資源簡介

2 全等三角形
教學目標
課題 2 全等三角形 授課人
素養目標 1.學會辨認全等三角形的對應元素。2.掌握全等三角形的概念和性質。3.通過動手操作，認真觀察全等三角形，豐富學生對全等三角形的認識，培養學生的觀察和動手能力，發展學生的幾何直觀。
教學重點 探究全等三角形的性質。
教學難點 全等三角形的性質的應用。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：創設情境，導入新課 【情境引入】1.觀察下列圖形，它們的形狀、大小有什么關系？形狀大小都相同。2.觀察這些圖片，你能找出形狀、大小完全一樣的幾何圖形嗎？3.操作并交流：將兩張紙重疊在一起，剪出兩張三角形，觀察它們的特征，你有何發現？學習完今天這節課，你就能找到答案了！ 【教學建議】教學中可讓學生列舉生活中的例子，并試著用一個名詞概括這些例子的特征。
設計意圖
通過圖形和問題容易引起學生的注意，使他們能很快地投入學習的情境中同時引出本節要討論的內容。
活動二：實踐探究，獲取新知 探究點 全等三角形的概念與性質問題1 在活動一第3點中，我們剪出了兩張能重疊在一起的三角形，那么如何定義這樣的三角形呢？概念引入：能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形。 【教學建議】教師提示：“能夠完全重合”這一點跟圖形的位置沒有關系。
設計意圖
全等三角形的對應
教學步驟 師生活動
邊和對應角的識別既是重點，也是難點，同時也是后續學習中探索三角形全等條件的關鍵。本環節通過問題啟發式活動，讓學生練習尋找全等三角形的對應邊和對應角的方法，及時地鞏固了新知，再通過學生交流得出全等三角形的性質，操作探究全等三角形內其他線段的關系，歸納總結規律，使學生掌握新知。 示例：圖中△ABC與△DEF能夠完全重合，它們是 全等三角形 。其中，頂點A與頂點D重合，它們是對應頂點；邊AB與邊DE重合，它們是對應邊；∠A與∠D重合，它們是對應角。問題2 你還能在上圖中找出其他的對應頂點、對應邊和對應角嗎？問題3 由此，你可以歸納出全等三角形的性質嗎？由學生交流，學生代表回答。教師歸納：全等三角形的對應邊相等、對應角相等。問題4 全等三角形如何表示呢？△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF。注意：記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。全等三角形的性質用幾何語言表述：師：下面大家將活動一中剪出的重疊的三角形紙片拿出來，畫出兩個三角形紙片對應邊的高。問題5 全等三角形對應邊的高相等嗎？對應邊的中線呢？對應的角平分線呢？學生依次操作后歸納：全等三角形對應邊的高相等、對應邊的中線相等、對應的角平分線相等。 【教學建議】教師提示：當用符號“≌”表示兩個三角形全等時，對應頂點、對應邊和對應角即可確定。（即根據書寫規范按照對應頂點確定對應邊或對應角。舉例：△ABC≌△DEFAB與DE是對應邊，BC與EF是對應邊，AC與DF是對應邊。∠A與∠D是對應角，∠B與∠E是對應角，∠C與∠F是對應角。
教學步驟 師生活動
例 ［教材P95操作·交流（2）］如圖①，已知△ABC≌△A′B′C′，點D，E分別在BC邊、AB邊上，請在△A′B′C′中畫出與線段DE相對應的線段。圖中有哪些相等的線段、相等的角？與同伴進行交流。教師注意：讓學生自己動手畫線段，教師請學生代表在黑板上面畫，然后分組交流討論圖中相等的線段、相等的角。解：畫圖如圖②。【對應訓練】教材P96隨堂練習第1，2題。 【教學建議】教師提示：在△A′B′C′中畫出與點D，E相對應的點D′，E′，然后連接D′E′，這里應鼓勵學生根據全等圖形的概念，用是否重合來驗證。
活動三：操作交流，升華提高 例 (教材P96嘗試·交流）準備一張等邊三角形紙片，你能用折紙的辦法把它分成兩個全等三角形嗎？能把它分成三個全等三角形嗎？能把它分成四個全等三角形嗎？與同伴進行交流。解：分成兩個全等三角形：【對應訓練】如圖，某校有一塊正方形花壇，現要把它分成4塊全等的部分，分別種植四種不同品種的花卉，圖中給出了一種設計方案，請你再給出三種不同的設計方案。 【教學建議】此處應鼓勵學生根據全等三角形的有關概念和性質，通過觀察、嘗試，找到分割的方法，并用分出來的圖形是否重合來驗證所得的結論。
設計意圖
目的是使學生在操作過程中進一步理解全等三角形的有關概念，發展空間觀念。
教學步驟 師生活動
