資源簡介

(共38張PPT)
7.1 相交線
7.1.1 兩條直線相交
人教版 數學 七年級 下冊
導入新知
導入新知
導入新知
導入新知
1. 借助兩直線相交所成的角初步理解鄰補角、對頂角的概念.
2. 會根據鄰補角、對頂角的性質去求一個角的度數.
學習目標
3. 掌握鄰補角與對頂角的性質，并能運用它們解
決簡單實際問題.
如圖，取兩根木條，將它們釘在一起，轉動其中一根木條，在這個過程中，它們所成的角也在變化，你能發現這些角之間不變的關系嗎？
你能動手畫出兩條相交直線嗎
探究新知
知識點 1
鄰補角與對頂角的定義
∠1，∠2，∠3，∠4
任意畫兩條相交的直線，形成四個角，其中小于平角的角有幾個，是哪幾個？
1
2
3
4
B
A
C
D
O
將這些角兩兩相配能得到幾對角？
探究新知
分類
兩直線相交
∠1 和∠2
∠2 和∠3
∠1 和∠3
位置關系
你能根據這幾對角的位置關系，對它們進行分類嗎？
B
A
C
D
2
4
1
3
∠3 和∠4
∠4 和∠1
∠2 和∠4
探究新知
1.有公共頂點
2.有一條公共邊
3.另一邊互為反向延長線
1.有公共頂點
2.沒有公共邊
3.兩邊互為反向延長線
1
2
3
4
B
C
D
O
A
觀察∠1和∠2的頂點和兩邊，有怎樣的位置關系？
如圖，∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長線（ ∠1與∠2 互補），具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角.
鄰補角
探究新知
1
3
B
C
D
A
2
4
O
類比∠1和∠2，看∠1和∠3有怎樣的位置關系？
如圖，∠1和∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角.
對頂角
探究新知
分類
兩直線相交
位置關系
歸納總結
B
A
C
D
2
4
1
3
∠1 和∠2
∠2 和∠3
∠1 和∠3
∠3 和∠4
∠4 和∠1
∠2 和∠4
探究新知
1.有公共頂點
2.有一條公共邊
3.另一邊互為反向延長線
1.有公共頂點
2.沒有公共邊
3.兩邊互為反向延長線
名稱
鄰補角
對頂角
下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
D
1
2
A
1
2
B
提示：對頂角是由兩條相交直線構成的，只有兩條直線相交時，才能構成對頂角．
探究新知
考點1
對頂角的判斷
下列各圖中，∠1和∠2是不是對頂角？
不是
鞏固練習
（1）
（2）
（3）
（4）
不是
不是
是
C
O
A
B
D
4
3
2
1
問題：∠1 與∠3在數量上又
有什么關系呢？
【討論】你能利用學過的有關知識來驗證∠1與∠3的數量關系嗎？
在上學期我們已經知道互為補角的兩個角的和為180°，因而互為鄰補角的兩個角的和為180°.
知識點 2
猜想：對頂角相等.
探究新知
對頂角、鄰補角的性質
已知：直線AB與CD相交于O點(如圖)，
求證∠1=∠3， ∠2=∠4.
證明：因為直線AB與CD相交于O點，
所以∠1+∠2=180°， ∠2+∠3=180°.
所以∠1=∠3（同角的補角相等）.
同理可得∠2=∠4.
符號語言：因為直線AB與CD相交于O點，
所以∠1=∠3，∠2=∠4.
探究新知
C
O
A
B
D
4
3
2
1
量一量：圖中是對頂角量角器，你能說出用它測量角的度數的原理嗎？
探究新知
對頂角相等.
B
A
C
D
O
1
2
3
4
1.有公共頂點
歸類
∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1
∠1和∠3，∠2和∠4
1.有公共頂點
位置關系
鄰補角
對頂角
2.有一條公共邊
3.另一邊互為反向延長線
2.沒有公共邊
兩直線相交
3.兩邊互為反向延長線
名稱
考慮角的位置關系可從角的頂點和角的邊入手!
數量關系
對頂角相等
鄰補角互補
探究新知
如圖，直線a，b相交，∠1=40°，求 ∠2，∠3，∠4的度數.
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
解：由∠1和∠2 互為鄰補角，得
∠2=180°- ∠1 =180°- 40°=140°.
