資源簡介

第3課時 角平分線的性質
教學目標
課題 第3課時 角平分線的性質 授課人
素養目標 1.經歷探索角的軸對稱性的過程，進一步理解軸對稱的性質，積累數學活動經驗，發展空間觀念。2.探索并說明角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，發展邏輯推理能力。3.能用尺規作圖作一個角的平分線，發展動手操作及作圖能力。
教學重點 角平分線的性質定理。
教學難點 角平分線的性質定理的探索與應用。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：創設情境，新課導入 【情境引入】上節課我們學習了基本圖形“線段”是軸對稱圖形，這節課我們來學習另一個基本圖形——“角”。我們知道角是生活中常見的圖形，那它是軸對稱圖形嗎？ 【教學建議】通過提問引起關于角的對稱性的探討，吸引學生注意力的同時感悟數學知識在實際生活中的應用。
設計意圖
用實物導入，鋪墊新課。
活動二：交流合作，探究新知 探究點1 角的平分線的性質操作1 在一張紙上任意畫一個角，沿角的兩邊將角剪下，并將這個角對折，使角的兩邊重合，再打開紙片。問題1 （1）折痕與這個角有什么關系？折痕是這個角的平分線。（2）角是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？歸納總結：角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸。操作2 如圖①，OP是∠AOB的平分線，點C是OP上的任意一點。在∠AOB的兩邊上畫出以OP所在直線為對稱軸的一組對應點D和D′，連接CD和CD′。 【教學建議】教學中應讓學生充分經歷這一活動過程，并把活動和思考結合起來，以加深對角的軸對稱性的理解，同時積累數學活動經驗。不同于線段的對稱軸，角的對稱軸有且僅有一條。
設計意圖
通過折紙活動使學生認識到角的對稱性，在此基礎上探索角的平分線的性質，使知識在傳授的過程中
教學步驟 師生活動
達到層層深入、循序漸進的教育教學效果。 問題2 （1）你認為線段CD和CD′之間有什么關系？說說你的理由。CD=CD′。可以通過說明三角形全等，再利用其對應邊相等的性質得到CD=CD′。（2）特別地，當CD⊥OA時（如圖②），CD′與OB有怎樣的位置關系？為什么？此時，線段CD和CD′之間還有（1）中的關系嗎？由此你能得到什么結論？CD′⊥OB。因為角具有軸對稱性。線段CD和CD′之間還有（1）中的關系，即CD=CD′。歸納總結：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。（3）請用推理說明（2）中線段CD和CD′之間的關系。因為CD⊥OA，CD′⊥OB，所以∠ODC=∠OD′C=90°。因為OP是∠AOB的平分線，所以∠COD=∠COD′。又因為OC=OC，所以△COD≌△COD′（AAS）。所以CD=CD′。問題3 回顧研究等腰三角形、線段、角的過程，你運用了哪些方法？積累了哪些經驗？運用了折紙的方法，積累了動手操作的經驗。【對應訓練】教材P133隨堂練習第1題。 【教學建議】在探索角平分線的性質定理時，學生說明線段相等的理由可能有多種，這里也可以采用折紙的方式，也可以采用刻度尺測量的方式，然后讓學生自己總結得出的結論。教學時鼓勵學生討論交流，也可以利用多媒體演示，以加強對角平分線的性質定理的理解。
設計意圖 探究點2 角的平分線的作法如圖，已知∠AOB，如何作出它的平分線？假設∠AOB的平分線已作出，請回答下列問題：問題1 這條射線有什么特征？這條射線在∠AOB內部，端點是O，在這條射線上任取一點（非點O），這一點到邊OA，OB的距離相等。問題2 如何確定這條射線上除端點之外的一個點？用三角尺、量角器、圓規等工具試一試。如果只用尺規呢？用量角器量取∠AOB的大小，利用量角器以OA或OB為邊、度數為∠AOB的一半，在∠AOB內部作一條射線即為角平分線，射線上任一點均可。如果只用尺規也可以。例1 （教材P132例3）如圖，已知∠AOB，請用尺規作∠AOB的平分線。作法：1.在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD=OE（如圖）。2.分別以點D和點E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內相交于點C。3.作射線OC。射線OC就是∠AOB的平分線。 【教學建議】尺規作圖不要求學生寫作法，但學生應能說明其中的道理，即以操作和理解為主，提高學生語言表達能力。角的平分線的作法的道理是用“SSS”證明三角形全等，需要注意的是必須以大于AB的長為半徑作弧，其原因與作線段的垂直平分線中以大于AB的長為半徑作弧的原因一致。
引入角的平分線的尺規作圖方法，鍛煉學生作圖能力。
教學步驟 師生活動
問題3 過直線上一點作已知直線的垂線與作一個平角的平分線，這兩種尺規作圖方法有什么共同點？ 已知：如圖，平角∠AOB。求作：平角∠AOB的平分線。作法：1.以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交角的兩邊于點A，B（如圖）。2.分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑在角的同一側作弧，兩弧的交點為C。3.作直線OC。射線OC就是平角∠AOB的平分線。作一個平角的平分線的方法就是過直線上一點作已知直線的垂線的方法，只是前者最后是作射線，而后者最后是作直線。【對應訓練】教材P130隨堂練習第2題。
