資源簡介

第3課時 利用“邊角邊”判定三角形全等
教學目標
課題 第3課時 利用“邊角邊”判定三角形全等 授課人
素養目標 1.經歷畫圖比較得出“SAS”結論的過程，探索并正確理解三角形全等的條件“SAS”。2.會用“SAS”條件說明兩個三角形全等及進行簡單的應用，培養推理能力和表達能力，增強學生的數學應用意識。3.了解“SSA”不能作為兩個三角形全等的條件。
教學重點 通過畫圖比較，得出SAS結論的過程及應用。
教學難點 探索“邊邊角”能否用于判定兩個三角形全等。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：回顧導入，引出新課 【回顧引入】1.我們已經學過了哪幾種判定兩個三角形全等的方法 邊邊邊(SSS)，角邊角(ASA)，角角邊(AAS)。2.如果已知一個三角形的兩邊及一角，那么有幾種可能的情況呢 每種情況下得到的三角形都全等嗎？接下來就讓我們一起來探討吧！ 【教學建議】教師待學生思考后可請代表發言。
設計意圖
回憶學過的三角形全等的條件，歸納總結，為學習新課做鋪墊。
活動二：實踐探究，獲取新知 探究點1 利用“邊角邊”判定三角形全等由活動一第2問探討的結果可知，已知一個三角形的兩條邊和一個角，有以下幾種情況：師：它們能判定兩個三角形全等嗎？師：我們先來看第一種情況：如果“兩邊及一角”條件中的角是兩邊的夾角，情況會怎樣呢？操作1教師將同學們分為幾個小組，小組合作，選擇兩條線段和一個角作為三角形的兩邊及其夾角，并用尺規作出這個三角形。（以下示例供教師參考：比如三角形兩條邊分別為2.5cm，3.5cm，它們所夾的角為40°） 【教學建議】在著手解決問題之前，建議引導學生回顧上節課探究問題的歸納推理過程，增強有意識地進行歸納推理的自覺性。
設計意圖
學生通過畫圖、剪紙等一系列活動，獲得三角形全等的條件，讓學生在操作中主動
教學步驟 師生活動
獲取數學知識，培養了學生自學、觀察、分析及歸納總結的能力。 問題1 你作的三角形與同伴作的一定全等嗎？全等。操作2 尺規作圖畫出一個△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A(即兩邊和它們的夾角對應相等）。把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？全等。師生共同總結結論：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。用法：在△ABC和△A′B′C′中，因為AB＝A′B′，∠ABC＝∠A′B′C′，BC＝B′C′，根據三角形全等的判定條件“SAS”，所以△ABC≌△A′B′C′。問題2 回顧上述作圖過程，你能總結“已知三角形的兩邊及其夾角，用尺規作這個三角形”的方法和步驟嗎？如圖，已知線段a，c，∠α，用尺規作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。例1 如果AB=CB，∠ABD=∠CBD，那么△ABD和△CBD全等嗎 【教學建議】教學中教師注意適時滲透分類和將一般轉化為特殊的數學思想方法。
教學步驟 師生活動
解：在△ABD和△CBD中，因為AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，根據三角形全等的判定條件“SAS”，所以△ABD≌△CBD。【對應訓練】教材P104隨堂練習第1，2題。
活動三：操作探究，鞏固提升 師：下面我們來看第二種情況：如果“兩邊及一角”條件中的角是其中一邊的對角，情況會怎樣呢？操作：（1）如圖，已知△ABC的AB邊和邊長為l的AC邊，以及AC邊的對角∠B，你能用尺規確定頂點C的位置嗎？由學生作圖后回答。（2）把你作的三角形與同伴作的進行比較，由此你發現了什么？與同伴進行交流。發現：頂點C可能存在兩個位置，所以兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不一定全等。例 下列條件中，不能說明△ABC≌△DEF的是（ C ）A.AB=DE，∠B=∠E，BC=EFB.AB=DE，∠A=∠D，AC=DFC.BC=EF，∠B=∠E，AC=DFD.BC=EF，∠C=∠F，AC=DF 解析：要用兩條邊及一個角判斷能不能使△ABC≌△DEF，應看所給出的條件是不是兩邊和這兩邊的夾角，只有選項C的條件不符合?！緦柧殹咳鐖D，B，E，C，F四點在同一條直線上，AC=DE，∠ACB=∠DEF，添加一個條件，不一定能使△ABC≌△DFE的是（ C ）A．BE=FC B．∠B=∠F C．AB=DF D．∠A=∠D本節課歸納總結：應用“SAS”證明兩個三角形全等的“兩點注意”：(1)對應：“SAS”包含“邊”“角”兩種元素，一定要注意元素的“對應”關系。(2)順序：在應用時一定要按邊、角、邊的順序排列條件，不能出現邊、邊、角(或角、邊、邊)的錯誤，因為邊邊角(或角邊邊)不能保證兩個三角形全等。 【教學建議】教師提示：判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等。解題時要根據已知條件的位置關系來考慮，只具備SSA時是不能判定三角形全等的。
