資源簡介

/ 讓教學更有效 高效備課 | 數學學科
7.3定義、命題、定理 教學設計
一、內容和內容解析
1.內容
本節課是人教版《義務教育教科書 數學》七年級下冊（以下統稱“教材”）第七章“相交線與平行線”7.3定義、命題、定理，內容包括：通過具體實例，了解定義、命題、定理的意義；結合具體實例，會區分命題的題設和結論；知道證明的意義和證明的必要性；會用綜合法的證明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的．
2.內容解析
本節課從以往的學習內容出發，指出了數學對象的定義和命題的概念，包括命題的結構和命題的真假；再從真命題出發，指出了定理和證明的概念，并以“在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條”為例，呈現了一個完整的用符號語言表述的證明過程，來說明什么是證明．并結合一個反例，說明“相等的角是對頂角”是假命題，讓學生理解通過反例判斷假命題的方法．
基于以上分析，確定本節課的教學重點為：對命題結構的認識和理解證明要步步有據.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）通過具體實例，了解定義、命題、定理的意義；結合具體實例，會區分命題的題設和結論.
（2）知道證明的意義和證明的必要性；知道數學思維要合乎邏輯；會用綜合法的證明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的．
（3）經歷幾何命題的證明過程，增強推理能力，會用數學的思維思考現實世界；經歷確立幾何命題的過程，體會數學命題中條件和結論的表述，感悟數學表達的準確性和嚴謹性，會用數學的語言表達現實世界．
2.目標解析
（1）從學生以往的學習內容出發，引導學生觀察、分析，歸納出定義和命題的特征，通過對不同命題的分析，讓學生準確指出題設和結論，加深對命題結構的理解，為后續學習命題的真假判斷和證明奠定基礎.
（2）以簡單的幾何命題證明為例，詳細講解綜合法的證明格式，從題設出發，一步步推導出結論，使學生理解證明的邏輯過程和書寫規范.同時，通過給出一些假命題，讓學生尋找反例，明白反例在判斷命題真假中的作用，培養學生嚴謹的思維習慣.
（3）通過鞏固練習讓學生經歷完整的證明過程，從已知條件出發，運用已學的定理、定義進行推理，逐步提升學生的邏輯推理能力.在命題的提出和證明過程中，引導學生用準確、精煉的數學語言進行表述，強化學生數學語言表達能力，體會數學與現實世界的聯系，學會用數學思維解決實際問題.
三、教學問題診斷分析
1.證明思路的構建：在證明過程中，學生往往難以從已知條件出發，找到合適的定理和方法來推導結論，缺乏邏輯推理的方向感.尤其是對于較為復雜的幾何圖形，學生可能無法準確識別圖形中的隱含條件和等量關系，導致證明過程中斷.
2.反例的構造：對于假命題，學生可能不知道如何快速、有效地構造反例，缺乏對反例本質的理解，即找到滿足題設但不滿足結論的具體情況.
基于以上分析，確定本節課的教學難點為：掌握綜合法證明的邏輯順序和方法，能夠清晰、嚴謹地進行書面證明表達.
四、教學過程設計
（一）復習引入
問題 根據以往學過的內容填空.
（1）規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸；
（2）使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫作方程的解；
（3）從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線叫作這個角的平分線；
（4）直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離.
這樣的描述稱為數學對象的定義.它揭示了數學對象的本質特征.
追問 你能再舉出一些學過的定義的例子嗎？
（1）一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫作數a的絕對值.
（2）求幾個相同乘數的積的運算，叫作乘方，乘方的結果叫作冪.
（3）由數或字母的積組成的代數式，叫作單項式.
（4）含有未知數的等式叫作方程.
（5）有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角.
（6）兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線.
設計意圖：讓學生舉出一些學過的定義的例子，能促使學生進一步理解定義所揭示的數學對象的本質屬性，強化對定義概念的認識.同時，舉例的過程是對已學知識的一次回顧和鞏固.學生所舉的例子也是教師了解學生對定義掌握程度的一個重要依據.
（二）合作探究
探究1 判斷下列語句是否正確.
（1）等式兩邊加同一個數，結果仍相等；（√）
（2）對頂角相等；（√）
（3）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（√）
（4）兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補；（√）
（5）如果一個數能被2整除，那么它也能被4整除.（×）
像這樣可以判斷為正確(或真)或錯誤(或假)的陳述語句叫作命題.