由對頂角相等，得
∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.
探究新知
利用對頂角、鄰補角的性質求角的度數
考點2
變式1：若∠1= 32°20′，求∠2，∠3，∠4的度數.
探究新知
解：由∠1和∠2 互為鄰補角，得
∠2=180°- ∠1 =180°- 32°20′=147°40′ ；
由對頂角相等，得
∠3=∠1=32°20′，∠4=∠2= 147°40′ .
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
解:設∠1=x°，則∠2=3x°，
變式3：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度數.
由∠1和∠2 互為鄰補角，得 x+3x =180，
所以 x=45，
由對頂角相等，得∠3=∠1=45°.
則∠1=45°.
變式2：若∠1＋∠3 = 50°，則∠3= ，∠2= .
25°
155°
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
探究新知
（3）若 1∶ 2 = 3∶ 6 ，則∠1，∠2，∠3，∠4的度數分別為________________________.
（2）若∠2是∠3的 3倍，則∠1，∠2，∠3，∠4的度數分別為________________________.
（1）若∠1+∠3= 60 ，則∠1，∠2，∠3，∠4的度數分別為________________________ .
30 ，150 ，30 ，150
45 ， 135 ， 45 ， 135
60 ，120 ，60 ，120
鞏固練習
1.如圖所示，直線a和b相交于點O，完成下列各題:
解：如果∠α是35°，其他三個角分別等于145°，35°，145°；
如果∠α是90°，其他三個角都等于90°；
如果∠α是115°，其他三個角分別等于65°，115°，165°；
如果∠α是m°，其他三個角分別等于（180-m）°，m°， （180-m） °；
鞏固練習
2.如圖，在相交線的模型中，如果兩個木條a,b所成的角中有一個角∠α=35°，其他三個角分別等于多少度？如果∠α等于90°，115°，m°呢？
α
b
a
鞏固練習
3.如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOC:∠BOC=2:7，則∠BOC=_______°，∠AOD=_______°.
140
140
A
B
C
D
O
如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度數.
解：因為∠1＝40°， ∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1 ＝110°－40°＝70°.
因為∠BOF＝∠2(對頂角相等)，
所以∠2＝70°(等量代換)．
提示：隱含條件“對頂角相等”.
探究新知
利用隱含條件求角的度數
考點3
如圖，直線AB，CD，EF，MN相交，若∠2=∠5，找出圖中與∠2 互補的角.
F
N
C
E
A
B
D
M
1
2
3
4
5
8
6
7
解：因為 EF與AB相交，∠1+∠2=180°，
∠2+∠3= 180°，
所以∠2的補角有∠1和∠3;
因為 CD與MN相交，∠5+∠8=180°，
∠5+∠6=180 °，且∠2=∠5，
所以∠2的補角有∠6和∠8;
鞏固練習
所以∠2的補角有∠1，∠3，∠6和∠8.
（2018·廣西賀州）如圖，下列各組角中，互為對頂角的是（　　）
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3
C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
A
鏈接中考
（2024 山東日照）如圖，直線AB，CD相交于點O．
若∠1=40°，∠2=120°，則∠COM的度數為（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
B
鏈接中考
C
A
M
B
D
O
1
2
1.下列各圖中，∠1和∠2是鄰補角嗎？為什么？
1
2
1
2
1
2
∠1=140° ∠1=120° ∠1=130°
∠2=40° ∠2=60° ∠2=50°
（1） （2） （3）
不是
不是
是
基礎鞏固題
課堂檢測
2.下列各圖中，∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？
1
2
（2）
（3）
（4）
2
1
（1）
2
1
不是
是
不是
不是
（5）
是
1
2
1
2
課堂檢測
3.如圖兩堵墻圍一個角 AOB，但人不能進入圍墻，我們如何去測量這個角的大小呢？
AOB=∠COD
AOB=180°-∠AOC
（鄰補角互補)
（對頂角相等)
課堂檢測
方法一:反向延長OB，測量∠AOC的大小;
方法二:反向延長OA，OB，測量∠COD的
大小.
O
C
D
A
B
4.找出圖中∠AOE的鄰補角及對頂角，若沒有請畫出.
解:反向延長射線OE，記為OF，如圖所示，則∠AOE的鄰補角是∠EOB和∠AOF;對頂角是∠BOF.
