1～10分。我們現(xiàn)在一起來給馬的實(shí)力打打分。
師：如果齊王上、中、下三種馬的實(shí)力分別是9、7、5，那么田忌三種馬的實(shí)力可以是？ 第二輪呢？下等馬是？上等馬呢？
（2）唯一性
師：第二輪田忌獲勝了，那這種出馬順序是不是唯一能贏齊王的對策？（停頓）我來采訪下。
預(yù)設(shè)：是的／還有其他可能（不錯(cuò)，大膽猜想）
師：到底是不是唯一的呢，我們該怎么來驗(yàn)證？
師：好，接下來你們試著把田忌所有的出馬順序列一列，完成學(xué)習(xí)單的第二大題。
師：我收集了兩位同學(xué)的作品。第一幅，大家先判斷列得對不對？（6種出馬順序，只有一種能贏，列對的請舉手）再出示一副作品，比較下哪位同學(xué)列得好？好在哪里？
師：思路很清楚。先確定第一場，再討論第二場和第三場。我們一起在黑板上有序地思考一遍。你們說，我來寫。
師：看來一共有六種出馬順序，只有這種是唯一獲勝的。
師：哎，為什么這種出法是唯一的獲勝策略呢？
師：一針見血，誰聽明白了？
師：看來孫臏?zhǔn)窃谌P考慮。田忌只有用最弱的打掉對方最強(qiáng)的，贏得剩下兩場比賽，才能三局兩勝獲得整體勝利。（板貼全盤考慮）
【設(shè)計(jì)意圖】先讓學(xué)生猜想是否只有一種能贏，從爭論中確定驗(yàn)證的方法。在列表一一嘗試后發(fā)現(xiàn)，只有一種獲勝策略。并由此探究策略背后的優(yōu)化思想。
3.再次賽馬，探究概率
師：問題來了，如果田忌不知道齊王的出馬順序，那么田忌獲勝的可能性是多少？
預(yù)設(shè)：六分之一（追問：六分之一你是怎么想的？誰聽懂了？）
師：六種對策里只有一種能贏，可以說贏的可能性是六分之一。那為什么田忌原本獲勝的可能性這么小，孫臏卻覺得一定能贏呢？
預(yù)設(shè)：因?yàn)辇R王還是按原來的順序出馬。
師：看來，他是知道齊王會(huì)出什么，才找到了這個(gè)唯一獲勝策略。
師：現(xiàn)在弄清楚了齊王失敗的原因，發(fā)揮你的想象力。如果歷史上齊王和田忌再次賽馬，你覺得齊王會(huì)怎么辦？（列舉出問題情景）
預(yù)設(shè)1:齊王改變順序，但齊王先出
預(yù)設(shè)2:齊王讓田忌先出
預(yù)設(shè)3:齊王改變順序，同時(shí)出（都不想先出，所以雙方同時(shí)出）
預(yù)設(shè)4:齊王換馬
（評價(jià)：想象力真豐富啊，你也很會(huì)思考）
師：同學(xué)們真有想象力，想出了這么多種方法，我們先來討論前三種方法。請看任務(wù)要求，在這三種方法下，田忌贏的可能性分別是多少？
提示：1.可以在學(xué)習(xí)單的表格里改一改齊王出馬順序，想一想
2.思考完在四人小組中分享你的想法
匯報(bào)第一種方法：
師：先來看第一種方法，齊王改變順序，但齊王先出，田忌贏的可能性是多少？
預(yù)設(shè)：六分之一、百分之百。
師：哦，這個(gè)小伙子說田忌百分之百贏，那你上臺來當(dāng)田忌，有哪個(gè)齊王想挑戰(zhàn)？數(shù)字卡片當(dāng)馬。面朝大家，記住每次出馬時(shí)把卡片舉高，大聲說你出數(shù)字。臺下同學(xué)判斷最終誰贏，可以嗎？聲音響亮，開始。［田忌果然贏了，還有齊王要挑戰(zhàn)嗎？］
師：你居然又贏了。哎，為什么田忌還是一定能贏？
預(yù)設(shè)：1. 齊王先出（追問：齊王先出又怎么了？）
2.他還是用下等馬對戰(zhàn)上等馬、上等馬對戰(zhàn)中等馬、中等馬對戰(zhàn)下等馬。
（他抓住關(guān)鍵了，誰聽明白了？你聽明白什么了？）