被判斷為正確(或真)的命題叫作真命題，被判斷為錯誤(或假)的命題叫作假命題.
追問1 判斷下列語句是不是命題，如果是，請判斷它們的真假.
（1）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.（真命題）
（2）取線段AB的中點C.（不是命題）
（3）如果兩個角互補，那么它們是鄰補角.（假命題）
（4）兩點確定一條直線.（真命題）
（5）當直線a，b不相交時，我們說直線a與b互相平行.（假命題）
（6）過直線外一點作已知直線的垂線.（不是命題）
（7）對頂角相等嗎？（不是命題）
追問2 你能再舉出一些學過的真命題的例子嗎？
（1）互為相反數的兩個數相加得0.
（2）兩點之間，線段最短.
（3）在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
（4）同位角相等，兩直線平行.
（5）兩直線平行，內錯角相等.
......
探究2 請同學們觀察下列命題，并思考命題是由幾部分組成的.與同伴交流.
（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；
（2）如果一個數能被2整除，那么它也能被4整除；
（3）兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補；
（4）同位角相等，兩直線平行.
（5）如果兩個角互補，那么它們是鄰補角.
數學中的命題常可以寫成“如果......那么......”的形式.命題由題設和結論兩部分組成.
“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論.
探究2 你能將下列命題寫成“如果+題設，那么+結論”的形式嗎？
（1）等式兩邊加同一個數，結果仍相等；
（2）對頂角相等；
（3）互為相反數的兩個數的絕對值相等；
（4）絕對值相等的兩個數互為相反數；
（5）兩直線平行，內錯角相等.
改寫后：
（1）如果在一個等式的兩邊加上同一個數，那么所得的結果仍相等；（真命題）
（2）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；（真命題）
（3）如果兩個數互為相反數，那么這兩個數的絕對值相等；（真命題）
（4）如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數互為相反數；（假命題）
（5）如果兩條直線平行，那么內錯角相等.（真命題）
追問 從題設和結論的角度，如何理解真命題和假命題？
如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題就是真命題.
如果題設成立，不能保證結論一定成立，這樣的命題就是假命題.
鞏固練習：指出下列命題的題設和結論.
（1）若a=b，則5a=5b.
（2）如果AB⊥CD，垂足為O，那么∠AOC=90°.
（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.
（4）兩直線平行，同位角相等.
探究3 下列真命題，它們的正確性是經過推理證實的嗎？
（1）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；（關于平行線的基本事實）
（2）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（經過推理證實）
（3）同位角相等，兩直線平行；（判定兩條直線平行的基本事實）
（4）內錯角相等，兩直線平行.（經過推理證實）
(1)(3)的正確性是經過長期實踐和驗證，被公認為正確且無需證明的，這樣的真命題叫作基本事實.基本事實是推理的原始依據.
(2)(4)的正確性是經過推理證實的，這樣的真命題叫作定理.定理也可以作為繼續推理的依據.
追問 你能再舉出一些學過的基本事實和定理的例子嗎？
基本事實：
（1）等式兩邊可以交換.
（2）相等關系可以傳遞.
（3）兩點確定一條直線.
（4）兩點之間線段最短.
（5）同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知 直線垂直.
......
定理：
（1）同角(等角)的余角相等.
（2）同角(等角)的補角相等.
（3）對頂角相等.
（4）同旁內角互補，兩直線平行.
（5）兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等.
......
在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能做出判斷，這個推理過程叫作證明.
設計意圖：理解命題的結構有助于學生搭建起推理證明的邏輯框架.題設為學生提供了推理的出發點和依據，結論則明確了推理的方向和終點，使學生在進行推理證明時能夠有條不紊地組織思路，避免盲目猜測和無目的的嘗試，從而更高效地完成證明過程.
（三）典例分析
例1 證明命題：“在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條”.
轉化 自然語言→符號語言
如圖，已知直線a⊥b，b∥c.求證a⊥c.
證明：∵a⊥b（已知），
∴∠1=90°（垂直的定義），
∵b∥c（已知），
∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.
∴∠2=90°（等式的基本事實）.
