資源簡介

第3課時 三角形的高、中線與角平分線
教學目標
課題 第3課時 三角形的高、中線與角平分線 授課人
素養(yǎng)目標 1.認識三角形的高、中線、角平分線，會畫任意三角形的高、中線、角平分線。2.認識三角形的重心，了解三角形三條角平分線和高所在直線分別交于一點的性質(zhì)。3.通過操作、畫圖等實踐活動豐富學生對所學內(nèi)容的理解和體驗，同時發(fā)展學生的幾何直觀。
教學重點 三角形的高、中線、角平分線的定義及其性質(zhì)，會畫任意三角形的高。
教學難點 了解三角形的三條角平分線、三條中線都分別在三角形內(nèi)部交于一點，畫鈍角三角形夾鈍角的兩邊上的高和三角形高的應用。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：設置問題，導入新課【 【問題引入】1.什么是垂線，線段的中點，角的平分線？2.如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一個動點，連接AD，在點D的運動過程中，觀察點D或線段AD有哪些特殊的位置,說說你的看法，并與同伴進行交流。今天這節(jié)課就讓我們一起來研究一下三角形里面的幾條重要線段！ 【教學建議】第1問教師可結(jié)合圖示提示學生。第2問教師要提示學生以第1問為啟發(fā)進行思考。
設計意圖
設置這兩個問題是回憶與本節(jié)課相關的舊知，為學習本節(jié)內(nèi)容做鋪墊。
活動二：實踐探究，獲取新知 探究點1 認識三角形的高、中線、角平分線問題1 觀察活動一中第2問的圖形，當點D運動到AD垂直于BC時，線段AD叫什么呢？概念引入： 【教學建議】教師提示：三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形。
設計意圖
由一個圖形的動態(tài)探究讓學生認識三角形的高、中線和角平分線。學生
教學步驟 師生活動
經(jīng)歷探究的過程，發(fā)現(xiàn)知識，學習知識，掌握知識，這樣能讓學生感受到知識的形成過程，印象深刻。 問題2 觀察活動一中第2問的圖形，當點D運動到BC的中點時，線段AD叫什么呢？概念引入：問題3 觀察活動一中第2問的圖形，當點D運動到AD平分∠BAC時，線段AD叫什么呢？概念引入：例 如圖，在△ABC中，AD是高，∠B=40°，∠CAD=20°，求∠BAC的度數(shù)。解：因為AD是高，所以∠ADB=90°。因為∠B=40°，所以∠BAD=90°-∠B=50°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=50°-20°=30°。【對應訓練】1.如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ACD的中線，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的長。解：因為AD是△ABC的中線，AE是△ACD的中線，所以BD=CD，DE=EC。因為DE=2cm，所以EC=2cm，BD=CD=4cm。所以BE=BD+DE=6cm，BC=2BD=8cm。2.教材P92隨堂練習第1題。 【教學建議】三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線則是一條射線，這是二者的重要區(qū)別，是對三角形角平分線概念理解的關鍵，也是初學者容易混淆之處，教學過程中要注意提醒學生。
設計意圖 探究點2 三角形三條中線、角平分線和高所在直線分別交于一點問題1 在紙上任意畫一個銳角三角形，并畫出它的三條中線，它們有怎樣的位置關系 與同伴進行交流。發(fā)現(xiàn)：三條中線交于一點。 【教學建議】畫三角形的中線，首先遇到的問題是如何確定對邊的中點，既可以通過測量，
通過動手操作，讓學生自主探究歸納出三角形
教學步驟 師生活動
三條中線交于一點、三條角平分線交于一點、三條高所在的直線交于一點等性質(zhì)。豐富學生對內(nèi)容的體驗和理解，同時發(fā)展他們的空間觀念。 問題2 鈍角三角形和直角三角形的三條中線也有同樣的位置關系嗎？畫一畫，折一折，并與同伴進行交流。發(fā)現(xiàn)：鈍角三角形和直角三角形的三條中線也有同樣的位置關系，即三條中線交于一點。問題3 如圖，用鉛筆可以支起一張質(zhì)地均勻的三角形卡片。怎樣確定這個點的位置呢？請大家試一試！我們發(fā)現(xiàn)用鉛筆支撐三條中線的交點就能成功。這個點叫什么呢？歸納總結(jié)：三角形的三條中線交于一點。這個點稱為三角形的重心。問題4 請你探究三角形的三條角平分線是否交于一點。三角形的三條高呢？你是怎么做的？與同伴進行交流。教師給充足的時間讓學生分組操作、思考和交流。如學生遇到困難，可提示引導如下：探究三條角平分線：每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個。（1）你能分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎？（2）你能用折紙的辦法得到它們嗎？（3）在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關系？將你的結(jié)果與同伴進行交流。 也可以用折紙的方法對折得到，教學中要鼓勵學生積極探索，不要限制學生的方法，引導學生在充分理解的基礎上歸納出結(jié)論。關于三角形三條中線交于一點的結(jié)論，教科書是引導學生通過畫圖、折紙直觀感知，教學時要確認學生可以自行選擇不同形狀的三角形進行驗證。
