資源簡介

第五章 圖形的軸對稱
1 軸對稱及其性質
教學目標
課題 1 軸對稱及其性質 授課人
素養目標 1.通過具體實例理解軸對稱的概念，了解并探索軸對稱的性質，積累數學活動經驗，發展空間觀念。2.能畫出簡單平面圖形（點、線段、直線、三角形等）關于給定對稱軸的對稱圖形。3.理解軸對稱圖形的概念，能指出軸對稱圖形的對稱軸，認識并欣賞自然界和現實生活中的軸對稱圖形。
教學重點 認識軸對稱圖形的特征，識別簡單的軸對稱圖形以及找、畫、數對稱軸，對稱軸的性質。
教學難點 軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區別，靈活運用軸對稱的性質解決實際問題。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：圖片展示，新課導入 【問題引入】這些是什么圖形？你能說說這些圖形的特點嗎？ 【教學建議】教師用投影儀呈現各類具有軸對稱特點的圖案，讓學生經歷觀察和分析，初步認識軸對稱圖形，并說說自己的感受。
設計意圖
展示生活中具有軸對稱特點的圖片，方便引入新課。
活動二：交流合作，探究新知 探究點1 軸對稱圖形及兩個圖形成軸對稱問題1 觀察下面的圖片和圖形，它們有什么共同特點？①它們都是對稱的；②它們沿著某條直線折疊后，直線兩旁的部分能互相重合。 【教學建議】教學時應盡可能提供能展現更多層面的圖片并鼓勵學生充分觀察、操作，用自己的語言概括出這些圖形的共同特征。
設計意圖
從觀察生活中的軸對稱現象開始，逐步給出軸對稱圖形、對應點、對應線段、對
教學步驟 師生活動
應角、兩個圖形成軸對稱的概念，以學生的觀察、操作、交流性活動為主，在形成對軸對稱圖形基本認識的同時，發展空間觀念和積累數學活動經驗，最后引導學生歸納軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區別和聯系。 概念引入：對應點、對應線段和對應角：如圖是一個軸對稱圖形，直線l是它的對稱軸，沿對稱軸折疊后，點A與點A′重合，稱點A關于對稱軸的對應點是點A′。類似地，線段AB關于對稱軸的對應線段是線段A′B′，∠B關于對稱軸的對應角是∠B′。問題2 你還能在上圖中找出其他的對應點、對應線段和對應角嗎？點B的對應點是點B′，點C的對應點是點C；線段BC的對應線段是線段B′C，線段AC的對應線段是線段A′C；∠BAC的對應角是∠B′A′C，∠ACB的對應角是∠A′CB′，等等。問題3 觀察下圖中的每組圖案，你發現了什么？每組圖案都由兩個相同圖形組成，都可以看作關于一條直線對稱；也可將每組圖案各自看作一個軸對稱圖形。概念引入：如果兩個平面圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫作這兩個圖形的對稱軸。問題4 如圖，△ABC與△A1B1C1成軸對稱，MN是它們的對稱軸，你認為它們也具備類似軸對稱圖形中的對應點、對應線段、對應角嗎？如果具備，請將它們找出來。具備。對應點：點A與點A1，點B與點B1，點C與點C1；對應線段：AB與A1B1，BC與B1C1，AC與A1C1；對應角：∠A與∠A1，∠B與∠B1，∠C與∠C1。 【教學建議】教師引導學生總結軸對稱圖形所具備的三要素：（1）一個平面圖形；（2）存在一條直線(對稱軸）；（3）沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合。另外還需提醒學生注意：一個軸對稱圖形中的對稱軸可能不止一條，也可以有多條或無數條（如圓）。【教學建議】教師引導學生歸納：軸對稱圖形是“一個”具有特殊形狀的圖形，而兩個圖形成軸對稱是“兩個”圖形之間的特殊位置關系，它們兩者之間可以相互轉化。如果把一個軸對稱圖形看成沿對稱軸分成的兩個圖形，那么這兩個圖形
教學步驟 師生活動
【對應訓練】教材P124隨堂練習第1題。 關于這條直線成軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個圖形，那么它就是一個軸對稱圖形。
