資源簡介

3 探索三角形全等的條件
第1課時 利用“邊邊邊”判定三角形全等
教學目標
課題 第1課時 利用“邊邊邊”判定三角形全等 授課人
素養目標 1.經歷探索三角形全等條件的過程，體會利用畫圖、操作、歸納獲得數學結論的過程，初步形成解決問題的基本策略。2.掌握三角形全等的“邊邊邊”條件，能夠進行有條理的思考并進行簡單的推理。3.了解三角形的穩定性，體會幾何在生活中的應用。
教學重點 三角形全等條件的探索過程和利用“邊邊邊”說明兩個三角形全等。
教學難點 利用“SSS”說明三角形全等的思考和推理過程。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：回顧導入，引出新課 【回顧引入】1.什么叫全等三角形 能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形。2.全等三角形有什么性質 對應邊相等，對應角相等。①AB=DE ②BC=EF ③CA=FD ④∠A=∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C=∠F一定要滿足三條邊分別相等，三個角也分別相等，才能保證兩個三角形全等嗎？上述六個條件中，有些條件是相關的。能否在上述六個條件中選擇部分條件，簡捷地判定兩個三角形全等呢？本節課我們就來討論這個問題。 【教學建議】教師注意引導學生思考和回顧。
設計意圖
回顧舊知，為講解新知識做鋪墊。
活動二：實踐探究，獲取新知 探究點1 利用“邊邊邊”判定三角形全等【情境】要畫一個三角形與小明畫的三角形全等，你會怎么畫呢？問題1 要畫一個與已知三角形全等的三角形，至少需要幾個與邊或角的大小有關的條件？由學生交流作答。問題1 你能從圖中找出幾個不同的三角形嗎？由學生作答。問題2 只給一個條件（一條邊或一個角）可以嗎？
設計意圖
通過操作與提問的探究活動，不僅
教學步驟 師生活動
得出了確定三角形全等的結論，還滲透了分類的思想和方法，讓學生進一步感受通過舉反例否定結論的方法。 結論：我們發現只有一個條件相等不能保證所畫出的三角形一定全等。問題3 給出兩個條件畫三角形時，有哪幾種可能的情況？每種情況下畫出的三角形一定全等嗎？請你試一試，并與同伴進行交流。給出兩個條件，有三種情況：結論：我們發現只有兩個條件相等不能保證所畫出的三角形一定全等。總結：只給出一個條件或兩個條件時，都不能保證所畫出的三角形一定全等。問題4 給出三個條件畫三角形時，有哪幾種可能的情況？與同伴進行交流。學生獨立思考后，互相交流。有4種可能的情況。（1）下面我們來看看第1種情況“給三個角”：已知一個三角形的三個內角分別為40°，60°和80°，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進行比較，它們一定全等嗎？學生畫三角形后與同伴討論。可舉以下例子說明。 【教學建議】給出兩個條件時，教師注意數學方法的滲透：一是體會分類的思想和方法，兩個條件可分為兩個角、兩條邊、一條邊一個角三種情況；二是進一步感受通過舉反例否定結論的方法。
教學步驟 師生活動
結論：三個內角分別相等的兩個三角形不一定全等。（2）接下來我們來看看第2種情況“給三條邊”：①已知一個三角形的三條邊分別為4cm，5cm和7cm，你能畫出這個三角形嗎？把你畫的三角形與同伴畫的進行比較，它們一定全等嗎？我們發現它們是全等的。②小組合作，選擇三條線段作為三角形的三條邊，并用尺規作出這個三角形。把你作的三角形與同伴作的進行比較，它們一定全等嗎？我們發現它們是全等的。于是我們得到了兩個三角形全等的判定方法：三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。用法：在△ABC和△DEF中，因為AB=DE,BC=EF,AC=DF，根據三角形全等的判定條件“SSS”，所以△ABC≌△DEF。通過剛才的探究過程，我們可以總結出“已知三角形的三邊，用尺規作這個三角形”的方法和步驟。如圖，已知線段a,b,c，用尺規作△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。作法與示范： 【教學建議】(1)對于已知三個內角的情況，學生能比較容易地舉出反例。(2)已知三邊畫三角形時，可以利用量角器、直尺、三角尺等一切工具。畫完后，將同學們畫出的三角形進行比較，通過它們都能重合這個事實，使學生認可“SSS”的條件。必要時可以改變三邊的長度重復以上操作。學生在按照要求畫三角形時，如果出現困難，可允許他們用相應長度的細紙條或木棒實際擺一擺。
教學步驟 師生活動
例1 如圖，C是BF的中點，AB=DC，AC=DF。試說明：△ABC≌△DCF。解：因為C是BF的中點，所以BC=CF。在△ABC和△DCF中，AB=DC，AC=DF，BC=CF，根據三角形全等的判定條件“SSS”，所以△ABC≌△DCF。【對應訓練】教材P100隨堂練習第1題。