師：是啊，只要是齊王先出，田忌就能用剛才的唯一策略取勝。
匯報(bào)第二種方法：
師：再來看第二種方法，如果讓田忌先出，田忌贏的可能性是多少？
預(yù)設(shè)：1.還有同等級對抗（齊王的實(shí)力強(qiáng)，同等級對抗也能贏。齊王還可以怎么對陣？）/可以用田忌的策略
（追問：真是聰明的齊王，只要田忌先出，齊王也能用田忌的獲勝策略對陣。）
師：對比下這兩個(gè)故事，你有什么想說的？
師：是啊，決策時(shí)要知己知彼，后發(fā)制人。（知己知彼）
匯報(bào)第三種方法：
師：再來看第三種方法，如果齊王改變順序，同時(shí)出，田忌贏的可能性是多大？
預(yù)設(shè)：六分之一。
師：為什么田忌贏的可能性還是六分之一？請你拿著學(xué)習(xí)單上臺解釋下
預(yù)設(shè)：
講得出來（追問：思路非常清楚，不知道臺下的同學(xué)有沒有聽懂？都點(diǎn)點(diǎn)頭，那你來選一位。）
講不太出來。（追問：快講到點(diǎn)子上了，誰再來講講齊王的出馬順序換成“5、7、9”，為什么田忌贏的可能性還是六分之一？）
師：我們?nèi)嘁黄鹪賮眚?yàn)證，如果齊王的出馬順序換成“5、7、9”，田忌仍是這六種排列。我們一起來當(dāng)裁判，第一輪，獲勝方是什么？
師：田忌六種出馬順序中，只有按6、8、4出馬可以獲勝，所以獲勝的可能性還是？（六分之一）
師：看看如果同時(shí)出，齊王改變順序，田忌只有碰巧怎么對陣才能贏？
師：是啊，只有碰巧這樣對陣，才能輸一局，贏？（兩局）
匯報(bào)第四種方法：
師：齊王如果換馬，田忌還有沒有可能贏嗎？馬的速度最高是10，請同學(xué)們四人小組合作再次想象，把你們的思考過程寫在學(xué)習(xí)單的反面。誰來匯報(bào)你換什么馬？田忌還能贏嗎？
預(yù)設(shè)：
1.10、9、8，4、8、6，田忌肯定是輸?shù)摹＃ㄈ绻诺牟粚Γ侵苯诱f，那如果是4、8、6呢？）
（好的，我?guī)湍阌涗洠蠹乙黄鹋袛啵锛傻谝粓鰟伲康诙觯控?fù)第三場？平，田忌輸了。誰還想?yún)R報(bào)？）
2.10、8、6，4、8、6，田忌肯定是輸?shù)摹＃ㄓ涗洠蠹以僖黄鹋袛啵€能贏嗎？）
師：為什么沒辦法以弱勝強(qiáng)了？
師：用最弱的打掉對方最強(qiáng)的，也沒辦法贏剩下兩局。
師：有沒有齊王換馬，田忌還可能能贏？（記錄，大家再一起判斷）
預(yù)設(shè)：10、7、5，田忌還是能贏。
師：為什么還能以弱勝強(qiáng)？
師：看來雙方實(shí)力必須要比較接近，才能以弱勝強(qiáng)（板書實(shí)力稍弱）
師：我們討論了這么多情況，現(xiàn)在誰來總結(jié)下田忌是怎么以弱勝強(qiáng)的？
總結(jié)：田忌正是在全盤考慮、知己知彼、實(shí)力稍弱的前提下， 找到“最優(yōu)策略”最終以弱勝強(qiáng)。
［設(shè)計(jì)意圖：以再次賽馬為情境，學(xué)生發(fā)散性地想出各種方法。小組討論不同的對策中贏的可能性是多少，幫助學(xué)生在不同規(guī)則下充分體會(huì)博弈，補(bǔ)充以弱勝強(qiáng)策略的前提“全盤考慮、知己知彼、實(shí)力稍弱”。］
三、應(yīng)用鞏固
（一）五局三勝
師：學(xué)校的排球比賽正在進(jìn)行，比賽規(guī)則是五局三勝，第2隊(duì)該怎么對陣才能贏？請你連一連
師：可以嗎？2隊(duì)勝了幾局？（鼓掌通過）
師：這些獲勝的對策有什么相同的地方？
（追問：為什么要讓最弱的同學(xué)對戰(zhàn)1隊(duì)強(qiáng)的同學(xué)？）
