資源簡介

4 利用三角形全等測距離
教學目標
課題 4 利用三角形全等測距離 授課人
素養(yǎng)目標 1.能利用三角形的全等解決實際問題，體會數(shù)學與實際生活的聯(lián)系，培養(yǎng)應用意識。2.能在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達。
教學重點 利用三角形全等解決實際問題。
教學難點 在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：復習舊知，引出新課 【復習引入】問題1三角形全等的條件有哪些 問題2如圖，已知線段AB和線段CD相交于點O，AO=BO，CO=DO，AC=18m。你能求出BD的長度嗎 這樣的問題是如何運用到實際生活的測量中的呢？就讓我們一起進入今天的學習！ 【教學建議】根據(jù)前面所學習的內容，第1問學生可能回答不全，但教師都要給予肯定，第2問教師讓學生思考后請學生代表發(fā)言。
設計意圖
通過全等三角形的有關知識的提問，可以溫習與本節(jié)有關的知識，鞏固舊知識，同時也是本節(jié)課的理論基礎。
活動二：實踐探究，獲取新知 探究點 利用三角形全等測距離【情境1】 一位經歷過戰(zhàn)爭的老人講述了這樣一個故事：在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望。為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離。在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，一名戰(zhàn)士想出來這樣一個辦法： 【教學建議】學生動手操作測量各個角的度數(shù)，再由教師帶領學生將4個角兩兩配對，探究它們的位置和數(shù)量關系，最終得出鄰補角和對頂角的概
設計意圖
通過情境的引入，使學生對利用三角形全等測
教學步驟 師生活動
距離的知識進行了深入探究、分析和總結，深化了學生對利用三角形全等測距離的理解。 如圖，他面向碉堡的方向站好，然后調整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部;然后，他轉過一個角度，保持剛才的姿態(tài)，這時視線落在了自己所在岸的某一點上;接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡間的距離。操作 按這名戰(zhàn)士的方法，找出教室或操場上與你距離相等的兩個點，并通過測量加以驗證。教師可將同學分組（如5人一組），再按戰(zhàn)士的做法在操場或教室實踐。問題1 “調整帽子”“保持剛才的姿態(tài)”的數(shù)學意義是什么？問題2 戰(zhàn)士所講述的方法中，已知條件是什么？要求的是什么？戰(zhàn)士的結論是什么？請結合下面的示意圖說明。由戰(zhàn)士所講述的方法可知已知條件：①戰(zhàn)士的身高AH不變；②戰(zhàn)士與地面是垂直的(AH⊥BC)；③視角∠HAC=∠HAB。要求的是：敵碉堡（B）與我軍陣地(H)的距離。戰(zhàn)士的結論：只要按要求(如圖)測得HC的長度即可。(即BH=HC)問題3 請用所學的數(shù)學知識說明BH=CH的理由。解：在△AHB與△AHC中，因為∠BAH=∠CAH，AH=AH，∠BHA=∠CHA，根據(jù)全等三角形的判定條件“ASA”，所以△AHB≌△AHC，所以BH=CH?！厩榫?】 如圖①，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小麗想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，一位叔叔幫她出了這樣一個主意：如圖②，先在地上取一個可以直接到達A點和B點的點C，連接AC并延長到D，使CD=CA；連接BC并延長到E，使CE=CB；連接DE并測量出它的長度，DE的長度就是A，B間的距離。問題1你能說出其中的道理嗎？由學生交流討論，教師可請代表發(fā)言。師：小麗的思考過程如下： 【教學建議】這也是一個比較古老的測量方法，教學時，教師可以先提出要解決的問題，鼓勵學生嘗試進行解決，然后按教科書中“叔叔”的辦法，讓學生通過觀察圖，思考這種方法的道理，并用自己的語言表達理由。需要說明的是，教科書以文字加數(shù)學符號的敘述方式給出思考過程，意在提供“說理”的一種方式，同時為今后學習證明的形式化表述做鋪墊，但現(xiàn)階段仍然是只要求學生能看懂、理解即可，不必強求他們使用，學生完全可以按照自己的方式進行表達。
