資源簡介

第3課時 完全平方公式的認識
教學目標
課題 第3課時 完全平方公式的認識 授課人
素養目標 1.經歷探索完全平方公式的過程，進一步發展學生的符號意識和推理能力。2.理解乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2，能利用公式進行簡單的計算。3.了解乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的幾何背景，能利用公式進行簡單的推理，發展幾何直觀感知能力。
教學重點 運用完全平方公式進行簡單的計算。
教學難點 完全平方公式的推導過程，通過圖形拼接驗證完全平方公式。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：舊知回顧，問題導入 【問題引入】問題1 多項式與多項式相乘的運算法則是什么？多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。問題2 由下面的兩個圖形你能得到哪個公式？平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。問題3 平方差公式的結構特點是什么？左邊是兩個二項式的乘積，即兩數和與這兩數差的積；右邊是兩數的平方差。 【教學建議】本節課的教學環節和形式與平方差公式類似，引導學生復習舊知利于類比開展關于完全平方公式的幾何解釋與公式結構方面的探討。組織學生代表回答問題，在進入正課前務必對舊知領悟透徹，不留盲區。
設計意圖
利用舊知鋪墊，類比平方差公式的學習為進入新課做好理論準備。
活動二：交流合作，探究新知 探究點 完全平方公式問題1 說說你將如何計算下列各式，然后計算它們的結果：(1)(m+3)2；(2)(2+3x)2。用多項式與多項式相乘的運算法則進行計算：（1）原式=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2·3m+9=m2+6m+9；（2）原式=(2+3x)(2+3x)=22+2·3x+2·3x+9x2=4+2·2·3x+9x2=4+12x+9x2。問題2 觀察以上算式及其運算結果，你有什么發現？用自己的語言敘述一下。兩個數的和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍。 【教學建議】完全平方公式是多項式乘法運算的一種特殊情況，與引入平方差公式的想法一樣，對比等式兩邊代數式的結構，得到一般性的結論。引導學生分析
設計意圖
讓學生經歷完全平方公式的推導過程，通過觀察、對
教學步驟 師生活動
比、分析得到公式的結構特征，歸納出完全平方公式，再借助幾何圖形對公式進行驗證，最后通過例題訓練學生正確應用公式進行計算。 問題3 你能用字母表示你發現的規律嗎？并驗證。(a+b)2=a2+2ab+b2。驗證：(a+b)2=（a+b）(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。問題4你能用右圖解釋你之前發現的規律嗎？大正方形的面積為（a+b）2，兩個小正方形的面積分別為a2，b2，兩個小長方形的面積相等，均為ab，根據大正方形的面積=兩個小正方形的面積和+兩個小長方形的面積和，可得（a+b）2=a2+2ab+b2。問題5 如何計算（a-b）2？并用你自己的語言敘述一下得到的式子。(a-b)2=（a-b）(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。兩個數的差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍。問題6 請你仿照問題4，設計一個圖形解釋你在問題5得到的式子。如圖，大正方形的面積為a2，左上角小正方形的面積為（a-b）2，右上角小長方形的面積為b（a-b），下方大長方形的面積為ab，根據左上角小正方形的面積=大正方形的面積-右上方小長方形的面積-下方大長方形的面積，可得（a-b）2=a2-b（a-b）-ab=a2-2ab+b2。例1 （教材P21例5）利用完全平方公式計算：(1)(2x-3)2；（2）(4x+5y)2； 其結構特征：（1）公式有兩個，左邊都是二項式的平方，僅就中間的符號不同；（2)積為二次三項式；（3）積中的兩項為兩數的平方；（4）另一項是兩數積的2倍，且與原式中間的符號相同；（5）公式中的字母a，b可以表示單項式和多項式。【教學建議】在學習(a-b)2=a2-2ab+b2時，要類比“兩數和”的情況，讓學生從代數運算和幾何圖形兩個角度來進行推導，從而讓學生經歷代數運算到幾何解釋的過程，使學生的數形結合意識得以培養。
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(3)(mn-a)2。解：(mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2。問題7 回顧借助幾何圖形解釋或分析問題的過程，對于形與數的聯系，你有哪些感悟？借助幾何圖形解釋驗證平方差公式和完全平方公式，是數形結合思想的直觀體現，說明代數運算可以具備幾何背景，另一方面研究圖形也隱含了代數運算，兩者相輔相成，能夠相互轉化。數形結合可以更加了解本質特征，在今后的學習中應更多從這兩個方面著手，類比學習。【對應訓練】教材P21隨堂練習第1，2題。 【教學建議】教師通過例題使學生理解公式的結構特征，a和b分別表示什么？經過思考和討論讓學生探究并建構自己的知識結構，學會運用公式。
活動三：變式訓練，鞏固提升 例 已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值。解：因為x+y=8，xy=12，所以x2+y2=(x+y)2-2xy=82-2×12=64-24=40。【對應訓練】已知ab=3，a-b=4，求2a2+7ab+2b2的值。解：a2+b2=(a-b)2+2ab=42+2×3=22，2a2+7ab+2b2=2(a2+b2)+7ab=2×22+7×3=44+21=65。 【教學建議】完全平方公式有一些常見變形：如a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab等等，遇到求值類問題時常需要進行此類變形，再代入運算。
設計意圖
鞏固對完全平方公式的理解和加強公式的運用。
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.你能用字母表達完全平方公式嗎？能用它進行簡單的計算嗎？2.通過這節課你了解完全平方公式的幾何背景了嗎？能用圖形拼接的方法驗證完全平方公式嗎？【知識結構】【作業布置】1.教材P25習題1.3第3，4，9，11，13題。2.相應課時訓練。
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板書設計 第3課時 完全平方公式的認識1.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，語言描述：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍。2.利用圖形驗證完全平方公式：原理——面積相等。
教學反思 本節課是整章中的重點，它是多項式乘法特殊形式下的一種簡便運算。學生需要熟練掌握公式兩種形式的使用方法，以提高運算速度。在教學過程中，應注重引導學生歸納公式的等號兩邊的結構特征，同時跟學生強調在運用公式過程中容易出現的問題和需注意的細節，通過逐層深入的練習，鞏固完全平方公式兩種形式的應用，為下節課的實際應用和提高應用做好充分的準備。
解題大招一 利用完全平方公式進行計算
利用完全平方公式進行整式計算的基本步驟：①確定公式中的a，b；②確定和差關系；③選擇公式；④計算結果。
由于公式中的a，b可以是多項式，所以求三項或更多項式的平方時需注意利用整體思想求解。
解題大招二 利用拼圖法進行代數推理
利用圖形來推導驗證等式的關鍵是將同一部分圖形的面積用不同的方法表示，由于拼接前后的圖形形狀不一致，所以面積會有不同的求法，但無論形狀如何變化，面積是不變的。
例2 如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成如圖②的正方形。
培優點 與完全平方公式有關的規律探究題
對于探索規律型問題，一般先從題目所給的幾個等式入手，觀察其中的規律，再得到一般性的結論，必要的時候需要驗證其正確性。

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