資源簡介

3 用關系式表示變量之間的關系
教學目標
課題 3 用關系式表示變量之間的關系 授課人
素養目標 1.經歷探究某些圖形中變量之間的關系的過程，進一步體會一個變量的變化對另一個變量的影響，發展符號意識。2.能根據具體情況，用關系式表示某些變量之間的關系，初步感受模型思想。3.能根據關系式求值，初步體會自變量和因變量的數值對應關系。
教學重點 學會用關系式來表示變量之間的關系。
教學難點 根據關系式找自變量和因變量之間的對應關系。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：創設情境，導入新課 【情境引入】你知道地球內部的溫度有多高嗎？地殼的厚度約為8～40km，在地表以下不太深的地方，溫度可按y=35x+t計算，其中x（單位：km）是深度，t（單位：℃）是地球表面的溫度，y（單位：℃）是所處深度的溫度。我們根據這個公式就可以求出地球內部不同深度處的溫度。大家是不是覺得很方便呢？那么怎么找到這個公式的呢？今天這節課就讓我們一起探究用關系式表示變量之間的關系。 【教學建議】教師可復習代數式求值的內容，讓學生動手算一算地殼某個深度對應的溫度，使學生快速融入課堂。
設計意圖
以學生感興趣的地理知識引入本節課的內容，引起學生的好奇心，引出本節課的學習內容。
活動二：實踐探究，獲取新知 探究點 用關系式表示變量之間的關系例1 如圖，△ABC底邊BC上的高是6cm。當三角形的頂點C沿底邊所在直線向點B運動時，三角形的面積發生了變化。問題1 在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？當底邊長減小時，三角形的面積是如何變化的？自變量： 三角形的底邊長 ，因變量： 三角形的面積 。當底邊長減小時，三角形的面積 減小 。問題2 如果三角形的底邊長為x（單位：cm），那么三角形的面積y（單位：cm2）如何表示？ 【教學建議】教師不能忽視對問題1，2，3的討論，應讓學生獨立想象整個的變化過程。教師還可以向學生演示這一變化過程或鼓勵學生進行實踐，
設計意圖
經歷這樣的活動，使學生進一步體會變量之間
教學步驟 師生活動
的關系，并能從代數式表示的角度進一步感受自變量、因變量的對應思想，以及積累研究變量之間關系的經驗。 根據三角形的面積公式，可得y=BC·AC=x×6=3x，即三角形的面積y=3x。問題2 在這個變化過程中，取定一個底邊x的值，面積y的值能確定嗎？與同伴進行交流。能。師：y=3x表示了圖中三角形底邊長x和面積y之間的關系，它是變量y隨x變化的關系式。歸納：關系式是我們表示變量之間關系的一種常用方法。如圖，利用關系式（如y=3x），我們可以根據任何一個自變量的值求出相應的因變量的值。例2 如圖，圓錐的高是4cm，當圓錐的底面半徑由小到大變化時，圓錐的體積也隨之發生了變化。問題1 你還記得圓錐的體積公式是什么嗎？問題2 在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？自變量是圓錐的底面半徑，因變量是圓錐的體積。問題3 底面半徑增大時，圓錐的體積是如何變化的？底面半徑增大時，圓錐的體積增大。問題4 如果圓錐的底面半徑為r（單位：cm），那么圓錐的體積V（單位：cm3）如何表示？根據問題1中我們回憶的圓錐的體積公式，結合題干中的已知條件，可得關系式：問題5 在這個變化過程中，取定一個底面半徑r的值，體積V的值能確定嗎？能。【對應訓練】教材P154隨堂練習第1題。 獲得對變量關系的直觀體驗。對于感興趣的學生，還可以鼓勵他們進一步探索這個變化過程中的數量關系：當高一定時，三角形的面積是底邊的正比例函數。教學中，建議同時關注學生對圖形變化的想象力。【教學建議】教師引導學生給x賦值，并讓他們與同伴交流自己的探究成果，讓學生感受底邊x確定了，面積y的值也就能確定。【教學建議】處理問題2，3時，教師也可通過課件拖動圓錐半徑動態演示，讓學生觀察圓錐的體積變化，判斷并指出在這個變化過程中哪個是自變量，哪個是因變量。
活動三：典例探究，升華提高 例 （教材P154嘗試·交流）你知道什么是“低碳生活”嗎？“低碳生活”是指人們盡量減少所耗能量，從而降低碳（特別是二氧化碳）的排放量的一種生活方式。一些常見的二氧化碳排放量計算公式見下表：
教學步驟 師生活動
