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10.4 三元一次方程組的解法
人教版 數(shù)學(xué) 七年級(jí) 下冊
1.解二元一次方程組有哪幾種方法？
2.解二元一次方程組的基本思路是什么？
二元一次方程組
代入
加減
消元
一元一次方程
化二元為一元
化歸轉(zhuǎn)化思想
代入消元法和加減消元法
消元法
【思考】若含有3個(gè)未知數(shù)的方程組如何求解？
導(dǎo)入新知
1. 了解三元一次方程組的概念.
2. 能解簡單的三元一次方程組，在解的過程中進(jìn)一步體會(huì)“消元”思想.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
3. 會(huì)解較復(fù)雜的三元一次方程組.
問題： 1．題目中有幾個(gè)條件？
2．問題中有幾個(gè)未知量？
3．根據(jù)等量關(guān)系你能列出方程組嗎？
探究新知
知識(shí)點(diǎn) 1
三元一次方程組的概念
在一次足球聯(lián)賽中，一支球隊(duì)共參加了22場比賽，積47分，且勝的場數(shù)比負(fù)的場數(shù)的4倍多2，按照足球聯(lián)賽的積分規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.那么這支球隊(duì)勝、平、負(fù)各多少場？
勝
平
負(fù)
合 計(jì)
0
22
47
勝的場數(shù)比負(fù)的場數(shù)的4倍多2,即x=4z+2
探究新知
比賽結(jié)果
場數(shù)
分?jǐn)?shù)
x
y
z
3x
y
注
分析：在這個(gè)題目中，要我們求的有三個(gè)未知數(shù)，我們自然會(huì)想到設(shè)這個(gè)球隊(duì)勝、平、負(fù)的場數(shù)分別為x，y， z，根據(jù)題意,可以得到下列三個(gè)方程:
x+y+z=22,
3x+y=47,
x=4z+2.
探究新知
對(duì)于這個(gè)問題的解必須同時(shí)滿足上面三個(gè)條件，因此，我們把三個(gè)方程合在一起寫成
這個(gè)方程組中含有 個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是 ，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是 .
探究新知
三
整式
1
含有三個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組．
探究新知
由此，我們得出三元一次方程組的定義
探究新知
下列是三元一次方程組的是(　　)
A.　　　　　 B.
C. 　　　　　 D.
考點(diǎn)1
三元一次方程組的判斷
D
下列方程組不是三元一次方程組的是( )
A.
B.
C.
D.
D
提示： 組成三元一次方程組的三個(gè)一次方程中，不一定要求每一個(gè)一次方程都含有三個(gè)未知數(shù)．
鞏固練習(xí)
類似二元一次方程組的解，三元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫作這個(gè)三元一次方程組的解.
怎樣解三元一次方程組呢？
能不能像以前一樣“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
知識(shí)點(diǎn) 2
探究新知
三元一次方程組的解法
①
②
③
解三元一次方程組
①
②
③
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④
①與④組成方程組
解這個(gè)方程組，得
探究新知
考點(diǎn) 1
三元一次方程組的解法
分析：方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一個(gè)只含x, z的方程, 與方程①組成一個(gè)二元一次方程組.
把 x＝5，z＝-2 代入②，得2×5+3y-2=9，
因此，這個(gè)三元一次方程組的解為
你還有其它解法嗎？試一試，并與這種解法進(jìn)行比較.
探究新知
解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進(jìn)行 ，把 轉(zhuǎn)化為 ，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解 ，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解 .
三元一次方程組
二元一次方程組
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程組
一元一次方程
探究新知
解下列三元一次方程組：（1）
解：
①
②
③
類似二元一次方程組的“消元”,把“三元”化成“二元”.
