資源簡介

第2課時 垂直
教學目標
課題 第2課時 垂直 授課人
素養目標 1.理解垂線、垂線段的概念，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線、垂線段。2.掌握垂直的概念，能根據垂直求出角的度數。3.掌握垂線、垂線段的性質，理解點到直線的距離，會判斷圖形中點到直線的距離，并會利用所學知識進行簡單的推理。
教學重點 垂線的性質及點到直線的距離的定義。
教學難點 應用垂線的性質解決實際問題。
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：回顧導入，引出新課 【回顧引入】問題1 同一平面內的兩條直線有哪些位置關系 你能找到生活中的一些實例嗎 平行或相交。如圖。問題2 同一平面內的兩條直線相交，一條直線不動，另一條直線轉動時，觀察特殊的位置關系。轉到這里兩條直線是什么關系呢？下面就讓我們一起進入今天這節課—垂直的學習！ 【教學建議】問題1由學生思考后與同伴交流，教師可請學生代表發言。問題2教師可通過課件或學具動態研究兩直線相交成一定角度直到垂直的過程，從而給學生直觀的印象。
設計意圖
通過回顧同一平面內的兩條直線的位置關系，得出相交時兩直線的特殊關系——垂直，從而引出新課。
活動二：操作探究，獲取新知 探究點1 垂直的定義及表示問題1 觀察下面圖片，你能找出其中相交的線嗎？它們有什么特殊的位置關系？學生自由回答。 【教學建議】教師需提醒學生注意：1.兩條線段互相垂直是指這兩條線段所在
設計意圖
從觀察生活中的圖片入手，引出兩條
教學步驟 師生活動
直線互相垂直的符號表示，再用例題和對應訓練強化對垂直定義的理解。 概念引入：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足。問題2 如何表示兩條直線互相垂直呢？通常用符號“⊥”表示兩條直線互相垂直。如圖①，直線AB與直線CD垂直，記作AB⊥CD。其中，點O是垂足。如圖②，直線l與直線m垂直，記作l⊥m。其中，點O是垂足。追問 將圖①中的信息轉化為幾何語言是什么呢？所以，垂直的定義既是垂直的性質也是垂直的判定。例 （教材P37思考·交流）（1）如圖，O為直線AB上一點，∠AOC=∠BOC，那么OC與AB垂直嗎 為什么 （2）以下是小穎的思考過程，她的想法正確嗎 你知道她每一步的依據嗎 與同伴進行交流。（3）如果OC⊥AB那么∠AOC=∠BOC嗎 為什么 與同伴進行交流。解：（1）由學生自由作答。（2）小穎的思考過程是正確的。由∠AOC=∠BOC（已知），且∠AOC+∠BOC=180°（平角的定義），可得∠AOC=∠BOC=90°（等量代換），所以OC⊥AB（垂直的定義）。（3）因為OC⊥AB，所以∠AOC=90°，∠BOC=90°（垂直的定義）。所以∠AOC=∠BOC。 的直線互相垂直。2.問題2圖①的兩條互相垂直的直線，一條是水平的，另一條是鉛直的，而圖②中的兩條互相垂直的直線，既沒有水平的也沒有鉛直的，目的是突出兩條直線互相垂直概念中“相交成直角”這個關鍵，避免學生對垂直的位置關系的認識產生誤解。另外，①②兩幅圖分別對應直線的兩種表示方法（大寫字母與小寫字母）。【教學建議】教師可總結：判斷兩直線（線段、射線所在直線）互相垂直，主要依據是垂直定義，只要說明兩條相交直線所構成的四個角中有一個角是直角即可。
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【對應訓練】如圖，AB⊥CD，垂足為O，∠COF=56°，求∠AOE的度數。解：因為AB⊥CD（已知），所以∠COB=90°（垂直的定義）。所以∠BOF=∠COB-∠COF=90°-56°=34°。所以∠AOE=∠BOF=34°（對頂角相等）。
設計意圖 探究點2 垂線的畫法問題1 問題1你能用折疊的方法折出互相垂直的直線嗎？試試看。由學生分小組討論，自由發揮。教師提供參考方法。用下面的方法可以折出互相垂直的線。問題2 如果只用直尺，你能畫出圖方格紙上已知直線的垂線嗎？你還能再畫出兩條互相垂直的直線嗎？由學生思考后，教師請代表在黑板上畫。【對應訓練】教材P39隨堂練習第2題。 【教學建議】有兩點需要注意：一是折痕要清晰；二是要保證①中折出的折痕在第②步中相互重合，以確保把平角二等分為兩個直角，得到相互垂直的兩條折痕。在學生操作時，教師要引導學生進行思考、分析，為進一步學習積累數學活動經驗。
通過折、畫等活動，進一步豐富對兩條直線互相垂直的認識。讓學生經歷思考、實踐、猜想、動手驗證等過程，不僅加深對“垂直”的理解，而且感受到“做數學”的樂趣，從而享受到成功的喜悅。
設計意圖 探究點3 垂線段的性質及點到直線的距離Ⅰ. 垂線段的性質問題1 如圖，點A在直線l上，你能用三角尺過點A畫直線l的垂線嗎？
通過操作活動，探索并了解
教學步驟 師生活動