活動三：強化運用，鞏固提升 例 如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于點E，且PE=3，求AD與BC之間的距離。解：如圖，過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N。因為AD∥BC，所以MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離。因為AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，所以PM=PE。同理，PN=PE。所以PM=PN=PE=3。所以MN=PM+PN=6，即AD與BC之間的距離為6。【對應訓練】如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E。（1）若∠B=40°，∠C=76°，求∠EDA的度數；（2）若AB=10，AC=8，DE=3，求△ABC的面積。解：（1）因為∠B=40°，∠C=76°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=64°。因為AD是△ABC的角平分線，所以∠DAE=∠BAC=32°。因為DE⊥AB，所以∠AED=90°，所以∠EDA=180°-∠AED-∠DAE=58°。（2）如圖，過點D作DF⊥AC于點F。因為AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF=3。因為AB=10，AC=8，所以S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF=×10×3+×8×3=27。 【教學建議】利用角平分線的性質解決問題的關鍵是找到角平分線上的點到角兩邊的垂線段：(1）若已知條件存在這兩條垂線段，則直接考慮垂線段相等；（2）若已知條件存在一條垂線段，則考慮通過作輔助線作出另一條垂線段；（3）若已知條件不存在垂線段，則考慮通過作輔助線作出兩條垂線段。
設計意圖
構造垂線段利用角的平分線的性質解題，強化關于性質定理的運用，鞏固本節課所學。
教學步驟 師生活動
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.角是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸有什么特點？2.角的平分線的性質是什么？你能用它解決相關問題嗎？3.怎么用尺規作一個角的平分線？能解決相關作圖的實際應用題嗎？【知識結構】【作業布置】1.教材P133～135習題5.2第4，9，10，14題。2.相應課時訓練。
板書設計 第3課時 角平分線的性質1.角的軸對稱性：角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸。2.角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。3.角的平分線的作法。
教學反思 本節課探究內容包括角的軸對稱性、角平分線的性質、角平分線的作法及簡單的實際應用，較好地體現了“教為主導，學為主體，探索為主線，思維為核心”的教學理念：學生通過自己動手動腦，得到不同的折疊、剪紙、驗證的辦法，拓展了探究思路，在驗證自己結論的同時培養了反思、修正、歸納的能力；在描述探究結果的過程中，學生通過有條理的語言表達，進一步提高了數學語言的運用能力，為今后的推理和嚴格證明打下堅實基礎。
解題大招一 利用角平分線的性質定理進行計算或推理
兩條線段之間的關系有位置關系和數量關系兩種，位置關系包括垂直、平行等，數量關系包括相等、和差倍分等。運用角平分線的性質可得線段相等，是說明兩條線段相等的又一思路，有時還會結合全等三角形進行推理說明。
例1 如圖，AC平分∠DAB，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于點E，CF⊥AB交AB的延長線于點F。試說明：CD=CB。
解：因為AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB，所以CE=CF，∠DEC=∠BFC=90°。
因為∠D+∠ABC=180°，∠CBF+∠ABC=180°，所以∠D=∠CBF。
在△CDE和△CBF中，因為∠D=∠CBF，∠DEC=∠BFC，CE=CF，
所以△CDE≌△CBF(AAS)，所以CD=CB。
計算三角形的周長時一般有兩種方法，一是直接計算出三角形的三邊長進行求解，二是“分散表示，替換重組”，即先把周長表示成三邊和，然后利用轉化思想把三邊用相等線段進行替換，重新組合成其他線段的和進行求解。
例2 如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于點E。若BC＝17cm，求△CDE的周長。
解：因為BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A＝90°，所以∠ABD＝∠EBD，AD＝DE。在△ABD和△EBD中，因為∠BAD＝∠BED=90°，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，所以△ABD≌△EBD(AAS)。所以AB＝EB。所以△CDE的周長＝DE+CD+CE＝AD+CD+CE＝AC+CE＝AB+CE＝BE+CE＝BC。因為BC＝17cm，所以△CDE的周長是17cm。
解題大招二 角平分線的作圖的實際應用
實際問題中找某個點使其到另兩條直線的距離相等，實際上這個點就在角的平分線（或反向延長線）上，再根據其他限制條件確定這個點，有時候也會與求作線段的垂直平分線綜合考查。
例3 如圖，AO，BO是兩條相交的公路，M，N是兩家物流公司，現在要建一個貨物中轉站，要求中轉站到兩條公路的距離也相等，且到兩家物流公司的距離也相等，請在圖中找出符合要求的點。
解：如圖，作∠AOB的平分線OH，∠AOE的平分線OF，連接MN，作線段MN的垂直平分線，交OH于點C,交OF于點D。點C和點D即為符合要求的貨物中轉站的位置。
培優點 與角平分線的性質有關的三角形面積問題
例 已知在△ABC中，D是BC邊上的點（不與點B，C重合），連接AD。
（1）如圖①，當D是BC邊的中點時，S△ABD∶S△ACD= 1∶1 。
（2）如圖②，當AD平分∠BAC時，若AB=m，AC=n，求S△ABD∶S△ACD的值（用含m，n的式子表示）。
（3）如圖③，AD平分∠BAC，延長AD到點E，使得AD=DE，連接BE。若AC=3，AB=5，S△BDE=10，求S△ABC的值。
解：（2）如圖②，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F。
因為AD為∠BAC的平分線，所以DE=DF。
因為AB=m，AC=n，所以S△ABD∶S△ACD=(AB·DE)∶(AC·DF)=m∶n。
（3）因為AD=DE，所以由（1）知S△ABD∶S△EBD=1∶1。因為S△BDE=10，所以S△ABD=10。
因為AC=3，AB=5，AD平分∠CAB，所以由（2）知S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=5∶3，所以S△ACD=6，
所以S△ABC=S△ABD+S△ACD=10+6=16。

展開更多......

收起↑