鞏固練習(xí)
③-①,得 ④
②與④組成二元一次方程組
解這個(gè)方程組，得
把 代入①，得
所以原方程組的解為
解下列三元一次方程組：（2）
解：
①
②
③
鞏固練習(xí)
②2-③，得 ④
①與④組成二元一次方程組
解這個(gè)方程組，得
把 代入③，得
所以原方程組的解為
解下列三元一次方程組：（3）
解：
①
②
③
鞏固練習(xí)
③-②，得 ④
①與④組成方程組
解這個(gè)方程組，得
把 代入③，得
所以這個(gè)三元一次方程組的解為
解下列三元一次方程組：（4）
解：
①
②
③
鞏固練習(xí)
①+②，得 ④
②+③，得 ⑤
④與⑤組成二元一次方程組
解這個(gè)方程組，得
把 代入③，得
所以原方程組的解為
在等式 y=ax2＋bx＋c中,當(dāng)x=－1時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=3;當(dāng)x=5時(shí),y=60. 求a,b,c的值.
解:根據(jù)題意，得三元一次方程組
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤
④與⑤組成二元一次方程組
a＋b=1，
4a＋b=10.
探究新知
考點(diǎn) 2
利用三元一次方程組求字母的值
a=3，
b=-2.
解這個(gè)方程組，得
把a(bǔ)=3，b=-2代入①，得c=-5.
探究新知
因此a,b,c的值分別為3，-2，-5.
1.已知 是方程組
的解,則a+b+c的值是_______.
3
鞏固練習(xí)
鞏固練習(xí)
2.在等式 z=ax＋by＋c中,當(dāng)x=1時(shí),y=2時(shí),z=8;當(dāng)x=2時(shí),y=1時(shí)，z=5;當(dāng)x=-1時(shí),y=-1時(shí)，z=4. 求a,b,c的值.
解：
由題意，得
②-①，得
②-③，得
④與⑤組成方程組
解這個(gè)方程組，得
把 代入①，得
所以a,b,c的值分別為-1,2,5.
一個(gè)三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)的和為14，百位上的數(shù)的2倍減去十位上的數(shù)的差是個(gè)位上的數(shù)的 .如果把這個(gè)三位數(shù)個(gè)位上的數(shù)與百位上的數(shù)交換位置，那么所得的新數(shù)比原數(shù)小99.求這個(gè)三位數(shù).
考點(diǎn) 3
探究新知
三元一次方程組的應(yīng)用
分析：把這個(gè)三位數(shù)各位上的數(shù)看成三個(gè)未知數(shù)，則根據(jù)題目中的三個(gè)相等關(guān)系，可以列三元一次方程組.
探究新知
解:設(shè)這個(gè)三位數(shù)百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個(gè)位上的數(shù)為z.
解這個(gè)方程組，得
因此這個(gè)三位數(shù)是473.
根據(jù)題意,得
①
②
③
1.甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的和是35，甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5，乙數(shù)的 等于丙數(shù)的 .求這三個(gè)數(shù).
鞏固練習(xí)
解:設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，丙數(shù)為z.
解得
根據(jù)題意,得
答:甲數(shù)為10，乙數(shù)為15，丙數(shù)為10.
2.某農(nóng)場300名職工耕種51公頃土地,計(jì)劃種植水稻,棉花和蔬菜,已知種植農(nóng)作物每公頃所需的勞動(dòng)力人數(shù)及投入的設(shè)備資金如下表:
鞏固練習(xí)
農(nóng)作物品種 每公頃需勞動(dòng)力 每公頃需投入資金
水稻 4人 1萬元
棉花 8人 1萬元
蔬菜 5人 2萬元
已知該農(nóng)場計(jì)劃在設(shè)備上投入67萬元,應(yīng)該怎樣安排三種農(nóng)作物的種植面積,才能使所有的職工都有工作,而且投入的資金正好夠用
解:設(shè)安排x公頃種水稻,y公頃種棉花,z公頃種蔬菜.
根據(jù)題意,得
答:安排15公頃種水稻,20公頃種棉花,16公頃種蔬菜.
鞏固練習(xí)
解得
小明媽媽到文具店購買三種學(xué)習(xí)用品,其單價(jià)分別為2元、4元、6元,購買這些學(xué)習(xí)用品需要56元,經(jīng)過協(xié)商最后以每種單價(jià)均下調(diào)0.5元成交,結(jié)果只用了50元就買下了這些學(xué)習(xí)用品,則小明媽媽的購買方法有(　　)
A.6種　　　　B.5種　　　　C.4種　　　　D.3種
解析：設(shè)分別購買學(xué)習(xí)用品的數(shù)量為x,y,z.