有關兩條直線互相垂直的一些性質以及點到直線的距離。 追問 你能畫出多少條？一條。問題2 如果點A在直線l外呢？你是怎樣做的？與同伴進行交流。追問 你能畫出多少條？一條。師生共同總結：同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。Ⅱ.點到直線的距離問題3 如圖，點P是直線l外一點，PO⊥l，點O是垂足。點A，B，C在直線l上，比較線段PO，PA，PB，PC的長短，你發現了什么？學生有可能會拿尺量線段之后比較線段的大小，教師可追問：①線段PO，PA，PB，PC誰最短？線段PO最短。②你能用一句話表示這個結論嗎？直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。概念引入：如圖，過點A作直線l的垂線，垂足為B，線段AB的長度叫作點A到直線l的距離。問題4 在問題3中，哪條線段的長度可以表示點P到直線l的距離？線段PO。【對應訓練】教材P38～39隨堂練習第1，3題。 【教學建議】教師需先讓學生思考，在紙上操作后再與同伴交流。教師講解的時候可邊演示邊提示畫法：一放、二靠、三移、四畫。
教學步驟 師生活動
活動三：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應練習。【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是兩條直線互相垂直？垂足是什么？2.數學中如何表示兩條直線互相垂直？3.網格圖中如何畫兩條互相垂直的直線？4.如何過一點畫已知直線的垂線？垂線的性質有哪些？5.什么是點到直線的距離？【知識結構】【作業布置】1.教材P39～40習題2.1第2，3，5，6，7，8題。2.相應課時訓練。
板書設計 第2課時 垂直1.認識生活中的垂直。2.垂直有關概念。3.垂線的畫法。4.垂線的性質。5.點到直線的距離。
教學反思 本節課通過復習兩條直線的位置關系，為學習直線的垂直做鋪墊。設置了動手操作的探究活動，在活動中讓學生感知兩條直線相互垂直的位置關系，讓學生在輕松、愉快中自然地得到垂直的定義。教學中鼓勵學生大膽探索新穎獨特的解題思路和解題方法，提倡解題方法的多樣性，并引導學生在與他人的交流中比較解題方法的異同，有利于提高學生的邏輯思維水平。
解題大招一 判斷兩直線的位置關系
若兩直線相交，只需要求這兩條直線相交所成的角的度數為90°，即可判斷這兩條直線垂直。
例1 如圖，O為直線AB上一點，∠AOD∶∠BOD=3∶1，OD平分∠BOC，試判斷AB與OC的位置關系。
分析：由∠AOD∶∠BOD=3∶1，可得∠BOD=45°。又由OD平分∠BOC，可得∠BOC=2∠BOD=90°，故OC⊥AB。
解：因為∠AOD∶∠BOD=3∶1，∠AOD+∠BOD=180°，
所以∠BOD=×180°=45°。
因為OD平分∠BOC，
所以∠BOC=2∠BOD=90°，
所以OC⊥AB。
解題大招二 利用垂直的定義求角的度數
當題目中出現兩條直線垂直時，要注意這兩條直線相交所成的四個角都是直角。
例2 如圖，直線AB，CD相交于點O，OF⊥CD，垂足為O，且OF平分∠AOE。若∠BOD=20°，求∠EOF的大小。
分析：根據對頂角相等求出∠AOC的度數，根據垂直求出∠AOF的度數，根據角平分線的定義即可求出答案。
解：因為∠BOD=20°，所以∠AOC=∠BOD=20°。
因為OF⊥CD，所以∠COF=90°。
所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-20°=70°。
因為OF平分∠AOE，所以∠EOF=∠AOF=70°。
培優點 垂線性質的應用
例 如圖，一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，M，N分別是位于公路兩側的村莊。
（1）設汽車行駛到公路AB上點P的位置時，距離村莊M最近；行駛到點Q的位置時，距離村莊N最近。請在圖中的公路AB上分別作出點P和點Q。
（2）當汽車從A出發向B行駛時，在公路AB的哪一段路上距離M，N兩村莊都越來越近 在哪一段路上距離村莊N越來越近，而距離村莊M越來越遠 （分別用文字表述你的結論）
分析：根據直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，分別過點M，N作直線AB的垂線段，垂足即為P，Q。把汽車看做一點（它是一個動點），汽車與點M的距離，汽車與點N的距離就是兩點間的距離。
解：（1）過點M作MP⊥AB，垂足為P，過點N作NQ⊥AB，垂足為Q，點P，Q就是要作的兩點（如圖所示）。
（2）當汽車從A向B行駛時，在AP這段路上時，汽車距離M,N兩村莊都越來越近；在PQ這段路上時，汽車距離村莊N越來越近，距離村莊M越來越遠。

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