教學步驟 師生活動
問題2 你能說出小麗每一步的理由嗎？在△ABC和△DEC中，因為AC=DC（已知），∠ACB=∠DCE（對頂角相等），BC=EC（已知），所以△ABC≌△DEC(SAS)，所以AB=DE(全等三角形的對應邊相等)。【對應訓練】教材P111隨堂練習第1題。
活動三：典例精講，升華提高 例 如圖，在一條河的兩岸各聳立著一座寶塔A，B，隔河相對，在無任何過河工具的情況下，你能測量出兩座寶塔間的距離嗎？說說你的方法和理由。解：能。如圖，沿河岸作射線BF，且使BF⊥AB，在BF上截取CD=BC，過點D作DE⊥BF，使點E，C，A在同一條直線上，則DE的長就是兩座寶塔A，B間的距離。理由如下：在△ACB和△ECD中，因為∠ACB=∠ECD,BC=DC,∠ABC=∠EDC=90°,所以△ACB≌△ECD，所以AB=ED。即DE的長就是兩座寶塔A,B間的距離?！緦柧殹? 如圖，公園里有一條“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一只小石凳E，M，F(xiàn)，且E，M，F(xiàn)在同一直線上，M恰好為BC的中點。在BE道路上停放著一排小汽車，從而無法直接測量B，E之間的距離，你能想出解決的方法嗎 請說明其中的道理。解：測量出CF的長，即是B，E之間的距離。利用ASA（或AAS）判定△BME≌△CMF，從而得到BE=CF。 【教學建議】教師要及時巡視，根據(jù)學生的完成情況有針對性地進行講解。
設計意圖
進一步深化學生對三角形全等知識的理解和應用，提高學生利用三角形全等知識解決生活中實際問題的能力，鍛煉學生的思維能力和培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通的數(shù)學學習習慣。
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：如何求不能直接測量的距離 依據(jù)是什么？方法是什么？【知識結構】
教學步驟 師生活動
【作業(yè)布置】1.教材P112習題4.4第1，2，3題。2.相應課時訓練。
板書設計 4 利用三角形全等測距離1.利用三角形全等測距離的目的：變不可測距離為可測距離。2.依據(jù)：全等三角形的性質。3.方法：構造全等三角形。
教學步驟 師生活動
教學反思 本節(jié)課的教學重點是構造全等三角形解決實際生活中的“不可直接測量距離”問題。首先通過現(xiàn)實情境引入，讓學生用角色模擬的方法在真實情境中解決問題，和同學之間進行自由而舒暢的交流活動，既激發(fā)學生的好奇心和求知欲，又使他們在積極的互動中掌握知識，發(fā)展分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)成功感。
解題大招 利用三角形全等設計方案進行測量
利用全等三角形測兩點間的距離時，測量方案不唯一，關鍵是要準確地建立數(shù)學模型，使測量易于進行。同時要注意測量方案的準確性與嚴謹性，如本例中易忽視“點A，C，E在同一直線上”這一條件，導致條件不嚴謹。
例 景新中學校園北面是“福強河”，河對岸的A處有一根燈柱位于點B的正北方向，如圖所示。請你運用所學的判定三角形全等的知識，設計一個不過河便能測量A，B間距離的方案。
條件：可以使用標桿和皮尺等基本測量工具。
要求：①畫出測量方案的示意圖，并在圖上標注必要的字母；②結合圖形，嘗試著說明方案的可行性。
解：方案如下：從點B沿正東方向到點C，在點C插一標桿，用皮尺測出BC的長；再繼續(xù)向正東到點D，在點D插一標桿，使DC=BC；然后從點D向正南方向到點E，使點E，C，A在同一條直線上（即從點E看點A時被點C處的標桿遮擋?。?，在點E插一標桿，再用皮尺測出DE的距離即可得到A，B間距離。理由如下：
因為∠ABC=∠EDC，BC=DC，∠ACB=∠ECD，根據(jù)三角形全等的判定條件“ASA”，所以△ABC≌△EDC，所以AB=ED。即測量出DE的距離就能得到A，B間的距離。

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