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第2課時(shí) 利用“角邊角”“角角邊”判定三角形全等
教學(xué)目標(biāo)
課題 第2課時(shí) 利用“角邊角”“角角邊”判定三角形全等 授課人
素養(yǎng)目標(biāo) 1.經(jīng)歷探索三角形全等條件“兩角一邊”的過(guò)程，體會(huì)操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程。2.掌握判定三角形全等的“角邊角”“角角邊”條件。3.能夠利用“角邊角”“角角邊”判定兩個(gè)三角形全等，解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角形全等條件在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值。
教學(xué)重點(diǎn) 掌握判定三角形全等的“ASA”和“AAS”條件。
教學(xué)難點(diǎn) 能夠進(jìn)行有條理的思考并進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。
教學(xué)活動(dòng)
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
活動(dòng)一：回顧導(dǎo)入，引出新課 【回顧引入】1.什么叫全等三角形 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形。2.我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了哪種判定兩個(gè)三角形全等的方法 邊邊邊(SSS)。3.由前面的討論我們知道，如果給出一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)度，那么由此得到的三角形都是全等的。如果已知一個(gè)三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢 每種情況下得到的三角形都全等嗎 這就是今天這節(jié)課我們將要探討的問(wèn)題！ 【教學(xué)建議】教師待學(xué)生思考后可請(qǐng)代表發(fā)言。
設(shè)計(jì)意圖
通過(guò)設(shè)置富有階梯性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，為學(xué)習(xí)新課做鋪墊。
活動(dòng)二：實(shí)踐探究，獲取新知 探究點(diǎn)1 “角邊角”判定三角形全等經(jīng)過(guò)活動(dòng)一中的討論，我們知道了如果已知一個(gè)三角形的兩角及一邊，有以下幾種情況：師：它們能判定兩個(gè)三角形全等嗎？師：我們先來(lái)看第①種情況（“兩角及兩角所夾的邊分別相等”）會(huì)怎樣呢？操作1教師將學(xué)生分為幾個(gè)小組，由小組合作，選擇兩個(gè)角和一條線段作為三角形的兩個(gè)內(nèi)角及其夾邊，并用尺規(guī)作出這個(gè)三角形。 【教學(xué)建議】教師在教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生利用量角器、直尺、三角尺等各種工具畫圖，作出△A′B′C′，并與△ABC進(jìn)行比較，最終形成三角形全等的判定方法——“ASA”。
設(shè)計(jì)意圖
通過(guò)實(shí)踐操作，使學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、得出結(jié)論的過(guò)程。在交流合作中
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
探索出三角形全等的條件——兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，讓他們感受成功的喜悅。培養(yǎng)學(xué)生分析、探究問(wèn)題的能力，提高他們歸納知識(shí)的能力、組織語(yǔ)言及表達(dá)的能力。 （以下示例供教師參考：比如三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和80°，它們所夾的邊為2cm）問(wèn)題1 你作的三角形與同伴作的一定全等嗎？全等。操作2 先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B(即兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等)。把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔咳取Ｓ纱宋覀兛梢缘贸鼋Y(jié)論：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為“角邊角”或“ASA”。用法：在△ABC和△A′B′C′中，因?yàn)椤螦＝∠A′,AB＝A′B′，∠B＝∠B′，根據(jù)三角形全等的判定條件“ASA”，所以△ABC≌△A′B′C′。問(wèn)題2 回顧上述作圖過(guò)程，你能總結(jié)出“已知三角形的兩角及其夾邊，用尺規(guī)作這個(gè)三角形”的方法和步驟嗎？如圖，已知∠α，∠β，線段c，用尺規(guī)作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。例1 如圖，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，試說(shuō)明：△ABC≌△DCB。解：在△ABC和△DCB中，因?yàn)椤螦BC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，根據(jù)三角形全等的判定條件“ASA”，所以△ABC≌△DCB。 【教學(xué)建議】教學(xué)中教師提示學(xué)生類比“SSS”歸納得到“ASA”。
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P102隨堂練習(xí)第1題。
設(shè)計(jì)意圖 探究點(diǎn)2 利用“角角邊”判定三角形全等問(wèn)題 第②種情況：如果“兩角及一邊”條件中的邊是其中一角的對(duì)邊，情況會(huì)怎樣呢？你能將它轉(zhuǎn)化為“探究點(diǎn)1”中的條件嗎？與同伴進(jìn)行交流。由三角形內(nèi)角和定理可得出第三個(gè)角的度數(shù)也是相等的，這樣便可以轉(zhuǎn)化成已知兩角及其夾邊的情況，因此已知兩角及一角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形也是全等的。結(jié)論：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為“角角邊”或“AAS”。用法：在△ABC和△A′B′C′中，因?yàn)椤螦＝∠A′,∠B＝∠B′ ，AC=A′C ′，根據(jù)三角形全等的判定條件“AAS”，所以△ABC≌△A′B′C′。例2 如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，試說(shuō)明：AB=AD。解：因?yàn)锳B⊥BC，AD⊥DC，所以∠B=∠D=90°。在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠B=∠D，AC=AC，根據(jù)三角形全等的判定條件“AAS”，所以△ABC≌△ADC，所以AB=AD。【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，AB∥CD，且AB=CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，則△ABE≌△CDE的依據(jù)是（ D ）A.只能用ASAB.只能用SSSC.只能用AASD.用ASA或AAS 【教學(xué)建議】將“兩角及其中一角的對(duì)邊”轉(zhuǎn)化為“兩角及其夾邊”的情況，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化和推理的思想。教學(xué)時(shí)，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言表達(dá)思考過(guò)程，并與同伴進(jìn)行交流。