設計意圖 探究點2 三角形的穩定性師：由上面的結論可知，只要三角形三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了。問題1 下面我們來做一個試驗，取三根長度適當的木條，用釘子釘成一個三角形的框架，你所得到的框架的形狀固定嗎 用四根木條釘成的框架的形狀固定嗎 用三根木條釘成的三角形框架是固定的，用四根木條釘成的框架，它的形狀是可以改變的。概念引入：如圖①是用木條釘成的一個三角形框架，它的大小和形狀是固定不變的，三角形的這個性質叫作三角形的穩定性。如圖②是用四根木條釘成的一個框架，它的形狀是可以改變的，因此，四邊形具有不穩定性。問題2 在生活中，我們經常會看到應用三角形穩定性的例子(如圖)。你還能舉出一些其他的例子嗎？例2 蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常在窗框上斜釘一根木條。為什么要這樣做呢？解：四邊形不具有穩定性，人們往往通過改造，將其變成三角形從而增強其穩定性。 【教學建議】教科書中給出了生活中利用三角形穩定性的兩個例子，在現實生活中這樣的例子還有很多，教師可以再舉一些例子，并鼓勵學生自己找出實例，感受數學在生活中的應用。
通過擺弄木條體會三角形穩定性的相關知識，并讓學生列舉生活中的實例說明，體會數學在生活中無處不在，同時培養學生的應用意識。
教學步驟 師生活動
【對應訓練】人字梯中間一般會設計一個“拉桿”，這樣做的道理是 三角形具有穩定性 。
活動三：典例精講，升華提高 例 已知：如圖，AB=AE，AC=AD，BD=CE，試說明：△ABC≌△AED。解：因為BD=CE，所以BD-CD=CE-CD,即BC=ED。在△ABC和△AED中，因為AC=AD，AB=AE，BC=ED，根據三角形全等的判定條件“SSS”，所以△ABC≌△AED。【對應訓練】如圖，在△ABC和△EFD中，AD=FC，AB=FE，BC=ED。試說明∠B=∠E。解：因為AD=FC，所以AD+DC=FC+DC，即AC=FD。在△ABC和△FED中，因為AC=FD，AB=FE，BC=ED，根據三角形全等的判定條件“SSS”，所以△ABC≌△FED，所以∠B=∠E。 【教學建議】教師要引導學生找對應邊并用如圖的樣式進行標記。當遇到兩條線段相等，且有公共部分時，可考慮用線段的加、減得出所需的相等線段。
設計意圖
通過例題告訴學生當用“邊邊邊”判定兩個三角形全等，邊的條件沒有直接給出時，可以通過線段的和差進行轉化。
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.說一說如何探索三角形全等的條件。2.通過三條邊判定三角形全等的定理是什么？3.已知三角形的三條邊如何用尺規作這個三角形？4.什么是三角形的穩定性？四邊形具有穩定性嗎？你能舉出生活中的實例嗎？【知識結構】
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【作業布置】1.教材P106～109習題4.3第1，8，9，12，13題。2.相應課時訓練。
板書設計 3 探索三角形全等的條件第1課時 利用“邊邊邊”判定三角形全等1.探究三角形全等的條件 (1)一個條件；(2)兩個條件；(3)三個條件：三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。2.三角形的穩定性。
教學反思 有效的數學學習不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探究與合作交流是學習數學的重要方式。本節課在教學中一方面引導學生動手去畫，另一方面鼓勵學生合作交流，既讓學生獲得知識，培養學生的合作意識，調動學生的主觀能動性，使學生積極主動地參與教學活動，對只有一個或兩個條件得不到三角形全等，發現三角形全等的條件有更直觀的認識，又讓學生獲得方法，為后繼的學習積累經驗。
解題大招一 利用“SSS”解決三角形全等需要添加的條件問題
解此類題關鍵是要分清判斷的是哪兩個三角形全等，利用的是什么定理，把已知條件代入，即可看出所缺的條件。
例1 如圖，已知AB=AC，AE=AD，點B，D，E，C在同一條直線上，要利用“SSS”推理得出△ABE≌△ACD，還需要添加的一個條件是 BD=CE（答案不唯一） 。
解題大招二 利用“SSS”判定三角形全等
除已知的邊相等外，找等邊還有以下幾種方法：①中點(或三角形的中線);②公共邊；③一部分相等，另一部分是公共的，可利用等邊加(或減)等邊，其和(或差)仍相等；④全等三角形的對應邊相等。
例2 如圖，AD=BC，AC=BD。試說明：∠C=∠D。
解：如圖，連接AB。在△ABD和△BAC中，
因為AD=BC,BD=AC,AB=BA，
根據三角形全等的判定條件“SSS”，所以△ABD≌△BAC，所以∠D=∠C。
培優點 利用“SSS”判定三角形全等的實際應用
例 如圖是雨傘開閉過程中某時刻的截面圖，傘骨AB=AC，支撐桿OE=OF，AE=AB，AF=AC。當O沿AD滑動時，雨傘開閉。雨傘開閉過程中，∠BAD與∠CAD有何關系？請說明理由。
解：∠BAD=∠CAD。理由：
因為AB=AC，AE=AB，AF=AC，所以AE=AF。
在△AEO和△AFO中，因為AE=AF，AO=AO，OE=OF，
根據三角形全等的判定條件“SSS”，所以△AEO≌△AFO，所以∠BAD=∠CAD。

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