由題意, 得 即
①-②得y+2z=16,所以y=16-2z③,所以滿足x,y,z之間關(guān)系的取值可以是:
當(dāng)y=2時(shí),z=7,x=3.當(dāng)y=4時(shí),z=6,x=2.當(dāng)y=6時(shí),z=5,x=1.
所以小明媽媽有3種不同的購買方法.
D
鏈接中考
1.方程 　　　，3x＋y＋z＝0,2x＋8y＝1,6x＋y－2z＝0，x2－y＋1＝0中，三元一次方程的個(gè)數(shù)是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1個(gè)　　 B. 2個(gè)　
C. 3個(gè) 　 D. 4個(gè)
B
基礎(chǔ)鞏固題
課堂檢測
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，則x＋y＋z的值為（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通過觀察未知數(shù)的系數(shù)，可采取兩個(gè)方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
課堂檢測
3.解方程組
則x＝_____，y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
解析：通過觀察未知數(shù)的系數(shù)，可采取① +②求出y，
②+ ③求出z，最后再將y與z的值代入任何一個(gè)方程求出x即可.
6
8
3
課堂檢測
若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，
求a，b，c的值．
解：因?yàn)槿齻€(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，所以每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.
可得方程組
解得
能力提升題
課堂檢測
解：設(shè)原三位數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為x,y,z.
由題意，得
答：原三位數(shù)是368.
一個(gè)三位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上的數(shù)字的 ，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和比個(gè)位上的數(shù)字大1.將百位與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得到的新三位數(shù)比原三位數(shù)大495，求原三位數(shù)．
拓廣探索題
課堂檢測
解得
三元一次方程組
三元一次方程組的概念
三元一次方程組的解法
三元一次方程組的應(yīng)用
課堂小結(jié)
含有三個(gè)未知數(shù)
每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1
一共有三個(gè)方程
通過代入消元法或加減消元法轉(zhuǎn)化為二元一次方程組
含有未知數(shù)的式子都是整式
課后作業(yè)
作業(yè)
內(nèi)容
教材作業(yè)
從課后習(xí)題中選取
自主安排
配套練習(xí)冊練習(xí)10.4 三元一次方程組的解法
一、教學(xué)目標(biāo)
【知識(shí)與技能】
1.了解三元一次方程組的概念.
2.能解簡單的三元一次方程組，在解的過程中進(jìn)一步體會(huì)“消元”思想.
3.會(huì)解較復(fù)雜的三元一次方程組.
【過程與方法】
在學(xué)習(xí)解三元一次方程組的過程中，感受消元轉(zhuǎn)化的思想
【情感態(tài)度與價(jià)值觀】
讓學(xué)生學(xué)會(huì)“舉一反三”的學(xué)習(xí)方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力.
二、課型
新授課
三、課時(shí)
1課時(shí)
四、教學(xué)重難點(diǎn)
【教學(xué)重點(diǎn)】
1.三元一次方程組的解法.
2.三元一次方程組的應(yīng)用.
【教學(xué)難點(diǎn)】
三元一次方程組的應(yīng)用.
五、課前準(zhǔn)備
教師：課件.
學(xué)生：鉛筆、練習(xí)本.
六、教學(xué)過程
（一）導(dǎo)入新課（出示課件2）
1.解二元一次方程組有哪幾種方法？
代入消元法和加減消元法
2.解二元一次方程組的基本思路是什么？
化二元為一元
【思考】若含有3個(gè)未知數(shù)的方程組如何求解？
（二）探索新知
1.出示課件4-7，探究三元一次方程組的概念
教師出示問題：在一次足球聯(lián)賽中，一支球隊(duì)共參加了22場比賽，積47分，且勝的場數(shù)比負(fù)的場數(shù)的4倍多2，按照足球聯(lián)賽的積分規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.那么這支球隊(duì)勝、平、負(fù)各多少場？
教師問：題目中有幾個(gè)條件？
學(xué)生答：題目中共有3個(gè)條件.
