資源簡(jiǎn)介

第2課時(shí) 線段垂直平分線的性質(zhì)
教學(xué)目標(biāo)
課題 第2課時(shí) 線段垂直平分線的性質(zhì) 授課人
素養(yǎng)目標(biāo) 1.經(jīng)歷探索線段的軸對(duì)稱性的過(guò)程，進(jìn)一步理解軸對(duì)稱的性質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念。2.理解線段垂直平分線的概念，探索并說(shuō)明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，發(fā)展邏輯推理能力。3.能用尺規(guī)作圖作一條線段的垂直平分線，發(fā)展動(dòng)手操作及畫圖能力。
教學(xué)重點(diǎn) 線段垂直平分線的性質(zhì)定理。
教學(xué)難點(diǎn) 線段垂直平分線的性質(zhì)定理的探索與應(yīng)用。
教學(xué)活動(dòng)
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
活動(dòng)一：舊知回顧，新課導(dǎo)入 【問(wèn)題引入】1.什么樣的圖形叫作軸對(duì)稱圖形？如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫作軸對(duì)稱圖形，這條直線叫作對(duì)稱軸。2.下列各圖中，可看作軸對(duì)稱圖形的是（ B ）3.線段是軸對(duì)稱圖形嗎？ 【教學(xué)建議】引導(dǎo)學(xué)生回顧軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，使這幾節(jié)課內(nèi)容更加具有連貫性，再提問(wèn)線段是否為軸對(duì)稱圖形，為研究線段的軸對(duì)稱性，以及引出線段垂直平分線的概念做鋪墊。
設(shè)計(jì)意圖
通過(guò)復(fù)習(xí)舊知，并設(shè)問(wèn)直接引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的求知欲。
活動(dòng)二：交流合作，探究新知 探究點(diǎn)1 線段的垂直平分線的性質(zhì)操作1 如圖，在紙片上畫一條線段AB，然后對(duì)折AB，使A，B兩點(diǎn)重合，設(shè)折痕與AB的交點(diǎn)為O。問(wèn)題1 （1）點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)嗎？折痕與線段AB垂直嗎？點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，折痕與線段AB垂直。（2）線段AB是軸對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)描述它的對(duì)稱軸的特點(diǎn)。歸納總結(jié)：線段是軸對(duì)稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對(duì)稱軸。(3)如何定義線段的這條對(duì)稱軸呢？概念引入：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線（簡(jiǎn)稱中垂線）。 【教學(xué)建議】通過(guò)折紙活動(dòng)，使學(xué)生在充分實(shí)踐及思考的基礎(chǔ)上，來(lái)學(xué)習(xí)線段的垂直平分線的概念，教學(xué)和評(píng)價(jià)時(shí)，教師可以讓學(xué)生回顧這一操作過(guò)程，并說(shuō)明自己在操作過(guò)程中獲得的
設(shè)計(jì)意圖
通過(guò)折紙活動(dòng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到線段的對(duì)稱性，從而引入線段的垂直平分線的
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
概念，并在此基礎(chǔ)上探索其性質(zhì)，再通過(guò)例題運(yùn)用這一性質(zhì)鞏固所學(xué)，使知識(shí)在傳授的過(guò)程中達(dá)到層層深入、循序漸進(jìn)的教育教學(xué)效果。 操作2 如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C是l上的任意一點(diǎn)。在線段AB上畫出以直線l為對(duì)稱軸的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)D和D′，連接CD和CD′。問(wèn)題2 （1）你認(rèn)為線段CD和CD′之間有什么關(guān)系？說(shuō)說(shuō)你的理由。CD=CD′。可以通過(guò)說(shuō)明三角形全等，再利用其對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)得到CD=CD′。（2）特別地，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)D′位于什么位置？此時(shí)，線段CD和CD′之間還有（1）中的關(guān)系嗎？由此你能得到什么結(jié)論？點(diǎn)D′與點(diǎn)B重合。線段CD和CD′之間還有（1）中的關(guān)系，即CD=CD′。例1 如圖，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，求△BDC的周長(zhǎng)。解：因?yàn)檫匒B的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，所以AD=BD。所以△BDC的周長(zhǎng)=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=6+4=10。【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P130隨堂練習(xí)第1題。 結(jié)論以及所得結(jié)論的理由（可以從線段重合、三角形全等或是測(cè)量的角度去闡述）。事實(shí)上，線段還有另外一條對(duì)稱軸，即線段所在的直線，但不要求學(xué)生掌握。【教學(xué)建議】在探索線段垂直平分線的性質(zhì)定理時(shí)，學(xué)生說(shuō)明線段相等的理由可能有多種，這里也可以采用折紙的方式，也可以采用多次選點(diǎn)然后用刻度尺測(cè)量的方式，然后讓學(xué)生自己總結(jié)得出的結(jié)論。教學(xué)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行討論與交流，也可以利用多媒體演示，以加強(qiáng)對(duì)線段垂直平分線的性質(zhì)的理解。