師：你們學(xué)習(xí)能力真強(qiáng)。決策時(shí)要看懂比賽規(guī)則，全盤考慮，整體取勝。
［設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)生活情境，提出結(jié)構(gòu)上更為復(fù)雜的“田忌賽馬”問題，讓學(xué)生在遷移解決問題，提煉出更為一般的尋找最佳對策的思路。］
（二）搶數(shù)游戲
師：兩個(gè)人從1開始輪流報(bào)數(shù)，每人每次可報(bào)一個(gè)數(shù)或者兩個(gè)連續(xù)的數(shù)，誰先報(bào)到12，誰獲勝。先想一想有什么必勝策略，20秒時(shí)間思考。
師：想好了嗎？試著用你的策略和同桌過招，開始！
師：同學(xué)們先玩到這，現(xiàn)在哪個(gè)同學(xué)能夠很自豪的說：“我一定能贏”。哇！高手真多呀！
師：老師請一位同學(xué)上來當(dāng)擂主，請你。誰來挑戰(zhàn)？請你。其他同學(xué)安靜地當(dāng)裁判，我們要認(rèn)真地觀察一下擂主有什么必勝策略。
師：你是擂主，你有什么要求？好的，現(xiàn)在開始。
預(yù)設(shè)1:如果不成功，誰能來幫幫擂主？
（為什么要先搶到9這個(gè)關(guān)鍵數(shù)？那要想搶到9，那又要搶幾呢？要搶到6呢？要搶到3呢？讓對方先報(bào)。板書12—9—6—3－對方先出）
現(xiàn)在這個(gè)必勝策略對不對，擂主你再試試。
預(yù)設(shè)2:如果成功，誰看懂擂主的策略了？（請擂主選一個(gè)同學(xué)來講講）
師：擂主，點(diǎn)評下對不對？現(xiàn)在讓擂主揭示必勝策略。
師：誰來總結(jié)下?lián)?2的必勝秘訣？
預(yù)設(shè)：讓對方先，保證自己拿到3、6、9。
（對方先報(bào)，報(bào)1個(gè)數(shù)、我報(bào)2個(gè)數(shù)；對方報(bào)2個(gè)數(shù)、我報(bào)1個(gè)數(shù)，以3個(gè)數(shù)為一組，依此搶到3、6、9這些關(guān)鍵數(shù)就能搶到12。）
（基礎(chǔ)好繼續(xù)追問：如果是搶13呢？搶數(shù)游戲和田忌賽馬的策略有什么相似之處？）
師：同學(xué)們真棒！看懂規(guī)則，找到最優(yōu)的必勝策略。
［設(shè)計(jì)意圖：誰先搶到12，誰就為勝方。培養(yǎng)學(xué)生從不同角度分析問題、周密思考的思維品質(zhì)。對策論的內(nèi)涵博大精深，為了突破“凡對策即以弱對強(qiáng)”的思維定勢，從對策論的另一視角——找規(guī)律獲勝，豐富學(xué)生對對策的認(rèn)識與理解。］
四、反思總結(jié)
師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么感想或收獲？（想想，這些策略能不能用在生活中？誰來舉例子）
師：看來當(dāng)我們遇到難題的時(shí)候，只要我們學(xué)會(huì)善于分析，就能找到解決問題的最優(yōu)策略。
［設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生回顧課堂，總結(jié)“以弱勝強(qiáng)”的策略，并由此引導(dǎo)到生活中，用數(shù)學(xué)眼光看問題，再次體會(huì)優(yōu)化思想。］

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