資源簡介

2 簡單的軸對稱圖形
第1課時 等腰三角形的性質
教學目標
課題 第1課時 等腰三角形的性質 授課人
素養目標 經歷探索等腰三角形的軸對稱性的過程，了解等腰三角形的軸對稱性，進一步理解軸對稱的性質，積累數學活動經驗，發展空間觀念。
教學重點 等腰三角形的性質。
教學難點 等腰三角形的性質及其探究過程。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：創設情境，新課導入 【情境引入】請同學們觀察下面幾幅生活中的圖片，你能從圖中找出所熟悉的三角形嗎？它的形狀有什么特別之處呢？等腰三角形。等腰三角形是生活中常見的圖形。今天我們要通過對等腰三角形的有關特征的學習，進一步加強對軸對稱的性質的理解。大家準備好了嗎？ 【教學建議】用實際生活中的景物導入，吸引學生的注意力的同時，感悟數學知識在實際生活中的應用。
設計意圖
讓學生欣賞生活中等腰三角形的圖片，激發學習興趣。
活動二：交流合作，探究新知 探究點1 等腰三角形的性質問題1 如圖，等腰三角形中包含哪些元素？一個頂角、兩個底角、兩條腰、一條底邊。操作 把一張長方形的紙按圖中的虛線對折，并剪去陰影部分（一個直角三角形），再把它展開，得到的△ABC有什么特點？△ABC的兩條邊AB與AC相等，它是等腰三角形。問題2 上面的△ABC是軸對稱圖形嗎？如果是，沿它的對稱軸折疊，你能發現哪些相等的線段和相等的角？△ABC是軸對稱圖形，折痕AD即是它的對稱軸。 【教學建議】學生已經學習過等腰三角形的概念，可以先引導學生回顧這一概念，再通過問題引導學生探索等腰三角形的軸對稱性及其相關性質。教學時，可以讓學生動手折紙、裁剪輔助思考，對于學生回答問題時
設計意圖
探索等腰三角形的軸對稱性及其有關特征，讓學生動手折一折等腰三角形紙片，發
教學步驟 師生活動
現結論并由此歸納等腰三角形的有關特征，然后利用這些特征解題。 問題3 等腰三角形的對稱軸是一條怎樣的直線？你是如何描述的？沿對稱軸折疊，可以把等腰三角形變為兩個全等的直角三角形，對稱軸既平分等腰三角形的頂角，也是等腰三角形底邊上的中線或高所在的直線。問題4 你認為等腰三角形有哪些特征？歸納總結：等腰三角形是軸對稱圖形。等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線是等腰三角形的對稱軸。等腰三角形的兩個底角相等。例1 （教材P127例1）已知一個等腰三角形的底角是頂角的2倍，求它的各個內角的度數。解：設這個等腰三角形頂角的度數為x°，則底角的度數為2x°。根據“三角形三個內角的和等于180°”，得x+2x+2x=180。解得x=36。2×36=72。所以，這個三角形的三個內角分別是36°，72°，72°。思考 如圖，△ABC是一個等腰三角形，直線l是它的對稱軸。請在△ABC中畫出以直線l為對稱軸的一組對應點、一組對應線段、一組對應角，你能發現哪些相等的線段、相等的角，以及形狀、大小完全相同的圖形？【對應訓練】教材P128隨堂練習第2題。 的差異性，教師可進一步提問，由此引發思考，從而進一步進行歸納總結。如問題3中對于對稱軸的描述，可能回答是頂角的平分線所在的直線，也可能有其他回答，于是教師可以提問：“你們所說的是同一條線嗎 ”【教學建議】通過折疊操作學生容易發現等腰三角形的對稱軸即為折痕，而折疊可得全等三角形，能進一步通過全等說明等腰三角形的“三線合一”“兩底角相等”的性質，教師可讓學生自行探索寫出驗證過程，加深學生的理解，利于培養學生的動手能力、數學表達能力、團隊合作意識。
教學步驟 師生活動
設計意圖 探究點2 等邊三角形的性質問題1 當等腰三角形的腰與底邊相等時，它是什么三角形？等邊三角形。問題2 動手試一試，將一張等邊三角形紙片對折，并使得折痕兩旁的部分能完全重合，你能找到幾條這樣的折痕？這說明了什么？三條，說明了等邊三角形有3條對稱軸。問題3 你能發現等邊三角形的哪些特征？歸納總結：等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸，它們是等邊三角形三條角平分線所在的直線，也是三條中線和三條高所在的直線。等邊三角形的三條邊都相等，三個內角都相等，并且每個內角都等于60°。例2 如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC=45°，求∠ACE的度數。解：在等邊三角形ABC中，∠ACB=60°。因為AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。又因為DE=DE，所以△BDE≌△CDE（SAS），所以∠EBD=∠ECD=45°，所以∠ACE=∠ACB-∠ECD=15°。【對應訓練】教材P128隨堂練習第1題。 【教學建議】教師應鼓勵學生通過操作和思考分析等邊三角形的軸對稱性，并盡可能多地探索它的特征。這里通過折紙的方法來進行認識，也可讓學生利用學具畫圖尋找對稱軸。在找尋等邊三角形的特征時，除了借助之前的折疊操作觀察，也可以通過等邊三角形的特殊性來推測，由于學生之前已經知道等邊三角形具備等腰三角形的一切特性，所以可以讓學生自己歸納，最后教師總結點評。
探索等邊三角形的軸對稱性及其有關特征，讓學生動手折一折等邊三角形紙片，發現結論并由此歸納等邊三角形的有關特征，然后利用這些特征解題。