教師問：問題中有幾個(gè)未知量？
學(xué)生答：問題中有3個(gè)未知量.
教師問：題目中有哪些數(shù)量關(guān)系呢？
教師依次展示學(xué)生答案：
學(xué)生1答：勝的場數(shù)+平的場數(shù)+負(fù)的場數(shù)=22.
學(xué)生2答：勝的分?jǐn)?shù)+平的分?jǐn)?shù)+負(fù)的分?jǐn)?shù)=47.
學(xué)生3答：勝的場數(shù)=負(fù)的場數(shù)×4+2.
教師總結(jié)如下：
（1）勝的場數(shù)+平的場數(shù)+負(fù)的場數(shù)=22.
（2）勝的分?jǐn)?shù)+平的分?jǐn)?shù)+負(fù)的分?jǐn)?shù)=47.
（）勝的場數(shù)=負(fù)的場數(shù)×4+2.
教師問：你能利用表格表示上面的數(shù)量關(guān)系嗎？
學(xué)生答：如下表所示.
比賽結(jié)果 場數(shù) 分?jǐn)?shù)
勝 x 3x
平 y y
負(fù) z 0
合計(jì) 22 47
注 勝的場數(shù)比負(fù)的場數(shù)的4倍多2，即x=4z+2
教師問：觀察上表，你能得到幾個(gè)方程呢？
師生共同解答.
在這個(gè)題目中，要我們求的有三個(gè)未知數(shù)，我們自然會(huì)想到設(shè)這個(gè)球隊(duì)勝、平、負(fù)的場數(shù)分別為x，y， z，根據(jù)題意,可以得到下列三個(gè)方程:x+y+z=22,3x+y=47,x=4z+2.
教師問：根據(jù)等量關(guān)系你能列出方程組嗎？
學(xué)生答：對(duì)于這個(gè)問題的解必須同時(shí)滿足上面三個(gè)條件，因此，我們把三個(gè)方程合在一起寫成
教師問：這個(gè)方程組含有幾個(gè)未知數(shù)呢？
學(xué)生答：這個(gè)方程組中含有3個(gè)未知數(shù).
教師問：這個(gè)方程組里每一個(gè)方程所含未知數(shù)的次數(shù)都是幾呢？
學(xué)生答：這個(gè)方程組里每一個(gè)方程所含未知數(shù)的次數(shù)都是1.
教師問：仿照前面學(xué)習(xí)的二元一次方程組的定義，你能給這個(gè)方程組下定義嗎？
學(xué)生答：含有三個(gè)一次方程并且有三個(gè)一次未知數(shù)的方程組，叫作三元一次方程組.
總結(jié)點(diǎn)撥：（出示課件8）
由此，我們得出三元一次方程組的定義
含有三個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組．
考點(diǎn)1：三元一次方程組的判斷
下列是三元一次方程組的是( )（出示課件9）
A. B.
C. D.
學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同解答.
解析：A選項(xiàng)中，方程x +y＝7中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為2，不符合三元一次方程組的定義，故A選項(xiàng)不是；B選項(xiàng)中不是整式，故B選項(xiàng)不是；C選項(xiàng)中,方程xyz＝1中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為3，不符合三元一次方程組的定義，故C選項(xiàng)不是；D選項(xiàng)符合三元一次方程組的定義．故答案為D.
答案：D
總結(jié)點(diǎn)撥：滿足三元一次方程組的條件：(1)方程組中一共含有三個(gè)未知數(shù)；(2)每個(gè)方程中含未知數(shù)的次數(shù)都是1；(3)方程組中共有三個(gè)整式方程．
出示課件10，學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.
2.出示課件11，探究三元一次方程組的解法
教師問：類似二元一次方程組的解，三元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫作這個(gè)三元一次方程組的解. 怎樣解三元一次方程組呢
例如：
學(xué)生答：通過消元轉(zhuǎn)化一元一次方程來解答.
教師問：能不能像以前一樣“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
學(xué)生答：可以的，利用代入法和加減法把“三元”化成“二元”，再像以前解二元一方程組一樣，通過消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解答即可.
