資源簡介

☆ 問題解決策略：轉(zhuǎn)化
教學目標
課題 問題解決策略：轉(zhuǎn)化 授課人
素養(yǎng)目標 1.運用轉(zhuǎn)化策略，利用軸對稱的特性轉(zhuǎn)化點的位置，從而根據(jù)“兩點之間線段最短”解決最值問題。2.在運用轉(zhuǎn)化策略將目標物轉(zhuǎn)化成其他易于分析的等價物的過程中，感悟轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展應用能力，開拓思維。
教學重點 轉(zhuǎn)化策略在實際問題中的運用。
教學難點 轉(zhuǎn)化策略在不同問題中的靈活運用、轉(zhuǎn)化前的思維建構(gòu)過程。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：創(chuàng)設情境，新課導入 【問題引入】數(shù)學學習中，常常會將新研究的問題轉(zhuǎn)化為以前研究過的熟悉的問題。轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學問題的一種重要策略。我們學行線的性質(zhì)，下面這道題如何求解？如圖，AB∥CD，∠1=50°，∠2=63°，求∠AOC的度數(shù)。作一條輔助線平行于AB，則∠3=∠1，∠4=∠2，從而把已知轉(zhuǎn)化到∠AOC中，進而得到∠AOC=50°+63°=113°。這就是轉(zhuǎn)化策略的一種體現(xiàn)。想進一步了解轉(zhuǎn)化這種解題策略嗎？快讓我們開始新課吧！ 【教學建議】讓學生自己解答，并詢問他們轉(zhuǎn)化的目的，在進入正課前調(diào)動學生的學習積極性，并能夠在這一活動中對于轉(zhuǎn)化策略有一個初步的體會。
設計意圖
在已學過的平行線的相關(guān)解題過程中初步感受轉(zhuǎn)化策略。
活動二：交流合作，探究新知 探究點 運用轉(zhuǎn)化策略解決最短距離問題問題1 如圖，某工廠計劃在一條筆直的道路上設立一個儲物點，工作人員每天進入工廠大門后，先到儲物點取物品，然后再到車間。你認為該儲物點應建在什么地方，才能使工作人員所走的路程最短？【理解問題】如果把大門、車間和儲物點所在的位置都看作點，把道路看作一條直線，那么上述問題可以抽象成怎樣的數(shù)學問題？上述問題可以抽象成在已知直線上找尋一點，使得該點到另兩個已知點的距離之和最短的問題。 【教學建議】本探究活動是解決直線同側(cè)的兩點到直線上一點的距離之和最小問題，最終利用對稱性將此問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”問題。類似地，其他“最短距離問題”通常以直線、角、等腰(邊)三角形等
設計意圖
經(jīng)歷“確定最短距離”這類實際問題的解決過程，感受轉(zhuǎn)化策略的必要性和在解題過程中所
教學步驟 師生活動
起到的作用。 【擬定計劃】（1）你以前遇到過類似的問題嗎？關(guān)于“最短”，你有哪些認識？遇到過。“兩點之間線段最短”“垂線段最短”等都是線段最短情形。（2）相信你能解決以下問題：如圖，直線l的兩側(cè)分別有A，B兩點，在直線l上確定一個點C，使AC+CB最短。原問題與這個問題有什么區(qū)別和聯(lián)系？你能將原問題轉(zhuǎn)化為這樣的問題嗎？說說你的想法。問題3 究竟什么是三角形呢？原問題與這個問題都是解決兩條線段的長度之和最短的問題，區(qū)別在于原問題中抽象后的兩個點在直線同側(cè)，而這個問題中點A，B在直線異側(cè)。將原問題轉(zhuǎn)化后如下：如圖，把大門看作點A，車間看作點B，道路看作直線l，儲物點看作點C，如何在l上確定一個點C，使AC+CB最短？【實施計劃】寫出你的解決方案，并說明道理。小明是這樣思考的：如圖，作點B關(guān)于l的對稱點B′，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對于l上任意一點C，都有BC=B′C，因此AC+BC=AC+B′C，問題轉(zhuǎn)化為：在直線l上確定一個點C，使AC+B′C最短。根據(jù)“兩點之間線段最短”，連接AB′，與l交于點C，點C就是所要確定的點。【回顧反思】(1)回顧本題的解決過程，你有哪些感悟？本題是利用軸對稱的性質(zhì)，將一個點轉(zhuǎn)化到直線的另一側(cè)，從而把一條線段長轉(zhuǎn)化為另一條等長的線段，通過構(gòu)造“兩點之間線段最短”模型來解決問題。感悟到可以用轉(zhuǎn)化策略將陌生變?yōu)槭煜ぃù鸢覆晃ㄒ唬?2)利用轉(zhuǎn)化策略解決問題時，需要注意些什么？①轉(zhuǎn)化后的情況能利用已學過的知識去處理，或易于進行分析，這是轉(zhuǎn)化的目的；②一定是等價轉(zhuǎn)化，問題在轉(zhuǎn)化過程中其本質(zhì)不能發(fā)生改變，如果能用數(shù)量衡量，必須保證轉(zhuǎn)化前后數(shù)量一致。教師總結(jié) 在這個問題中，小明利用軸對稱，將兩點位于直線l同一側(cè)的問題，轉(zhuǎn)化為兩點分別位于直線l兩側(cè)的問題，從而使問題得以解決。通過轉(zhuǎn)化，可以把一個問題轉(zhuǎn)化為與它等價的問題，達到化繁為簡、化難為易、化不熟悉為熟悉的目的。 為背景，借助軸對稱及兩點之間線段最短來解決。教學時，建議根據(jù)左欄講解這一脈絡逐步引導，將這個思維過程完全展示給學生，重點讓他們體會到轉(zhuǎn)化思想在這一過程中起到的作用，感悟解決這一類問題的通性通法，看到“兩點一線不同側(cè)”即想到轉(zhuǎn)化。
