資源簡(jiǎn)介

第二章 相交線與平行線
1 兩條直線的位置關(guān)系
第1課時(shí) 對(duì)頂角、補(bǔ)角和余角
教學(xué)目標(biāo)
課題 第1課時(shí)對(duì)頂角、補(bǔ)角和余角 授課人
素養(yǎng)目標(biāo) 1.初步理解平行線、對(duì)頂角、補(bǔ)角、余角的概念。2.會(huì)根據(jù)平行線、對(duì)頂角、補(bǔ)角、余角的概念去識(shí)別相應(yīng)的圖形。3.探索并掌握對(duì)頂角、補(bǔ)角和余角的性質(zhì)，并能運(yùn)用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
教學(xué)重點(diǎn) 對(duì)頂角、補(bǔ)角和余角的概念和性質(zhì)。
教學(xué)難點(diǎn) 通過(guò)簡(jiǎn)單的推理，歸納出補(bǔ)角、余角的性質(zhì)，并能用規(guī)范的語(yǔ)言描述其性質(zhì)。
教學(xué)活動(dòng)
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 【情境導(dǎo)入】1.雙杠的兩個(gè)握杠給我們什么印象？哪些地方也給我們這種印象？2.墻上的掛鉤和剪刀給我們什么印象？哪些地方也給我們這種印象？下面就讓我們一起進(jìn)入今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)！ 【教學(xué)建議】教師讓學(xué)生同桌之間互相交流，然后請(qǐng)學(xué)生代表發(fā)言。
設(shè)計(jì)意圖
借助生活中常見(jiàn)之物，讓學(xué)生形成平行和相交的印象，從而引出新課。
活動(dòng)二：實(shí)踐探究，獲取新知 探究點(diǎn)1 相交線和平行線問(wèn)題1 觀察活動(dòng)一圖片中老師所描的直線，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn) 這些線有些是平行的，還有些是相交的。問(wèn)題2 我們?cè)谄吣昙?jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了直線和直線的表示方法，請(qǐng)?jiān)诩埳袭?huà)兩條直線，并用字母表示。并與同伴交流你們畫(huà)的兩條直線有什么樣的位置關(guān)系。（可請(qǐng)幾位同學(xué)在黑板上面畫(huà)） 【教學(xué)建議】教師注意提醒學(xué)生：平行線的定義包含三層意思：（1）“在同一平面內(nèi)”是前提條件；（2）“不相交”就是說(shuō)兩條直線沒(méi)有
設(shè)計(jì)意圖
通過(guò)讓學(xué)生自己操作，在自主探究的過(guò)程中獲取新知。
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
問(wèn)題3 以上這些同學(xué)所畫(huà)直線的位置關(guān)系可以分為幾類(lèi) 下圖中的直線a，b真的是既不相交，又不平行嗎 由學(xué)生交流，學(xué)生代表回答。教師總結(jié)：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種。概念引入：若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱(chēng)這兩條直線為相交線。在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線。例 下列哪些說(shuō)法是正確的？①兩條不相交的直線一定相互平行；②在同一平面內(nèi)，兩條不平行的直線一定相交；③在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段一定平行；④在同一平面內(nèi)，兩條不相交的射線互相平行。分析：解：②是正確的。【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】下列說(shuō)法中，正確的有 （2）（4） 。（1）在同一平面內(nèi)不相交的兩條線段必平行（2）在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線必平行（3）在同一平面內(nèi)不平行的兩條線段必相交（4）在同一平面內(nèi)不平行的兩條直線必相交 交點(diǎn)；（3）平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或兩條線段。
設(shè)計(jì)意圖 探究點(diǎn)2 三角形內(nèi)角和如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O。問(wèn)題1∠1和∠2的位置有什么關(guān)系？（1）∠1和∠2有公共頂點(diǎn)O；（2）它們兩邊互為反向延長(zhǎng)線。概念引入：有公共頂點(diǎn)，兩邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫作對(duì)頂角。問(wèn)題2 猜想∠1和∠2的大小有什么關(guān)系？你能說(shuō)明理由嗎？∠1=∠2。理由：直線AB與CD相交于點(diǎn)O，由平角的定義，可得∠1+∠3=180°， 【教學(xué)建議】這里對(duì)頂角的定義只要學(xué)生能用自己的語(yǔ)言表述就行，如果有學(xué)生不明白“反向延長(zhǎng)線”的意思，教師可以結(jié)合具體圖形加以說(shuō)明。