課堂檢測
）
）
A
B
C
O
D
E
）
F
5.如圖，直線AB，CD，EF相交于點O.
(1)寫出∠AOC， ∠BOE的鄰補角；
(2)寫出∠DOA， ∠EOC的對頂角；
(3)如果∠AOC =50°，求∠BOD ，∠COB的度數.
C
A
E
D
B
F
O
解:(1)∠AOC的鄰補角是∠AOD和∠COB;
∠BOE的鄰補角是∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的對頂角是∠COB; ∠EOC的對頂角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°; ∠COB=180°-∠AOC=130°.
課堂檢測
6.如圖，直線AB，CD相交于點O， ∠EOC=70°，
OA平分∠EOC，求∠BOD的度數.
A
B
C
D
E
O
解：因為OA平分∠EOC，
所以∠AOC= ∠EOC=35°，
所以∠BOD=∠AOC=35°.
課堂檢測
如圖，直線AB，CD，EF相交，若∠1 +∠5=180°，
找出圖中與∠1 相等的角.
D
B
E
O
A
C
F
1
2
3
4
5
6
8
7
解：因為∠5+∠8=180 °，且∠1 +∠5=180°，
所以∠8= ∠1.
因為∠1= ∠3 ，∠8= ∠6（對頂角相等），
所以∠1= ∠3 = ∠8 = ∠6.
能力提升題
課堂檢測
所以與∠1 相等的角有∠3，∠8，∠6.
觀察下列各圖，尋找對頂角.（不含平角)
（1）如圖①，圖中共有 對對頂角；
（2）如圖②，圖中共有 對對頂角；
（3）如圖③，圖中共有 對對頂角；
（4）研究⑴～⑶小題中直線條數與對頂角的對數之間的關系，猜測：若有n條直線相交于一點，則可形成 對對頂角；
（5） 若有10條直線相交于一點，則可形成 對對頂角.
圖③
2
6
12
n(n-1)
90
拓廣探索題
課堂檢測
圖①
A
B
C
D
O
圖②
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
G
H
O
角的 名稱 特 征 性 質 相 同 點 不 同 點
對 頂 角
鄰 補 角 對頂
角相
等
鄰補
角互
補
②有公共頂點;
③沒有公共邊.
①兩條直線相交形成的角；
①兩條直線相交形成的角；
②有公共頂點;
③有一條公共邊.
①都是兩條直線相交而成的角；
③都是成對出現的.
②都有一個公共頂點；
②兩直線相交時，對頂角只有兩對，鄰補角有四對.
①有無公共邊；
課堂小結
課后作業
作業
內容
教材作業
從課后習題中選取
自主安排
配套練習冊練習7.1.1相交線
一、教學目標
【知識與技能】
1.借助兩直線相交所成的角初步理解鄰補角、對頂角的概念.
2.會根據鄰補角、對頂角的性質去求一個角的度數.
3.掌握鄰補角與對頂角的性質，并能運用它們解決簡單實際問題.
【過程與方法】
1.通過動手操作、推斷、交流等活動,進一步發展空間觀念,培養識圖能力、推理能力和表達能力.
2.在具體情境中了解鄰補角、對頂角,能找出圖形中的一個角的鄰補角和對頂角,理解對頂角相等,并能運用它解決一些簡單問題.
【情感態度與價值觀】
引導學生對圖形進行觀察、發現,激發學生的好奇心和求知欲,并在運用數學知識解答問題的活動中獲取成功的體驗,樹立學習的信心.
二、課型
新授課
三、課時
1課時
四、教學重難點
【教學重點】
對頂角的性質.
【教學難點】
理解對頂角相等的性質的探索.
五、課前準備
教師：課件、三角尺、直尺等.
學生：三角尺、鉛筆.
六、教學過程
（一）導入新課（出示課件2-5）
同學們，你們看這座宏偉的大橋，它的兩端有很多斜拉的平行鋼索，橋的側面有許多相交鋼索組成的圖案；圍棋棋盤的縱線相互平行，橫線相互平行，縱線和橫線相交．這些都給我們以相交線、平行線的形象．在我們生活中，蘊涵著大量的相交線和平行線．那么兩條直線相交形成哪些角？這些角又有什么特征？
（二）探索新知
1.出示課件7-12，探究鄰補角與對頂角的定義
教師問：如圖，把兩根木條，將它們釘在一起，轉動其中一根木條，在這個過程中，他們所成的角也在變化，你能發現這些角之間不變的關系嗎？ 你能動手畫出兩條相交直線嗎
學生答：能，作圖如下：
教師問：兩條直線相交，形成幾個角，其中小于平角的角有幾個，是哪幾個？
學生答：兩條直線相交，形成四個角，其中小于平角的角有四個 .