考點(diǎn)2：三元一次方程組的解法
解三元一次方程組（出示課件12-13）
學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同解答.
分析：方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一個(gè)只含x, z的方程, 與方程①組成一個(gè)二元一次方程組.
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④
與④組成方程組
解這個(gè)方程組，得
把 x＝5，z＝-2 代入②，得y=.
因此，三元一次方程組的解為
總結(jié)點(diǎn)撥：（出示課件14）
解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進(jìn)行消元，把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.
三元一次方程組 消元 二元一次方程組 消元 一元一次方程
出示課件15-18，學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.
考點(diǎn)3：利用三元一次方程組求字母的值
在等式 y=ax2＋bx＋c中,當(dāng)x=－1時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=3;當(dāng)x=5
時(shí)，y=60，求a，b，c的值.（出示課件19-20）
學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同解答.
解:根據(jù)題意，得三元一次方程組
－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤
④與⑤組成二元一次方程組
解這個(gè)方程組，得
把 a＝3，b＝-2 代入①，得c=.
因此a,b,c的值分別為3，-2，-5.
出示課件21-22，學(xué)生自主練習(xí)，教師給出答案.
考點(diǎn)4：三元一次方程組的應(yīng)用
一個(gè)三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)的和為14，百位上的數(shù)的2倍減去十位上的數(shù)的差是個(gè)位上的數(shù)的 .如果把這個(gè)三位數(shù)個(gè)位上的數(shù)與百位上的數(shù)交換位置，那么所得的新數(shù)比原數(shù)小99.求這個(gè)三位數(shù).（出示課件23）
學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同解答.
分析：把這個(gè)三位數(shù)各位上的數(shù)看成三個(gè)未知數(shù)，則根據(jù)題目中的三個(gè)相等關(guān)系，可以列三元一次方程組.
解:設(shè)這個(gè)三位數(shù)百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個(gè)位上的數(shù)為z.（出示課件24）
根據(jù)題意,得
解這個(gè)方程組，得
因此這個(gè)三位數(shù)是473.
出示課件25-27，學(xué)生自主練習(xí)，教師給出答案.
教師：學(xué)了前面的知識(shí)，接下來做幾道練習(xí)題看看你掌握的怎么樣吧.
（三）課堂練習(xí)（出示課件28-33）
練習(xí)課件第28-33頁題目，約用時(shí)20分鐘.
（四）課堂小結(jié)（出示課件34）
三元一次方程組 三元一次方程組的概念 含有三個(gè)未知數(shù) 含有未知數(shù)的式子都是整式 每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1 一共有三個(gè)方程
三元一次方程組的解法 通過代入消元法或加減消元法轉(zhuǎn)化為二元一次方程組
三元一次方程組的應(yīng)用
（五）課前預(yù)習(xí)
預(yù)習(xí)下節(jié)課11.1.1的相關(guān)內(nèi)容.
知道不等式、不等式的解、解集、解不等式的定義
課后作業(yè)
1、教材第111頁習(xí)題10.4.
2、七彩課堂第279頁習(xí)題.
板書設(shè)計(jì)
1.知識(shí)梳理
三元一次方程組
2.考點(diǎn)講解
考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4
教學(xué)反思
成功之處：本節(jié)課在學(xué)習(xí)三元一次方程組解法過程中，采取了類比遷移、舉一反三的方法，類比二元一次方程組的知識(shí)學(xué)習(xí)三元一次方程組.根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ǎ趹?yīng)用過程中形成技能技巧，并且培養(yǎng)了學(xué)生分析題目特點(diǎn)、選擇合適方法的學(xué)習(xí)能力.
不足之處：解三元一次方程組，運(yùn)算量大，變化較多，學(xué)生需要首先預(yù)判消去哪個(gè)未知數(shù)，所以在實(shí)際解題時(shí)容易出現(xiàn)消元選錯(cuò)未知數(shù)，重新消元，消元時(shí)出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，這些都是需要多練習(xí)多講解的地方，還需要學(xué)生在課下多探究多找規(guī)律才能掌握.
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