設計意圖 探究點2 軸對稱的性質問題1 如圖是一個軸對稱圖形，直線l是它的對稱軸。觀察這個圖形，回答下列問題：（1）在圖中任意選一組對應線段，這兩條線段之間有什么關系？為什么？（2）在圖中任意選一組對應角，這兩個角之間有什么關系？說說你的理由。（3）連接對應點A與A′，線段AA′與對稱軸之間有什么關系？連接其他任意一組對應點再試一試。（1）任意選一組線段，如AB，A′B′，這兩條線段相等，因為折疊后這兩條線段重合。（2）任意選一組對應角，如∠A，∠A′，這兩個角相等，因為折疊后這兩個角重合。（3）對稱軸垂直平分線段AA′。連接其他任意一組對應點，如連接對應點B與點B′，對稱軸同樣垂直平分線段BB′。問題2如圖，將一張長方形紙對折，然后用筆尖扎出數字“14”，再將紙打開后鋪平。 【教學建議】問題1是探究軸對稱圖形，問題2是探究成軸對稱的兩個圖形，再進行比較與歸納，從而得到軸對稱的性質。教學時注意引導學生自己動手操作進行探索是重中之重。對應線段和對應角的性質學生不難得到，而對應點的連線的性質在問題1里需要學生用刻度尺和量角器去度量，問題2則用“扎眼”的方式去直觀分析，可以鼓勵學生在方格紙上扎出“14”。
引導學生探究并得出軸對稱的性質，并利用軸對稱的性質畫出簡單平面圖形經過軸對稱后的圖形。以學生的觀察、操作、交流性活動為主，讓學生在活動中進一步發展空間觀念和積累數學活動經驗。
教學步驟 師生活動
在鋪平的圖中：（1）兩個“14”之間有什么關系？（2）對應線段之間有什么關系？對應角之間有什么關系？連接對應點的線段與對稱軸l之間有什么關系？請舉例說明。（1）關于直線l對稱。（2）對應線段相等，如：AB=A′B′；對應角相等，如：∠D=∠D′；對稱軸l垂直平分連接對應點的線段，如：連接CC′，l垂直平分CC′。歸納總結：在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等。例 （教材P123例題）如圖①是一個軸對稱圖形的一半，直線MN是這個軸對稱圖形的對稱軸，請畫出這個圖形的另一半。解：如圖②，延長AO至A′，使OA′=OA；延長BN至B′，使NB′=NB；依次連接MA′，MB′，A′B′，A′P，B′P。這樣畫出的圖形就是這個圖形的另一半。【對應訓練】教材P124隨堂練習第2，3題。 【教學建議】教師可以引導學生總結補畫軸對稱圖形的步驟：（1）找：確定原圖形的關鍵點(端點、頂點或拐點)；（2）作：作出每個關鍵點關于對稱軸的對應點；（3)連：按原圖形的順序依次連接相應的對應點。提醒學生注意：當點在對稱軸上時，它關于對稱軸的對稱點就是它本身。
活動三：思維強化，鞏固提升 例 如圖，△ABC和△ADE關于直線MN對稱，BC和DE的交點F在直線MN上。（1）若ED=15，BF=9，求EF的長；（2）若∠B=35°，∠E=65°，∠BAE=16°，求∠EAC的度數。解：（1）因為△ABC和△ADE關于直線MN對稱，ED=15，BF=9，所以DF=BF=9，所以EF=ED-DF=15-9=6。(2)因為△ABC和△ADE關于直線MN對稱，所以∠C=∠E=65°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°。因為∠BAE=16°，所以∠EAC=∠BAC-∠BAE=80°-16°=64°。【對應訓練】如圖，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，△ABD與△AB′D關于直線AD對稱。若∠B′AC=14°，求∠B的度數。解：因為∠BAC=90°，∠B′AC=14°，所以∠BAB′=∠BAC-∠B′AC=90°-14°=76°。因為△ABD與△AB′D關于直線AD對稱，所以∠BAD=∠B′AD=12∠BAB′=38°。因為AD⊥BC，所以∠ADB=90°，所以∠B=180°-∠ADB-∠BAD=180°-90°-38°=52°。 【教學建議】本部分教學以練習為主，學生可互相交流完成習題的解答。題目設計以鞏固基礎為主，結合三角形的背景串聯起學過的知識，重心在于利用軸對稱的性質準確找到相等的線段或角，學生基本都能準確完成，使其在收獲成功體驗的同時加深對本節知識的理解。
設計意圖