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.全等三角形的概念和表示方法是什么？2.如何確定全等三角形的對應元素？3.全等三角形的性質是什么？4.全等三角形對應邊的高相等嗎？對應邊的中線相等嗎？對應的角平分線相等嗎？【知識結構】【作業布置】1.教材P97習題4.2第1～3題。2.相應課時訓練。
板書設計 2 全等三角形1.全等三角形的定義。2.全等三角形的性質：對應邊相等，對應角相等。3.全等三角形的表示。
教學步驟 師生活動
教學反思 本節課在教學中調動了學生學習的積極性，學生能夠在老師的啟發和引導下積極地去探索、思考、歸納總結，合作交流完成學習目標，充分發揮了學生的主體作用，加深了學生對知識的理解和掌握，培養了學生的邏輯思維能力和綜合論證能力。
解題大招一 確定全等三角形對應邊、對應角的方法
(1)字母順序法：根據書寫規范，按照對應頂點確定對應邊、對應角。
(2)圖形特征法：①最長邊對應最長邊，最短邊對應最短邊；②最大角對應最大角，最小角對應最小角。
(3)位置關系法：①公共角或對頂角為對應角，公共邊為對應邊；②對應角所對的邊為對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；③對應邊所對的角為對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角。
例1 如圖，若△BOD≌△COE，∠B=∠C，指出這兩個全等三角形的對應邊；若△ADO≌△AEO，指出這兩個三角形的對應角。
解：△BOD與△COE的對應邊為：
BO與CO，OD與OE，BD與CE。
△ADO與△AEO的對應角為：∠DAO與∠EAO，∠ADO與∠AEO，∠AOD與∠AOE。
解題大招二 利用全等三角形的性質求角或線段的值
(1)當求線段長時，應用全等三角形的對應邊相等，可以考慮用等式的性質進行轉化，先找到所求線段
與已知線段之間的關系，再求解。
(2)當求角的度數時，常利用三角形內角和定理，全等三角形的對應角相等等。
例2 如圖，△ACF≌△DBE，其中點A，B，C，D在同一條直線上。
(1)若BE⊥AD，∠F=63°，求∠A的度數；
(2)若AD=11cm，BC=5cm，求AB的長。
解：(1)因為BE⊥AD，所以∠EBD=90°。
因為△ACF≌△DBE，所以∠FCA=∠EBD=90°，所以∠A=90°-∠F=90°-63°=27°。
(2)因為△ACF≌△DBE，所以CA=BD，所以CA-CB=BD-BC，即AB=CD。
因為AD=11cm，BC=5cm，所以AB+CD=11-5=6(cm)，所以AB=3cm。
例3 （教材P97第3題變式題）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠ABD的度數。
解：因為△ADB≌△EDB≌△EDC，
所以∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C。
因為∠BED+∠CED=180°，所以∠BED=∠CED=90°，
所以∠A=90°，所以∠ABC+∠C=90°，所以3∠ABD=90°，所以∠ABD=30°。
培優點 與全等三角形的性質有關的探究
例 如圖，已知在△ABC中，∠B=∠C，AB=10cm，BC=8cm，D為AB的中點。點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向點C運動。同時，點Q在線段CA上以相同的速度由點C向點A運動，一個點到達終點后另一個點也停止運動。當點P運動多長時間時，△BPD與△CQP全等
解：因為D為AB的中點，AB=10cm，所以BD=AD=5cm。
設點P運動的時間是x s，則BP=CQ=3xcm，CP=(8-3x)cm。
分兩種情況討論：①若BD與CQ是對應邊，則BD=CQ，所以5=3x，解得x=,
此時BP=5cm，CP=3cm，BP≠CP，故舍去。
②若BD與CP是對應邊，則BD=CP，所以5=8-3x，解得x=1，此時BP=3cm，CQ=3cm，符合題意。
綜上所述，當點P運動1s時，△BPD與△CQP全等。
易錯提醒：用符號“≌”表示兩個三角形全等時，對應頂點已經明確，但用語言描述兩個三角形全等時，卻沒有明確對應頂點，因此要分類討論，同時要注意討論結果的取舍。本題中的全等關系是用語言表述的，不要因忽略CP的對應邊也可能是BP而考慮不全面。

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