資源簡介

☆ 問題解決策略：特殊化
教學目標
課題 問題解決策略：特殊化 授課人
素養目標 1.經歷探究用特殊情形下獲得的結論或方法解決一般性問題的過程，掌握解決復雜問題的特殊化策略和方法。2.體會從一般到特殊，從特殊到一般的數學思想方法，提升抽象能力和推理能力。
教學重點 把一般問題轉化為特殊問題的思路和方法。
教學難點 如何找到一般問題中的特殊情形。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：創設情境，導入新課 【情境引入】數學家費馬在研究數列F=22n+1著名的前五項：F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537時，發現它們都是素數，于是費馬就猜想：形如Fn=22n+1的數都是素數。可能歐拉有點看不慣這種“隨意”的猜想，歐拉計算了一下n=5時的情況，發現：4294967297=641*6700417。于是，費馬的猜想被這個“特殊的5”否認掉！20世紀被譽為“數學屆中的亞歷山大”數學家希爾伯特說：“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用。”偉大的數學家華羅庚教授也說：“善于‘退’，一直‘退’到原始而不失重要性的地方，是學習數學的一個訣竅。而特殊化思考就是一種‘退一步’的策略！”今天這節課就讓我們一起來探討一下如何用特殊化的策略解決問題。 【教學建議】教師可以讓學生用科學計算器驗證一下n=5時，是不是Fn就不是素數。
設計意圖
以數學家的趣味數學為引入點，激發學生的興趣，為引出本課內容做鋪墊。
活動二：實踐探究，獲取新知 探究點 采用特殊化的策略解決問題師：首先理解特殊化這個概念。舉個例子：師：什么是特殊化策略呢？面對一般性的問題時，可以先考慮特殊情形，借助特殊情形下獲得的結論或方法解決一般性的問題，這就是特殊化策略。師：我們可以感受到在特殊情形下，問題變得具體、簡單、易于解決。因此，從特殊情形出發，有助于我們發現解決問題的思路。 【教學建議】教師還可以多舉幾個例子說明特殊化的含義，也可以讓學生模仿舉例。
設計意圖
通過實例讓學生經歷探究用特殊情形找到解決一般問題的思路的過程，提
教學步驟 師生活動
高學生的推理能力和抽象能力。 下面我們來看看這個問題。問題 如圖，有兩個邊長為1的正方形，其中正方形EFGH的頂點E與正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH繞點E旋轉的過程中，兩個正方形重疊部分的面積是多少 【理解問題】(1)在旋轉過程中，兩個正方形的重疊部分會呈現出哪些情形 (2)對于這些不同情形，如何求兩個正方形重疊部分的面積 你遇到的困難是什么 重疊部分隨著繞頂點E的旋轉是在變化的，所求重疊部分的面積有很多情形，不規則的情形下無法利用已知條件求出面積……【擬訂計劃】哪些特殊情形下，兩個正方形重疊部分的面積容易求出？如下圖這樣，重疊部分是規則圖形的時候容易求出。其他情形能轉化為容易求解的特殊情形嗎？能。【實施計劃】寫出你的解決方案，并說明道理。小明是這樣思考的：（1）先考慮特殊情形。如圖①、圖②，這兩種情形下，重疊部分的面積容易求出，都是。（2）將一般情形轉化為特殊情形。如圖③，連接EB,EC，兩個正方形重疊部分的面積記作S重疊，則S重疊 = S△BEC+ S△CEN - S△BEM。可以發現，△BEM≌△CEN，這時，圖③的情形就轉化為圖①的情形，S重疊=S△BEC=。因此，一般情形下，重疊部分的面積也是。 【教學建議】兩個正方形重疊的部分教師可以用多媒體展示，讓學生有個形象的認識。
教學步驟 師生活動
【回顧反思】(1)回顧本題的解決過程，你有哪些感悟 可由學生自由作答，教師再總結。師：在這個問題中，正方形EFGH的位置是變化的，所求重疊部分的面積有很多情形，因此，小明嘗試從特殊情形入手，并借助特殊情形的經驗解決了一般情形下的問題。(2)具有什么特點的問題，可以從特殊情形入手 如何尋找特殊情形 與同伴進行交流。可由學生自由作答，教師再總結。師：因為某些因素(如形狀、位置或數值等)不確定，使得問題有多種情形時，可以限制這個引起變化的因素，考慮最為特殊的情形，采用從特殊情形入手的策略解決問題。
活動三：典例精講，升華提高 例1 一個三位數除以它的各位數字之和，商最大是多少？（1）特殊值法分析題意（2）將一般情形轉化為特殊情形解：設這個三位數為100a+10b+c，可得(100a+10b+c)÷(a+b+c)=[(10a+10b+10c)+(90a-9c)]÷(a+b+c)=10+9(10a-c)÷(a+b+c)要使商最大，那么被除數應最大，除數應最小，可得c=0，b=0，此時商的最大值為：10+9×10a÷a=10+90=100。例2 如圖，P是等邊三角形ABC內的任意一點，過點P向三邊作垂線，垂足分別為D,E,F。小穎從特殊情形入手，認為AF+BD+CE等于△ABC周長的一半。你知道她是怎么做的嗎？解：小穎是從以下特殊情形入手，P為等邊三角形ABC三條高的交點，如圖所示。容易得到,△ABD≌△ACD，所以BD=CD。同理可得AF=BF,AE=CE。因此，容易得到AF+BD+CE等于△ABC周長的一半。【對應訓練】教材P115第2，3題。 【教學建議】教師提示學生當遇到光看題意無從下手的代數類題時，可先取特殊值分析題意，這樣有助于找到解題思路。
設計意圖
通過例題和對應訓練加深對特殊化解題策略的理解，拓展學生的思維。
活動四：隨堂提問，課堂總結 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是特殊化策略 采用特殊化策略有什么好處？2.如何從一般問題中找特殊的情形？
教學步驟 師生活動
板書設計 ☆ 問題解決策略：特殊化1.考慮特殊情形。2.將一般情形轉化為特殊情形。
教學反思 本節課難度較大，學生一般缺乏自主思維去解決這樣較復雜的題目。但通過本節課的學習，讓學生體驗了從特殊情形尋找解決一般問題的思路從而解決一般問題的過程，學生積累了一定的經驗和策略。后續學習中，可以給學生展示不同類型的應用場景，讓學生進一步鞏固解決此類問題的能力。

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