∴a⊥c（垂直的定義）. 例1圖 例2圖
證明的每一步推理都要有依據，不能想當然. 依據是已知條件、定義、基本事實、定理等.
例2 判斷命題“相等的角是對頂角”的真假，并說明理由.
解：“相等的角是對頂角”是假命題.
反例：如圖，OC是∠AOB的平分線，
∠1=∠2，但它們不是對頂角.
判斷一個命題是錯誤的，只要舉出一個例子(反例)，它符合命題的題設，但不滿足結論就可以了.
設計意圖：推理證明的過程需要學生依據已知條件、定理、定義等，按照一定的邏輯順序進行推導，得出結論.在這個過程中，學生的思維會變得更加嚴謹、有條理，并學會從復雜的問題中梳理出清晰的思路，分析問題和解決問題的能力也會得到提升.
（四）鞏固練習
1. 在下面的括號內填上推理的依據.
如圖，∠A+∠B=180°，求證∠C+∠D=180°.
證明：∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC（同旁內角互補，兩直線平行）.
∴∠C+∠D=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.
2. 命題“同位角相等”是正確的嗎？如果是，說出理由，如果不是，請舉出反例.
解：“同位角相等”是錯誤的.
反例：如圖，∠ABC和∠DEF是同位角，
但它們不相等.
3. 完成下面的證明.
（1）如圖（1），AB∥CD，BC∥ED.求證∠B+∠D=180°.
證明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C (兩直線平行，內錯角相等)，
∵BC∥ED，
∴∠C+∠D=180°(兩直線平行，同旁內角互補).
∴∠B+∠D=180°.
（2）如圖（2），∠ABC=∠A’B’C’，BD，B’D’分別是∠ABC，∠A’B’C’的平分線. 求證∠1=∠2.
證明：∵BD，B’D’分別是∠ABC，∠A’B’C’的平分線，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠A’B’C’(角平分線的定義).
又 ∠ABC=∠A’B’C’，
∴∠ABC=∠A’B’C’，
∴∠1=∠2(等式的基本事實).
4. 完成下面的證明．
如圖，AB∥EF，∠D＝∠E，∠B+∠D＝180°．求證：BC∥DE．
證明：∵∠D＝∠E(已知)；
∴CD∥EF(內錯角相等，兩直線平行)；
∵AB∥EF(已知)；
∴AB∥CD(如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)；
∴∠B＝∠C(兩直線平行，內錯角相等)；
∵∠B+∠D＝180°(已知)；
∴∠C+∠D＝180°(等式的基本事實)；
∴BC∥DE(同旁內角互補，兩直線平行)．
設計意圖：以填空的形式引導學生書寫幾何證明題的過程，相比直接讓學生寫出完整的證明過程，具有降低難度，增強信心，引導思路，規范邏輯，及時反饋，突出重點，加深理解等優勢.
歸納總結
感受中考
1.(2022 梧州、盤錦、綏化)下列命題中，假命題是①⑤.
①﹣2的絕對值是﹣2；
②對頂角相等；
③如果直線a∥c，b∥c，那么直線a∥b；
④經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；
⑤如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角一定相等.
2. (2021 金華)某同學的作業如下框，其中※處填的依據是（C）
A．兩直線平行，內錯角相等 B．內錯角相等，兩直線平行
C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，同旁內角互補
3. （2019 常州）判斷命題“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命題，只需舉出一個反例．反例中的n可以為（A）
A．﹣2 B．﹣1/2 C．0 D．1/2
設計意圖：在學習完知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力.
（七）小結梳理
設計意圖：本節課知識點較多，在小結階段加入思維導圖，可以簡潔明了地將本節課繁多的知識點進行整合，清晰地展示出各個知識點之間的層次關系、邏輯關系和內在聯系，幫助學生將碎片化的知識構建成一個完整的知識體系，使他們對本節課的知識結構有更全面、更深入的理解.
另外，思維導圖的可視化特點更符合大腦的記憶規律，能夠給學生留下更深刻的視覺印象，便于學生更好的記憶和回顧知識.通過圖形和線條的連接，學生可以更直觀地看到知識的脈絡，從而更容易在腦海中形成長期記憶.
（八）布置作業
1.必做題：習題7.3 第1題，第2題.
2.探究性作業：習題7.3 第4題.
五、教學反思
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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