教學步驟 師生活動
活動三：變式訓練，思維開拓 例 如圖，在△ABC中，AB=AC，AD，BE是△ABC的兩條中線，BE=6，P是AD上的一個動點，連接PE，PC，求PC+PE的最小值。解：如圖，作點E關(guān)于AD的對稱點F，連接CF，PF。由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的軸對稱性，可知點F位于邊AB上，且PE=PF，所以PC+PE=PC+PF。根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，PC+PF≥CF，當且僅當C，F(xiàn)，P三點共線時PC+PF取得最小值，為CF的長。因為E是AC的中點，根據(jù)等腰三角形的軸對稱性，可知F是AB的中點，所以CF與BE都是△ABC的腰上的中線。根據(jù)等腰三角形的軸對稱性，易知CF=BE=6，所以PC+PE的最小值是6。 【教學建議】此題還可以作點C關(guān)于AD的對稱點C′，則根據(jù)等腰三角形的軸對稱性易知該點與點B重合，則PC+PE=PB+ PE，如圖。試著讓學生按這種方法自己嘗試一下，比較一下與例題中的方法哪個更容易。
設計意圖
運用轉(zhuǎn)化策略解決三角形中的線段最短問題，培養(yǎng)學生系統(tǒng)性解決問題的能力，進一步感受轉(zhuǎn)化思想在實際中的運用。
活動四：隨堂訓練，課堂總結(jié) 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.運用轉(zhuǎn)化策略解決問題的根本目的是什么？是否所有問題都適合運用這個策略呢？2.運用轉(zhuǎn)化策略時有哪些注意事項？你能運用這個解題策略解決實際問題嗎？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P137～138第1，3題。2.相應課時訓練。
板書設計 ☆ 問題解決策略：轉(zhuǎn)化。運用轉(zhuǎn)化策略解決距離最短問題、圖形面積問題或其他問題。
教學反思 本節(jié)課難度較大，學生在之前的學習中可能運用過轉(zhuǎn)化策略，但沒有形成系統(tǒng)性的認識。通過本節(jié)課的學習，讓學生經(jīng)歷了運用轉(zhuǎn)化策略解決實際問題的全過程，學生對于轉(zhuǎn)化思想有了更深刻的了解，同時發(fā)散了學生的思維。在后續(xù)學習中，可以給學生展示不同類型的應用場景，讓學生進一步鞏固解決此類問題的能力。
解題大招 利用轉(zhuǎn)化策略求陰影部分的面積
利用轉(zhuǎn)化策略解決圖形面積問題，主要是把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，再利用已學過的圖形的面積公式求解。
例 （教材P138第2題）如圖，四邊形ABCD和四邊形BEFC都是邊長為2的正方形。以點B為圓心、AB的長為半徑的圓與正方形ABCD交于A，C兩點，連接AF。求圖中陰影部分的面積。
解：如圖，在圖中標出AF與BC的交點M。
因為四邊形ABCD和四邊形BEFC都是正方形，
所以AB=BC=CF，∠ABC=∠FCB=90°，AE∥DF，所以∠BAM=∠CFM。
在△ABM和△FCM中，因為∠ABM=∠FCM，AB=FC，∠BAM=∠CFM，
所以△ABM≌△FCM（ASA），所以S△ABE=S△FCE，所以陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化為扇形ABC的面積。
因為扇形ABC的面積=×π×22=π，所以圖中陰影部分的面積為π。
培優(yōu)點 利用軸對稱性和轉(zhuǎn)化策略解決問題
例 （教材P138第4題）如圖，定點P位于∠AOB的內(nèi)部，在射線OA和OB上分別確定點M，N，使得△PMN的周長最小。
分析：求“一點兩線”的三角形周長的最小值，一般是利用軸對稱將三邊轉(zhuǎn)化到一條直線上解決，依據(jù)仍然是“兩點之間線段最短”。本題的解題思路是作點P關(guān)于OA，OB的對稱點，運用兩次轉(zhuǎn)化將線段集中到一條直線上。
解：如圖，分別作點P關(guān)于OA，OB的對稱點P1，P2，連接P1P2，分別交OA，OB于點M，N，連接PM，PN。
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對于OA上任意一點M，都有PM=P1M。同理PN=P2N。
因此△PMN的周長=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N。
根據(jù)“兩點之間線段最短”，當P1，M，N，P2四點共線時，△PMN的周長最小，最小值為線段P1P2的長。
所以此時點M，N即為所求。

展開更多......

收起↑