設(shè)計(jì)意圖 探究點(diǎn)2 線段的垂直平分線的作法如圖，已知線段AB，如何作出它的垂直平分線？假設(shè)線段AB的垂直平分線已作出，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}1 這條直線有什么特征？這條直線與AB的交點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，且與AB垂直，任取直線上一點(diǎn)，到點(diǎn)A，B的距離相等。問(wèn)題2 如何確定這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)？用三角尺、量角器、圓規(guī)等工具試一試。如果只用尺規(guī)呢？ 【教學(xué)建議】尺規(guī)作圖不要求學(xué)生寫作法，但學(xué)生應(yīng)能說(shuō)明其中的道理，即以操作和理解為主，提高學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力。線段的垂直平分線的作
引入線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖方法，鍛煉學(xué)生作圖能力。
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
用三角尺確定AB的中點(diǎn)，再用量角器在A，B處于AB的同一側(cè)作同樣大小的角，交點(diǎn)即為另一個(gè)點(diǎn)，或是用圓規(guī)分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑在AB的同一側(cè)作弧，交點(diǎn)即為另一個(gè)點(diǎn)。如果只用尺規(guī)也可以。例2 （教材P129例2）如圖，已知線段AB，請(qǐng)用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線。作法：1.分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D（如圖）；2.作直線CD。直線CD就是線段AB的垂直平分線。思考 如圖，已知直線l和l上的一點(diǎn)P，如何用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P？能說(shuō)明你的作法的道理嗎？作法：1.以點(diǎn)P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)A，B（如圖）；2.分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C；3.作直線CP。直線CP就是l的垂線。這種作法的道理實(shí)際上是作以P為中點(diǎn)的線段AB的垂直平分線。【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P130隨堂練習(xí)第2題。 法的道理實(shí)質(zhì)是等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，由垂直平分線的性質(zhì)就可以直接得到等腰三角形，從而簡(jiǎn)化了過(guò)程（相對(duì)三角形全等），所以用圓規(guī)取等長(zhǎng)的半徑來(lái)找尋等腰三角形。需要注意的是必須以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，可讓學(xué)生嘗試分別以小于AB的長(zhǎng)或等于AB的長(zhǎng)來(lái)作弧，會(huì)發(fā)現(xiàn)一種沒(méi)交點(diǎn)，另一種交點(diǎn)不明顯。
活動(dòng)三：綜合運(yùn)用，鞏固提升 例 如圖，在△ABC中，MP，NQ分別垂直平分AB，AC。（1）若△APQ的周長(zhǎng)為12，求BC的長(zhǎng)；（2）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度數(shù)。解：（1）因?yàn)镸P，NQ分別垂直平分AB，AC，所以AP=BP，AQ=CQ。所以△APQ的周長(zhǎng)=AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC。因?yàn)椤鰽PQ的周長(zhǎng)為12，所以BC=12。（2）因?yàn)锳P=BP，AQ=CQ，所以△ABP與△ACQ都是等腰三角形，所以∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ。因?yàn)椤螧AC=105°，所以∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-105°=75°，所以∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=105°-75°=30°。 【教學(xué)建議】由于線段的垂直平分線的性質(zhì)可以得到線段的等量關(guān)系，既可以用于論述推理，也可以用于計(jì)算，所以將這種出題形式混合呈現(xiàn)給學(xué)生，加深學(xué)生的直觀感受。教師通過(guò)對(duì)例題的講解，進(jìn)一步規(guī)范學(xué)生的解題方法及步驟，
設(shè)計(jì)意圖
利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，綜合其他知識(shí)點(diǎn)如平行線、三角形的內(nèi)角和、“三線合一”等出題，鞏固學(xué)生對(duì)
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
于新知的理解和運(yùn)用，強(qiáng)化解題能力。 【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，AD是△ABC的高，AD的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)。（1）若∠B=40°，求∠AEF的度數(shù)；（2）試說(shuō)明：∠B=∠AED。解：（1）因?yàn)镋F是AD的垂直平分線，所以EF⊥AD。因?yàn)锳D是△ABC的高，所以BC⊥AD，所以易得EF∥BC，所以∠AEF=∠B=40°。（2）因?yàn)镋F是AD的垂直平分線，所以EA=ED，所以△ADE是等腰三角形。又因?yàn)镋F⊥AD，所以EF平分∠AED，所以∠AEF=∠AED。由（1）可知，∠AEF=∠B，所以∠B=∠AED。 重點(diǎn)是讓學(xué)生能理解和應(yīng)用線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握解題的方法和步驟，提高學(xué)生的應(yīng)用能力，然后讓學(xué)生嘗試自主完成對(duì)應(yīng)的習(xí)題，最后集中點(diǎn)評(píng)。