分別是∠1，∠2，∠3，∠4.
教師問：將這些角兩兩相配能得到幾對角？
教師依次展示學生答案：
學生1答：∠1 和∠2.
學生2答：∠2 和∠3.
學生3答：∠3 和∠4.
學生4答：∠4 和∠1.
教師問：為何如此分類呢？
學生答：有一條邊在一條直線上，角的頂點相同.
教師問：還有其他分類嗎？
學生答：
分類如下：∠1 和∠3，∠2 和∠4.
教師問：這樣分的標準是什么？
學生答：兩邊分別在一條直線上，有共同的頂點.
總結點撥：（出示課件9）
兩直線相交 分類 位置關系
∠1 和∠2， ∠2 和∠3， ∠3 和∠4， ∠4 和∠1 1.有公共頂點 2.有一條公共邊 3.另一邊互為反向延長線
∠1 和∠3， ∠2 和∠4. 1.有公共頂點 2.沒有公共邊 3.兩邊互為反向延長線
教師問：觀察∠1和∠2的頂點和兩邊，有怎樣的位置關系？
師生一起解答：
如圖，∠1與∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長線（∠1與∠2 互補），具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角.
教師問：類比∠1和∠2，看∠1和∠3有怎樣的位置關系？
學生答：這兩個角的兩邊都在同一條直線上，有相同的頂點.
教師總結：如圖，∠1與∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角.
總結點撥：（出示課件12）
兩直線相交 分類 位置關系 定義
∠1 和∠2， ∠2 和∠3， ∠3 和∠4， ∠4 和∠1 1.有公共頂點 2.有一條公共邊 3.另一邊互為反向延長線 鄰補角
∠1 和∠3， ∠2 和∠4. 1.有公共頂點 2.沒有公共邊 3.兩邊互為反向延長線 對頂角
考點1：對頂角的判斷
下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（ ）（出示課件13）
師生共同討論解答如下：
解析：對頂角是由兩條相交直線構成的，只有兩條直線相交時，才能構成對頂角．
答案：D.
出示課件14，學生自主練習后口答，教師訂正.
答案：（1）（2）（3）不是，（4）是.
2.出示課件15-17，探究對頂角、鄰補角的性質
教師問：在上學期我們已經知道互為補角的兩個角的和為180°，因而互為鄰補角的兩個角的和為180°.如圖所示，∠1 與∠3在數量上又有什么關系呢？
學生答：猜想：∠1 =∠3.
教師問：你能利用學過的有關知識來驗證∠1與∠3的數量關系嗎？
學生答：因為∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°，
所以∠1=∠3.
教師問：∠1與∠3互為什么角？
學生答：互為對頂角.
教師問：由此你能猜想對頂角有什么性質？
學生答：猜想：對頂角相等.
教師問：你能證明你的猜想嗎？
學生先獨立思考，師生共同討論后解答如下：
師生一起解答：
已知：直線AB與CD相交于O點(如圖),
求證:∠1=∠3， ∠2=∠4.
證明：因為直線AB與CD相交于O點,
所以∠1+∠2=180° ，∠2+∠3=180°，
所以∠1=∠3.
同理可得∠2=∠4.
教師問：您能利用幾何語言描述一下對頂角的性質嗎？
學生答：
符號語言：
因為直線AB與CD相交于O點，
所以∠1=∠3，∠2=∠4.
教師總結點撥：（出示課件18）
兩直線相交 分類 位置關系 名稱 數量關系
∠1 和∠2， ∠2 和∠3， ∠3 和∠4， ∠4 和∠1 1.有公共頂點 2.有一條公共邊 3.另一邊互為反向延長線 鄰補角 鄰補角互補
∠1 和∠3， ∠2 和∠4. 1.有公共頂點 2.沒有公共邊 3.兩邊互為反向延長線 對頂角 對頂角相等
考點2：利用對頂角、鄰補角的性質求角的度數
如圖,直線a，b相交，∠1=40°,求 ∠2，∠3，∠4的度數.（出示課件19）
學生獨立思考后，師生共同解答.