引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩方面探究對(duì)頂角。
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設(shè)計(jì)意圖 ∠2+∠3=180°，所以∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3，所以∠1=∠2。師生共同歸納對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。問(wèn)題3 上圖中還有其他的角也構(gòu)成對(duì)頂角嗎？如果有，它們之間的大小關(guān)系如何？還有∠3和∠4，∠3=∠4。【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1.下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是圖（ D ）。2.教材P36隨堂練習(xí)。 【教學(xué)建議】教師可提示學(xué)生：1.形成對(duì)頂角的前提是兩直線相交。2.對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，不能說(shuō)一個(gè)角是對(duì)頂角。3.對(duì)頂角不僅反映兩角相等的數(shù)量關(guān)系，還反映兩角的位置關(guān)系。
使學(xué)生學(xué)會(huì)用一定的方式有條理地表達(dá)推理過(guò)程，為今后的幾何證明打下基礎(chǔ)。
設(shè)計(jì)意圖 探究點(diǎn)3 補(bǔ)角和余角的概念和性質(zhì)思考1 下圖中，AB與CD相交于點(diǎn)O，則∠1與∠3有什么數(shù)量關(guān)系？∠1+∠3=180°。概念引入：如果兩個(gè)角的和是180°，那么稱(chēng)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。如圖①中，我們可說(shuō)∠1是∠3的補(bǔ)角或∠3是∠1的補(bǔ)角。追問(wèn) 思考1圖中還有其他的角也構(gòu)成互為補(bǔ)角的關(guān)系嗎？∠1與∠4，∠2與∠3，∠2與∠4也構(gòu)成互為補(bǔ)角的關(guān)系。思考2 下圖中∠1與∠2有什么數(shù)量關(guān)系？∠1+∠2=90°。概念引入：如果兩個(gè)角的和是90°，那么稱(chēng)這兩個(gè)角互為余角。 【教學(xué)建議】教師提醒：1.補(bǔ)角與余角是針對(duì)兩個(gè)角而言，并且是相互的。2.互為補(bǔ)角、互為余角的兩個(gè)角，只與它們的大小有關(guān)，與它們的位置無(wú)關(guān)。3.同一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角大90°。4.互為余角的兩個(gè)角必須是兩個(gè)銳角，而互為補(bǔ)角的兩個(gè)角可以是一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，也可以是兩個(gè)直角。
由學(xué)生觀察圖形引出補(bǔ)角和余角的概念，再用例題檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)概念的掌握，并進(jìn)一步讓學(xué)生經(jīng)歷補(bǔ)角和余角性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程，加深對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言表達(dá)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能
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力，最后滲透對(duì)幾何語(yǔ)言的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。 如思考2圖中，我們可說(shuō)∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。例 （教材P35思考·交流）如圖①，打臺(tái)球時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)姆较蛴冒浊驌舸蚣t球，反彈后的紅球會(huì)直接入袋，此時(shí)∠1=∠2。將圖①簡(jiǎn)化為圖②，ON與DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。（1）請(qǐng)?jiān)趫D②中找出互為補(bǔ)角和互為余角的角，并說(shuō)說(shuō)你的理由。（2）∠3與∠4的大小有什么關(guān)系？∠AOC與∠BOD呢？你能說(shuō)明理由嗎？與同伴進(jìn)行交流。理由由學(xué)生來(lái)說(shuō)。同理，我們也可以得到同角的余角相等，同角的補(bǔ)角相等。教師歸納余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補(bǔ)角相等。【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1.若∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，則∠A=∠C，理由是 同角的補(bǔ)角相等 。2.已知∠1=40°，∠2是∠1的余角，∠3是∠2的補(bǔ)角，則∠3的度數(shù)為 130°。