教學步驟 師生活動
結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點。探究三條高：每人準備一個銳角三角形紙片。（1）你能畫出這個三角形的三條高嗎？（2）這三條高之間有怎樣的位置關系？將你的結(jié)果與同伴進行交流。如果換成直角三角形、鈍角三角形，又會是怎樣的情形？結(jié)論：三角形的三條高所在的直線交于一點。【對應訓練】教材P92隨堂練習第2題。 【教學建議】直角三角形的高，特別是兩直角邊上的高，是學生學習的難點，因此讓學生充分討論交流，教師適時引導。對于高的畫法，若需要強化練習可以參考備課素材。
活動三：典例精講，升華提高 【對應訓練】如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=88°，∠B=50°，求∠DAE的度數(shù)。解：因為AD是△ABC的高，所以∠ADB=90°。所以∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°。因為AE是△ABC的角平分線，所以∠BAE=12∠BAC=12×88°=44°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=4°。 【教學建議】教師引導學生厘清已知條件，提煉出解題關鍵點，即∠ADB=180°-∠B-∠BAD。
設計意圖
設置此例題和對應訓練一方面鞏固所學的新課內(nèi)容，一方面提高學生對角平分線和高的綜合型題的分析能力、解決問題的能力。
教學步驟 師生活動
活動四：隨堂訓練，課堂總結(jié) 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.什么是三角形的高？什么是三角形的中線？什么是三角形的角平分線？2.三角形的三條中線有怎樣的位置關系？什么是三角形的重心？3.三角形的角平分線是否交于一點？三角形的三條高呢？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P92～94習題4.1第6，7，8，13，14，15題。2.相應課時訓練。
板書設計 第3課時 三角形的高、中線與角平分線1.高。2.中線→重心。3.角平分線。
教學反思 教學反思本節(jié)課通過有效的問題探究使學生掌握三角形的高、中線、角平分線的概念和相關性質(zhì)，并不失時機地進行了夯實，起到了較好的效果。在實際教學中注意了分層教學，設計中有兩個環(huán)節(jié)來體現(xiàn)，一個是針對優(yōu)生的知者加速，另一個是針對學困生的補讀幫困，兩個環(huán)節(jié)的設置兼顧到了每一個層次的學生，讓課堂效率進一步得到了提升。
解題大招一 三角形高的畫法
(1)作三角形的高時，找準頂點和對邊是關鍵，作高的步驟就是“過一點作已知直線的垂線”的步驟：一靠(三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上)、二找(移動三角尺使另一條直角邊通過要作高的頂點)、三畫線(畫垂線段)，如圖。
(2)注意：高是線段，垂線是直線。
(3)三角形任意一邊上的高必須滿足：①過該邊所對的頂點；②垂足必須在該邊或該邊的延長線上。（標明垂直的記號和垂足的字母）
解題大招二 與中線、高有關的面積問題
1.與中線有關的面積問題
三角形的任意一條中線，都能把三角形分成面積相等的兩部分。應用此結(jié)論，可解決有關三角形的面積問題。
例2 如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AD的中點，△ABC的面積是4cm2，那么△BEC的面積是（ B ）。
A．2.5cm2 B．2cm2 C．1.5cm2 D．1cm2
思路分析：
2.與高有關的面積問題（等面積法）
可利用面積相等作橋梁(但不求出面積)求三角形的高，此解題方法通常稱為“等面積法”。
例3 如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于點D，且AD=4。若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為。
解析：當BP⊥AC時，BP的值最小，此時S△ABC=BC·AD=AC·BP，所以BP===。
培優(yōu)點 與中線有關的周長問題
例 已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC邊上的中線把該三角形的周長分為13.5和11.5兩部分，求這個等腰三角形各邊的長。
分析：要分腰比底邊長和腰比底邊短兩種情況進行討論。
解：設在△ABC中，BD是AC邊上的中線。分兩種情況討論：
方法總結(jié)：在幾何問題中，若是以文字敘述的形式給出的，則要根據(jù)文字敘述畫出符合條件的圖形再求解，易出現(xiàn)的錯誤是考慮問題不全面，畫圖形時漏掉了符合題意的不同情況。

展開更多......

收起↑