活動三：綜合演練，鞏固提升 例 如圖，AB=AC，點D，E均在BC上，若AD=AE，試說明：BD=CE。解：如圖，過點A作AG⊥BC于點G。由AB=AC，AD=AE，可知△ABC，△ADE均是等腰三角形。因為AG⊥BC，所以BG=CG，DG=EG，所以BG-DG=CG-EG，即BD=CE。【對應訓練】如圖，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AM⊥CD，垂足為M。試說明：CM=DM。解：如圖，連接AC，AD。在△ABC和△AED中，因為AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，所以△ABC≌△AED(SAS)。所以AC=AD，所以△ACD是等腰三角形。又因為AM⊥CD，所以CM=DM。 【教學建議】在一些論述線段相等或角相等的題目中，若存在等腰三角形，有時需要添加輔助線，以其頂角平分線（底邊上的高或中線）最為常見；若不存在等腰三角形，則可能需添加輔助線構造等腰三角形，從而利用“三線合一”的性質解題。
設計意圖
通過邊相等識別等腰三角形，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質解題，鞏固本節課所學。
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活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.等腰三角形具備哪些性質？2.等邊三角形具備哪些性質？【知識結構】【作業布置】1.教材P133～135習題5.2第1，5，6，7，11，12題。2.相應課時訓練。
板書設計 2 簡單的軸對稱圖形第1課時 等腰三角形的性質
教學反思 本節課開始主要認識簡單的軸對稱圖形，由于等腰三角形的軸對稱性是最直觀、最易于被認知的，所以先從等腰三角形開始學習。本節課是在學生掌握了一般三角形和軸對稱的知識，具有初步的推理能力的基礎上進行的，而“等腰三角形兩個底角相等”和“三線合一”的性質是今后論證兩個角相等、兩條線段相等、兩條直線垂直的重要依據，擔負著進一步幫助學生學會分析、推理的任務，在培養學生的思維能力和推理能力等方面有重要的作用。
解題大招一 等腰（邊）三角形中的角度計算
利用等腰三角形的兩個底角相等求角度，常常需結合三角形的內角和等于180°來解答；而等邊三角形的三個內角都是60°，從而在題干中未給出度數條件時獲取關于角度的信息，再進一步根據題目要求綜合“三線合一”的性質進行解題。
例1 如圖，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于點D，AE∥BD交CB的延長線于點E。若∠E=32°，則∠BAC的度數是（ B ）
A.32° B.52° C.64° D.68°
例2 如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC至點E，使DB=DE。求∠BDE的度數。
解：由DB=DE，可得△BDE是等腰三角形，所以∠E=∠DBE。
因為△ABC是等邊三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。
因為BD是AC邊上的高，所以BD平分∠ABC，∠BDC=90°，
所以∠E=∠DBE=∠ABC=30°。
又因為∠DCE=180°-∠ACB=120°，所以∠CDE=180°-∠E-∠DCE=30°。
所以∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°。
解題大招二 等腰三角形中的分類討論思想
由于等腰三角形的頂角不確定，當題目未給出圖形而要求某個內角的度數時，常常需要分類討論求解。
類似地還有腰不確定時也需分類探討，但要注意三邊長要滿足構成三角形這一前提條件。
例3 已知△ABC是等腰三角形，且∠A+∠B=132°，求∠A的度數。
解：分三種情況討論：
①當∠A為頂角時，∠B=∠C。因為∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=132°，所以∠B=∠C=48°，所以∠A=84°。
②當∠C為頂角時，∠A=∠B。因為∠A+∠B=132°，所以∠A=66°。
③當∠B為頂角時，∠A=∠C。因為∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=132°，所以∠A=∠C=48°。
綜上所述，∠A的度數為84°或66°或48°。
培優點 等腰三角形中的類比探究題
例 已知在△ABC中，AB=AC。
（1）如圖①，若∠BAD=30°，AD是BC邊上的高，AD=AE，則∠EDC的度數為 15° 。
（2）如圖②，若∠BAD=40°，AD是BC邊上的高，AD=AE，則∠EDC的度數為 20° 。
（3）思考：通過（1）（2），你發現∠BAD與∠EDC之間有什么關系？說明理由。
分析：（1）由等腰三角形的“三線合一”，可知∠DAE=30°；由等腰三角形的兩底角相等及三角形內角和定理，可知∠ADE=∠AED=75°，于是進一步得∠EDC=15°。
（2）同（1）中思路得∠EDC=20°。
（3）通過（1）（2）題的結果發現∠BAD的度數是∠EDC度數的2倍，即∠BAD=2∠EDC。
解：∠BAD=2∠EDC。理由如下：
因為AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。
因為AD是BC邊上的高，所以∠ADC=90°，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。
因為AD=AE，所以△ADE是等腰三角形。
所以∠ADE=∠AED。
由三角形內角和定理，可知∠CAD=180°-∠ADE-∠AED=180°-2∠ADE。
又因為∠ADE=∠ADC-∠EDC=90°-∠EDC，所以∠BAD=180°-2（90°-∠EDC）=2∠EDC。

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