設計意圖 （1）你能用字母表示家居用電的二氧化碳排放量的公式嗎 其中的字母表示什么 （2）隨著用電量的增加，二氧化碳排放量是如何變化的 與同伴進行交流。（3）當用電量為100kW·h時，二氧化碳排放量是多少 （4）小明家本月大約用電110kW·h、耗油75L、用天然氣20m3、用自來水5 m3，請你計算小明家這幾項的二氧化碳排放量總和。解：（1）假設y表示二氧化碳排放量，x表示用電量，則（2）隨著用電量的增加，二氧化碳排放量也增加。（3）當用電量為100kW·h，即x=100時，y=0.785×100=78.5（kg）。即用電量為100kW·h時，二氧化碳排放量是78.5kg。（4）家居用電的二氧化碳排放量：110×0.785=86.35（kg）。開私家車的二氧化碳排放量：75×2.7=202.5（kg）。家用天然氣的二氧化碳排放量：20×0.19=3.8（kg）。家用自來水的二氧化碳排放量：5×0.91=4.55（kg）。二氧化碳排放量總和：86.35+202.5+3.8+4.55=297.2（kg）。【對應訓練】教材P154隨堂練習第2題。反思：我們已經學了哪幾種方式表示變量間的關系，各有什么優缺點？ 【教學建議】這個問題本身并不難，但由于是實際問題，設計的數量單位比較多，學生可能不熟悉。教學中教師要注意引導。另外第（1）問由學生自己選用字母進行表示，教師要給予肯定。
旨在發展學生數學表示的能力，如用字母表示變量、把語言表示轉化為關系式等。同時也有關注發展學生社會責任感的目的。
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.到今天為止我們一共學了幾種方法來表示自變量與因變量之間的關系？2.列表與列關系式表示變量之間的關系各有什么特點？
教學步驟 師生活動
【知識結構】【作業布置】1.教材P155習題6.3第1，2，3題。2.相應課時訓練。
板書設計 3 用關系式表示變量之間的關系1.用關系式表示變量之間的關系。2.用關系式和用表格表示變量之間的關系的區別與聯系。
教學反思 本節課是建立在學生已理解了變量、自變量、因變量的意義和體會到了因變量是隨自變量變化而變化的基礎上進行的。通過對三角形面積的變化問題和圓錐體積的變化問題探究變量間的變化規律可用關系式來表達，運用關系式可以描述自變量和因變量具體變化的情況。整個過程中滲透了函數的思想，讓學生體會到變量與變量之間的相互依賴關系是生活中廣泛存在的。
解題大招一 根據關系式求值
已知自變量的值利用關系式求因變量的值實質是求代數式的值，已知因變量的值利用關系式求自變量的值實質是解方程。正確書寫關系式并準確代入求值是解題的關鍵。
例1 根據如圖所示的計算程序，若輸入x的值為8，則輸出y的值為 3 。
例2 如果用C(單位:℃)表示攝氏溫度，F（單位：℉）表示華氏溫度，那么C與F之間的關系式為C=（F-32），試分別求：
（1）當F=68℉和F=-4℉時，C的值；
（2）當C=10℃時，F的值。
解：（1）當F=68℉時，C=×（68-32）=20(℃)；當F=-4?時，C=×（-4-32）=-20(℃)。
（2）當C=10℃時，（F-32）=10，解得F=50℉。
解題大招二 用關系式表示變量之間的關系
寫關系式的關鍵是找準兩變量間的數量關系。
（1）利用公式寫出變量之間的關系式，如三角形的面積公式；
（2）根據表格中所列的數據寫出變量之間的關系式；
（3）根據實際問題中的基本數量關系寫出變量之間的關系式。
例3 “五一”小長假期間，小天和父母一起開車到距家220km的景點旅游，出發前，汽車油箱內儲油45L，當行駛了180km時，發現油箱余油量為27L（假設行駛過程中汽車的耗油量是均勻的）。
（1）求該車平均每千米的耗油量；
（2）寫出油箱余油量Q（單位：L）與行駛路程x（單位：km）之間的關系式；
（3）當油箱中余油量低于3L時，汽車將自動報警，如果往返途中不加油，他們能否在汽車報警前沿原路返回到家？請說明理由。
解：（1）（45-27）÷180=0.1（L/km）。
答：該車平均每千米耗油0.1L。
（2）Q=45-0.1x。
（3）不能。理由：來回的路程為220×2=440（km），由（2）知當x=440時，Q=45-0.1×440=1。因為1＜3，
所以他們不能在汽車報警前沿原路返回到家。
例4 如圖，平行四邊形ABCD底邊BC上的高為6cm，當邊DC向右平移時，平行四邊形的面積發生了變化。
（1）這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？
（2）如果底邊BC的長為x（單位：cm），那么平行四邊形的面積y（單位：cm2）如何表示？
（3）當底邊BC的長從12cm增加到20cm時，平行四邊形ABCD的面積增加了多少？
解：（1）自變量是邊BC的長，因變量是平行四邊形的面積。
（2）y=6x。
（3）平行四邊形ABCD的面積增加了6×（20-12）=48（cm2）。
培優點 根據規律列關系式解決問題
例 將長為20cm，寬為8cm的長方形白紙按如圖所示的方式黏合起來，黏合部分的寬為3cm。
（1）根據題意，將下面的表格補充完整：
（2）直接寫出用x表示y的關系式： y=17x+3 。
（3）要使黏合后的總長度為1006cm，需用多少張這樣的白紙
解：當y=1006時，17x+3=1006，解得x=59。
所以要使黏合后的總長度為1006cm，需用59張這樣的白紙。

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