學生1解：由∠1和∠2互為鄰補角，得
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.
學生2解：由對頂角相等，得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.
教師總結。
教師出示課件20并問：若∠1= 32°20′，那么∠2，∠3，∠4的度數是多少？
學生獨立思考后，師生共同解答.
教師出示課件21并問：如圖，若∠1＋∠3 = 50°，則∠3，∠2的度數是多少？
學生獨立思考后，師生共同解答。
答案：∠3=25°，∠2=155°
教師問：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度數.
學生獨立思考后，師生共同解答。
答案：
解:設∠1=x°,則∠2=3x°，
由∠1和∠2互為鄰補角，得 x+3x=180，
所以 x=45，則∠1=45°，
根據對頂角相等,可得∠3=∠1=45°.
出示課件22-24，學生自主練習后口答，教師訂正.
考點3：利用隱含條件求角的度數
如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度數.（出示課件25）
學生獨立思考后，師生共同解答.
解：因為∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1 ＝110°－40°＝70°.
因為∠BOF＝∠2(對頂角相等)，
所以∠2＝70°(等量代換)．
總結點撥：隱含條件“對頂角相等”.
出示課件26，學生自主練習，教師給出答案.
教師：學了前面的知識，接下來做幾道練習題看看你掌握的怎么樣吧.
（三）課堂練習（出示課件27-36）
練習課件第27-36頁題目，約用時20分鐘.
（四）課堂小結（出示課件37）
1.鄰補角、對頂角的概念:
(1)有一條公共邊,它們的另一邊互為反向延長線,具有這種關系的兩個角,互為鄰補角.
(2)有一個公共頂點,并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線,具有這種位置關系的兩個角,互為對頂角.
(3)鄰補角、對頂角是成對出現的,在相交直線中,一個角的鄰補角有兩個.
2.鄰補角、對頂角的性質:
(1)鄰補角互補.但兩個和等于180°的角不一定是鄰補角.
(2)對頂角相等.但反過來,相等的兩個角不一定是對頂角.
3.鄰補角、對頂角的相同點和不同點:
相同點：
(1)都是兩條直線相交而成的角；
(2)都有一個公共頂點；
(3)都是成對出現的.
不同點：
(1)有無公共邊；
(2)兩直線相交時，對頂角只有兩對，鄰補角有四對.
（五）課前預習
預習下節課（7.1.2第1課時）的相關內容.
知道垂直、垂足、垂線的定義及其垂線的性質.
課后作業
1、教材第8頁習題7.1第1，3，5題.
2、七彩課堂第255頁習題.
八、板書設計：
7.1.1　相交線
1.鄰補角與對頂角的概念
2.對頂角的性質
3.考點講解
考點1 考點2 考點3
九、教學反思：
成功之處：相交線是第七章第一小節的內容,在第一學期學生已經學習并掌握了直線、角等概念,在此基礎上繼續學習兩條直線相交的情況以及在這種情況下所形成的角的關系——鄰補角、對頂角.平面內兩條直線的位置關系是“圖形與幾何”所要研究的基本問題,是初中階段學習的重點內容之一,同時也是平面幾何圖形由簡單到復雜的最基本圖形之一——由兩條直線相交所成的角.因此本課時的教學重點是對頂角的性質與應用,教學難點是對頂角性質的幾何語言的表達.在教學中教師能夠結合圖形讓學生通過觀察、猜測、分類等方法找到兩條直線相交所形成的角的位置關系和數量關系,很好地掌握了鄰補角和對頂角的特征,另外加強對比和反例的說明,對于學生對知識的理解和掌握起到了強化、深入的作用.
不足之處：從教學的過程看,學生掌握知識的難度要小于對頂角性質推理的難度.在本課時的教學過程中,雖然注重強化了學生對對頂角性質推理的認識,但對個別學生的指導和關注不夠,導致部分學習有困難的學生對推理說明的題目掌握不好.在解題過程中出現亂、繁等現象(個別學生甚至無法下手),課后要根據實際情況及時進行補差補缺,爭取不讓一個學生掉隊.
11 / 13

展開更多......

收起↑