活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié) 【隨堂訓(xùn)練】相應(yīng)練習(xí)。【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.線段是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸有什么特點(diǎn)？2.什么是線段的垂直平分線？它具有什么性質(zhì)？你能用它的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題嗎？3.怎么用尺規(guī)作一條線段的垂直平分線？能解決相關(guān)作圖的實(shí)際應(yīng)用題嗎？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P133～135習(xí)題5.2第2，3，8，13題。2.相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練。
板書(shū)設(shè)計(jì) 第2課時(shí) 線段垂直平分線的性質(zhì)1.線段的軸對(duì)稱性：線段是軸對(duì)稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對(duì)稱軸。2.線段的垂直平分線的概念：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。3.線段的垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。4.線段的垂直平分線的作法。
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
教學(xué)反思 本節(jié)課的內(nèi)容是學(xué)習(xí)線段的垂直平分線的性質(zhì)，這在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是在認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱及軸對(duì)稱性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，也是今后說(shuō)明線段相等和直線互相垂直的依據(jù)，因此本節(jié)課具有承上啟下的重要作用。教學(xué)時(shí)應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐、思考、探索、交流的方式去獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，使課堂氣氛變得生動(dòng)活潑的同時(shí)，培養(yǎng)他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
解題大招一 利用線段的垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理
利用垂直平分線的性質(zhì)可得到相等的線段，有時(shí)候還需要利用等腰三角形的性質(zhì)再次轉(zhuǎn)化線段的等量關(guān)系，或由線段的等量關(guān)系得到角的等量關(guān)系。
例1 如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，點(diǎn)E在AC的垂直平分線上。試說(shuō)明：AB+BD=CD。
解：由AB=AE可知△ABE是等腰三角形。
因?yàn)锳D⊥BC，所以BD=DE。
因?yàn)辄c(diǎn)E在AC的垂直平分線上，所以AE=CE，所以AB=CE。
所以AB+BD=CE+DE=CD。
解題大招二 線段的垂直平分線作圖的實(shí)際應(yīng)用
實(shí)際問(wèn)題中找尋某個(gè)位置使其到另兩個(gè)位置的距離相等，實(shí)質(zhì)上就是線段相等，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，要求作的就是線段的垂直平分線與某直線的交點(diǎn)。
例2 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)準(zhǔn)備為三個(gè)村莊A，B，C(其位置如圖所示)修建一口水井，要求水井到三個(gè)村莊的距離相等，水井應(yīng)該修在什么地方呢，你能找到嗎？
解：如圖，連接AB，BC，作AB，BC的垂直平分線，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是水井的位置。
培優(yōu)點(diǎn) 線段的垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的綜合運(yùn)用
例 如圖，AC垂直平分BD交BD于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥AD于點(diǎn)F。
（1）試說(shuō)明：∠ABC=∠ADC；
（2）若AB=13，DF=6，求AE的長(zhǎng)。
分析：（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得AB=AD，CB=CD，進(jìn)而利用“SSS”說(shuō)明△ABC≌△ADC，即可說(shuō)明∠ABC=∠ADC；
（2）由（1）得AB=AD=13，則AF=7，由全等三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAC，再說(shuō)明△AEO≌△AFO，即可得到AE=AF=7。
解：（1）因?yàn)锳C垂直平分BD，所以AB=AD，CB=CD。
在△ABC和△ADC中，因?yàn)锳B=AD，BC=DC，AC=AC，
所以△ABC≌△ADC(SSS)，所以∠ABC=∠ADC。
（2）由（1）得AB=AD=13，△ABC≌△ADC，
所以∠BAC=∠DAC，AF=AD-DF=13-6=7。
因?yàn)镺E⊥AB，OF⊥AD，所以∠AEO=∠AFO=90°。
在△AEO和△AFO中，因?yàn)椤螦EO=∠AFO，∠EAO=∠FAO，AO=AO，
所以△AEO≌△AFO(AAS)，所以AE=AF=7。

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