活動(dòng)三：典例精講，升華提高 例 如圖，兩條直線相交于點(diǎn)O，若∠1+∠2=80°，求∠3的度數(shù)。解：因?yàn)椤?與∠2是對(duì)頂角，所以∠1=∠2。因?yàn)椤?+∠2=80°，所以∠1=∠2=40°。因?yàn)椤?+∠3=180°，所以∠3=180°-40°=140°。
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設(shè)計(jì)意圖 【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，∠1=40°，∠BOC=110°，求∠2的度數(shù)。答案：∠2的度數(shù)為70°。 【教學(xué)建議】這類(lèi)計(jì)算一般不難，可由學(xué)生代表回答解題思路，教師予以引導(dǎo)。
對(duì)對(duì)頂角性質(zhì)的鞏固和應(yīng)用。
活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié) 【隨堂訓(xùn)練】相應(yīng)練習(xí)。【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.什么是相交線？什么是平行線？2.什么是對(duì)頂角？對(duì)頂角有什么性質(zhì)？3.補(bǔ)角和余角的概念和性質(zhì)分別是什么？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P39～40習(xí)題2.1第1，4，9題。2.相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練。
板書(shū)設(shè)計(jì) 1 兩條直線的位置關(guān)系第1課時(shí) 對(duì)頂角、補(bǔ)角和余角1.相交線與平行線。2.對(duì)頂角。
教學(xué)反思 本節(jié)課上打破以往單純的復(fù)習(xí)舊知的慣例，而以生活中常見(jiàn)的圖片引入，通過(guò)觀察圖片引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)物中抽象出幾何模型，并讓學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)手操作，從中滲透了猜想、驗(yàn)證、歸納等數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生在探究過(guò)程中了解問(wèn)題解決的過(guò)程和方法，在有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，理解數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考。
解題大招一 三角尺中的互余
例1 將一副三角尺按不同位置擺放，下列擺法中∠α與∠β互余的是（ A ）
解析：A擺法中∠α+∠β=180°-90°=90°，所以∠α與∠β互余。B擺法中∠α=∠β，∠α與∠β不一定互余。C擺法中∠α=90°，∠β大于90°，∠α與∠β不互余。D擺法中∠α，∠β都大于90°，∠α與∠β不互余。故選A。
解題大招二 互余和互補(bǔ)的角關(guān)系的綜合
解此類(lèi)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，直接設(shè)未知數(shù)，列一元一次方程求解。
培優(yōu)點(diǎn) 對(duì)頂角與角平分線的綜合應(yīng)用
例 （一題多解）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠DOB，若∠AOC=70°，求∠EOC的度數(shù)。
分析：∠EOC=∠DOC-∠DOE或∠EOC=∠BOC+∠EOB，故有兩種方法求解。
解法一：因?yàn)椤螪OB與∠AOC是對(duì)頂角，
所以∠DOB=∠AOC=70°（對(duì)頂角相等）。
又因?yàn)镺E平分∠DOB，所以∠1=∠DOB=×70°=35°（角平分線的定義）。
所以∠EOC=∠DOC-∠1=180°-35°=145°（平角的定義）。
解法二：因?yàn)椤螪OB與∠AOC是對(duì)頂角，所以∠DOB=∠AOC=70°（對(duì)頂角相等）。
又因?yàn)镺E平分∠DOB，
所以∠2=∠DOB=×70°=35°（角平分線的定義）。
又因?yàn)椤?=∠AOB-∠AOC=180°-70°=110°（平角的定義），
所以∠EOC=∠2+∠3=35°+110°=145°。
方法總結(jié) 在圖形中識(shí)別對(duì)頂角，利用對(duì)頂角相等，角平分線分得的兩個(gè)角相等，平角及角的和、差關(guān)系找到角的等量關(guān)系，然后利用已知條件和圖形語(yǔ)言把角相互轉(zhuǎn)化，從而得到解題的方法。

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