進(jìn)一步滲透分類和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，完善兩角及一邊的討論，并用例題使學(xué)生能在具體題目中掌握三角形全等的條件“角角邊(AAS)”的使用，并能運(yùn)用相應(yīng)的條件進(jìn)行有條理的思考及簡(jiǎn)單的推理。
活動(dòng)三：典例精講，升華提高 例 如圖，∠ACB=∠B=90°，點(diǎn)E在BC上，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CF交BD于點(diǎn)D，且CD=AE。試說(shuō)明：AC=BC。解：因?yàn)椤螦CB=90°，CF⊥AE，所以∠ACF+∠BCD=∠ACF+∠CAF=90°。所以∠BCD=∠CAF，即∠CAE=∠BCD。在△ACE和△CBD中，因?yàn)椤螦CE=∠B，∠CAE=∠BCD，AE=CD，根據(jù)三角形全等的判定條件“AAS”，所以△ACE≌△CBD。所以AC=BC。 【教學(xué)建議】教師提示學(xué)生找等角的幾種方式：①公共角相等；②對(duì)頂角相等；
設(shè)計(jì)意圖
通過(guò)例題和對(duì)應(yīng)訓(xùn)練進(jìn)一步鞏固新知，使學(xué)生掌握用垂直、互余、平行、等量代換等找等角的方法，再用兩角一邊判定兩個(gè)三角形全等。 【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，AB∥DE，B，C，D三點(diǎn)在同一條直線上，∠A=90°，EC⊥BD，且AB=CD。試說(shuō)明：AC=CE。解：因?yàn)锳B∥DE，所以∠B=∠D。因?yàn)镋C⊥BD，∠A=90°，所以∠DCE=∠A=90°。在△ABC和△CDE中，因?yàn)椤螧=∠D，AB=CD，∠A=∠DCE，根據(jù)三角形全等的判定條件“ASA”，所以△ABC≌△CDE。所以AC=CE。 ③等角加(或減)等角，其和(或差)仍相等；④同角或等角的余(或補(bǔ))角相等；⑤由角平分線的定義得出角相等；⑥由垂直的定義得出角相等；⑦由平行線得到同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等；⑧全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié) 【隨堂訓(xùn)練】相應(yīng)練習(xí)。【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.通過(guò)兩角及其夾邊判定三角形全等的定理是什么？2.已知三角形的兩角及其夾邊，如何用尺規(guī)作這個(gè)三角形？3.通過(guò)兩角及一角的對(duì)邊判定三角形全等的定理是什么？它是如何通過(guò)轉(zhuǎn)化得出的？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P106～109習(xí)題4.3第2，3，4，7，14題。2.相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練。
板書設(shè)計(jì)
教學(xué)反思 本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的積極性、主動(dòng)性，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、對(duì)比、討論、合作學(xué)習(xí)等形式對(duì)全等三角形的條件“ASA”和“AAS”進(jìn)行探究，時(shí)間充足，效果較好，能分辨出這兩個(gè)定理的區(qū)別，在探究過(guò)程中，加深了學(xué)生對(duì)定理的理解和掌握。讓學(xué)生大膽想象、探索、應(yīng)用，使更多的同學(xué)獲得鍛煉的機(jī)會(huì)。
解題大招一 補(bǔ)充條件的開放性題目
方法指引：補(bǔ)充條件后，可根據(jù)已學(xué)過(guò)的判定三角形全等的方法SSS，ASA，AAS判定兩個(gè)三角形全等。
例1 如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，∠A=∠D，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，使△AOB≌△DOC，你補(bǔ)充的條件是 OB=OC（答案不唯一） (填一個(gè)即可)。
例2 如圖，已知點(diǎn)F，E分別在AB，AC上，且AE=AF，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件： ∠B=∠C(答案不唯一) ，使得△ABE≌△ACF。(只需填寫一種情況即可)
解題大招二 三角形全等的判定
兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等;兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等。
例3 如圖，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE。試說(shuō)明：BD=CE。
解：因?yàn)锳B⊥AC，AD⊥AE，所以∠BAC=∠DAE=90°。
所以∠BAE+∠CAE=∠BAE+∠BAD。所以∠CAE=∠BAD。
在△ABD和△ACE中，
因?yàn)椤螧AD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，
根據(jù)三角形全等的判定條件“ASA”，所以△ABD≌△ACE。所以BD=CE。
培優(yōu)點(diǎn) 全等三角形類比探究題
例 如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)點(diǎn)A的一條直線，且點(diǎn)B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于點(diǎn)D，CE⊥AE于點(diǎn)E。
(1)請(qǐng)問(wèn)BD=CE+DE成立嗎 為什么
(2)若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置(BD＜CE)，其余條件不變，則BD與DE，CE的關(guān)系如何 請(qǐng)說(shuō)明理由。
解：(1)成立。理由如下：
因?yàn)锽D⊥AE，CE⊥AE，所以∠ADB=∠AEC=90°。
因?yàn)椤螧AC=90°，∠ADB=90°，
所以∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°，
所以∠ABD=∠CAE。
在△ABD和△CAE中，因?yàn)椤螦DB=∠CEA，∠ABD=∠CAE，AB=CA，
所以△ABD≌△CAE(AAS)，所以BD=AE，AD=CE。
因?yàn)锳E=AD+DE，所以BD=CE+DE。
(2)BD=DE-CE。理由如下：
因?yàn)锽D⊥AE，CE⊥AE，所以∠ADB=∠AEC=90°。
又因?yàn)椤螧AC=90°，所以∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°，所以∠ABD=∠CAE。
在△ABD和△CAE中，因?yàn)椤螦DB=∠CEA，∠ABD=∠CAE,AB=CA，
所以△ABD≌△CAE(AAS)，所以BD=AE，AD=CE，所以BD=AE=DE-AD=DE-CE。

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