設計意圖
1.進一步學習三角形的畫法，從操作中體會三角形全等的條件。2.使學生認識到“邊邊角”不能判定兩個三角形全等，只有兩邊和它們的夾角對應相等才能判定兩個三角形全等。
教學步驟 師生活動
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應練習?！菊n堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.通過兩邊及其夾角判定三角形全等的定理是什么？2.已知三角形的兩邊及其夾角，如何用尺規作這個三角形？3.兩邊及其中一邊的對角分別相等能判定三角形全等嗎？【知識結構】【作業布置】1.教材P106～109習題4.3第5，6，10，15題。2.相應課時訓練。
板書設計 第3課時 利用“邊角邊”判定三角形全等1.“邊角邊（SAS）”。注意事項。2.SSA不能判定全等。
教學反思 本節課的教學，突出了學生自主探究的特點，尤其在難點的突破過程中，一方面讓學生體會分類討論方法，確定探究的方向，另一方面設計學生動手畫圖、剪切等活動，訓練了學生思維的多樣性，增強了學生有意識地進行推理的自覺性，有效滲透了分類和將一般轉化為特殊的數學思想。
解題大招 利用“SAS”說明三角形全等
類型一 已知兩邊相等，通過找兩邊的夾角相等判定兩個三角形全等(SAS)［夾角相等呈現的方式：①公共角（部分公共）;②對頂角;③垂直］。
例1 如圖，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2.試說明：BC=DE。
解：因為∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC與△ADE中，因為AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，
根據三角形全等的判定條件“SAS”，所以△ABC≌△ADE。所以BC=DE。
類型二 已知有一邊和該邊的一個鄰角對應相等，找該角的另一邊對應相等判定兩個三角形全等(SAS)。
例2 如圖，點B，C，F，E在同一條直線上，AB=DE，BF=CE，∠B=∠E。試說明：AC∥DF。
解：因為BF=CE，所以BF-FC=CE-FC，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，因為AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
根據三角形全等的判定條件“SAS”，
所以△ABC≌△DEF。所以∠ACB=∠DFE。所以∠ACF=∠DFC。所以AC∥DF。
培優點 巧用截長補短法構造全等三角形
例 如圖①，已知AC∥BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，點E在CD上，試說明：AB=AC+BD。
解：(截長法)如圖①，在AB上截取AF=AC，連接EF。
因為AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，所以∠1=∠2，∠3=∠4。
在△ACE和△AFE中，因為AC=AF,∠1=∠2,AE=AE,
所以△ACE≌△AFE(SAS)，所以∠C=∠5(全等三角形的對應角相等)。
因為AC∥BD，所以∠C+∠D=180°。因為∠5+∠6=180°，所以∠D=∠6。
在△BEF和△BED中，因為∠6=∠D,∠3=∠4,BE=BE，
所以△BEF≌△BED(AAS)，所以BF=BD，所以AF+BF=AC+BD，即AB=AC+BD。
另解：(補短法)如圖②，延長AC到點F，使AF=AB，連接EF。
在△AEF和△AEB中，因為AF=AB,∠1=∠2,AE=AE,
所以△AEF≌△AEB(SAS)，所以EF=BE，∠F=∠3。
因為∠3=∠4，所以∠F=∠4。因為AC∥BD，所以∠5=∠D。
在△CEF和△DEB中，因為∠5=∠D，∠F=∠4，EF=EB，
所以△CEF≌△DEB(AAS)，所以CF=DB。
因為AB=AF=AC+CF，所以AB=AC+BD。
方法技巧
截長補短法
說明一條線段的長度等于兩條線段的長度的和(差)時，常用截長補短法。截長，即在長線段上截取一段，使之等于其中一條短線段長，然后證明剩下的線段長等于另一線段長；補短，即延長短線段，使延長后的線段與長線段的長相等，再證明延長部分的線段長等于另一條短線段的長。

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