考查軸對稱的性質，檢驗學生對本節課知識的掌握程度、理解能力和運用程度，提升學生解決問題的能力。
教學步驟 師生活動
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是軸對稱圖形？什么是兩個圖形成軸對稱？它們有什么區別和聯系？2.你能識別軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形中的對應點、對應線段、對應角嗎？3.軸對稱的性質是什么？你能運用它解決一些幾何問題嗎？4.你能畫出對稱軸嗎？能畫出關于給定對稱軸對稱的對稱圖形嗎？【知識結構】【作業布置】1.教材P125～126習題5.1第1，2，3，4，5，6題。2.相應課時訓練。
板書設計 1 軸對稱及其性質1.軸對稱圖形及兩個圖形成軸對稱的概念。2.軸對稱的性質：在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等。
教學反思 本節主要內容是引入軸對稱的概念，然后經歷探究得出軸對稱的性質，以學生的觀察、操作、交流性活動為主，發展學生的空間觀念、動手能力，以此促進學生對軸對稱的理解。實際教學時應鼓勵所有學生都親自實踐，體驗活動的樂趣，必要時借助多媒體教學給學生創設寬松的學習氛圍，使學生保持積極的學習熱情，有利于創新能力培養。
解題大招一 識別軸對稱圖形及畫對稱軸
畫對稱軸的方法：
注意：有時候圖形的對稱軸可能不止一條，不要遺漏。
例1下列圖形中，哪些是軸對稱圖形？如果是軸對稱圖形，請畫出對稱軸。
解：(1)(3)(4)(6)(8)(9)是軸對稱圖形。畫對稱軸如圖。
解題大招二 利用軸對稱的性質解決折疊問題
折疊問題的實質就是軸對稱問題，折疊前后的兩個圖形關于折痕成軸對稱，折痕所在直線就是對稱軸。
例2 如圖，在△ABC中，∠B=42°，點D，E分別是BA，BC邊上的點，將△BDE沿DE所在直線折疊，得到△FDE。若∠ADF=134°，求∠CEF的度數。
解：由折疊可知，∠BDE=∠FDE=∠BDF，∠BED=∠FED。
因為∠ADF=134°，所以∠BDF=180°-∠ADF=46°，所以∠BDE=∠BDF=23°，
所以∠BED=∠FED=180°-∠B-∠BDE=115°，所以∠CED=180°-∠BED=65°，
所以∠CEF=∠FED-∠CED=50°。
培優點 與軸對稱的性質相關的探究題
例 在△ABC中，D,E分別為邊AC,AB上的點，將△ABC的頂角A沿直線DE折疊，點A的對應點為點A′，記∠CDA′為∠1，∠BEA′為∠2。
（1）如圖①，當點A的對應點A′落在△ABC內部時，試探究∠1，∠2與∠A的數量關系，并說明理由。
（2）如圖②，當點A的對應點A′落在△ABC外部時，∠1，∠2與∠A又有怎樣的數量關系呢？說明理由。
分析：（1）結合平角的定義、三角形內角和定理及軸對稱的性質得出結論；
（2）同（1）的思路即可得解，注意區別：（1）中∠AED+∠A′ED+∠2=180°，而（2）中∠AED+∠A′ED-∠2=180°。
解：（1）∠1+∠2=2∠A。理由如下：
因為∠1+∠ADE+∠A′DE=180°，∠2+∠AED+∠A′ED=180°，
所以（∠1+∠2）+（∠ADE+∠AED）+（∠A′DE+∠A′ED）=360°。
因為180°-∠A=∠ADE+∠AED，180°-∠A′=∠A′DE+∠A′ED，
所以（∠1+∠2）+（180°-∠A）+（180°-∠A′）=360°。
所以∠1+∠2=∠A+∠A′。
由折疊可知∠A=∠A′，所以∠1+∠2=2∠A。
（2）∠1-∠2=2∠A。理由如下：
因為∠1+∠ADE+∠A′DE=180°，∠AED+∠A′ED-∠2=180°，
所以（∠1-∠2）+（∠ADE+∠AED）+（∠A′DE+∠A′ED）=360°。
因為180°-∠A=∠ADE+∠AED，180°-∠A′=∠A′DE+∠A′ED，
所以（∠1-∠2）+（180°-∠A）+（180°-∠A′）=360°。所以∠1-∠2=∠A+∠A′。
由折疊可知∠A=∠A′，所以∠1-∠2=2∠A。

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