資源簡介

4整式的乘法
第1課時 單項式與單項式相乘
1.使學(xué)生理解并掌握單項式與單項式相乘的法則，能夠熟練地進行單項式的乘法計算.
2.通過探究單項式與單項式相乘的法則，培養(yǎng)了學(xué)生歸納、概括能力，以及運算能力.
3.通過單項式的乘法法則在生活中的應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.
【教學(xué)重點】
掌握單項式與單項式相乘的法則.
【教學(xué)難點】
分清單項式與單項式相乘中，冪的運算法則.
一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知
京京用同樣大小的紙精心制作的兩幅畫，如圖所示，第一幅畫的畫面大小與紙的大小相同，第二幅畫的畫面在紙的上、下方各留有18x米的空白,你能表示出兩幅畫的面積嗎？
教師提出以下問題，引導(dǎo)學(xué)生對兩個代數(shù)式進行分析：
問題1：以上求矩形的面積時，會遇到x·mx，(mx)·x，這是什么運算呢？
問題2：什么是單項式？我們知道，整式包括單項式和多項式，從這節(jié)課起我們就來研究整式的乘法，先學(xué)習(xí)單項式乘以單項式.
【教學(xué)說明】以上設(shè)計從實際問題出發(fā)，引出了單項式乘法，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識來源于生活，并能解決生活中的問題.
二、思考探究，獲取新知
繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生分析實例中出現(xiàn)的算式，教師提出以下三個問題：
問題1：對于實際問題的結(jié)果x·mx，(mx)·mx可以表達得更簡單些嗎？說說你的理由？
問題2：類似地，3a2b·2ab3和（xyz）·y2z可以表達的更簡單一些嗎？
問題3：如何進行單項式與單項式相乘的運算？
【教學(xué)說明】
組織學(xué)生先獨立思考，再以四人為小組討論，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)表自己的見解，全班共同交流，得出單項式乘法的法則.得出法則后，教師再提出有思維價值的問題，引導(dǎo)學(xué)生對探究的過程進行反思，明確算理，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系.
【歸納結(jié)論】
單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.
問題4：在你探索單項式乘法運算法則的過程中，運用了哪些運算律和運算法則？
學(xué)生回答：運用了乘法的交換律、結(jié)合律和同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì).
【教學(xué)說明】實際教學(xué)中，視學(xué)生情況而定，以上四個問題可同時給出，也可以逐一給出.教師通過問題1和問題2，讓學(xué)生獨立思考，自主探究，經(jīng)歷知識形成的過程，在探究中發(fā)現(xiàn)和總結(jié)出規(guī)律，獲得體驗.教師應(yīng)鼓勵學(xué)生靈活運用乘法交換律、結(jié)合律和同底數(shù)冪的運算性質(zhì)等知識探索單項式乘單項式的運算法則，并理解算理，在探究的基礎(chǔ)上運用自己的語言描述單項式乘法的法則.
三、運用新知，深化理解
1.見教材P14例1.
2.下列運算正確的是(D)
上述過程中有無錯誤？如果有，請寫出正確的解答過程.
解：有錯誤；
【教學(xué)說明】在學(xué)習(xí)了單項式乘法法則后，及時通過一組習(xí)題和練習(xí)幫助學(xué)生熟悉法則的應(yīng)用及每一步的算理，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出運用單項式相乘的乘法法則時，應(yīng)注意以下幾點：
(1)進行單項式乘法，應(yīng)先確定結(jié)果的符號，再把同底數(shù)冪分別相乘，這時容易出現(xiàn)的錯誤是將系數(shù)相乘與相同字母指數(shù)相加混淆；
(2)不要遺漏只在一個單項式中出現(xiàn)的字母，要將其連同它的指數(shù)作為積的一個因式；
(3)單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；
（4）單項式乘以單項式，結(jié)果仍為單項式.
四、師生互動，課堂小結(jié)
先小組內(nèi)交流收獲和感想，后以小組為單位派代表進行總結(jié)，教師作以補充.
五、教學(xué)板書
1.布置作業(yè):教材“習(xí)題1.6”中第1、2題。
2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。
新課程標(biāo)準(zhǔn)下，數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的思維，教材中的難點往往是數(shù)學(xué)思維迅速豐富、過程大步跳躍的地方，所以在本節(jié)課難點教學(xué)中既注意了化難為易的效果，又注意了化難為易的過程，在探究法則的過程中設(shè)置循序漸進的問題，不斷啟迪學(xué)生思考，發(fā)展學(xué)生的思維能力，在應(yīng)用法則的過程中，又引導(dǎo)學(xué)生進行解題后的反思，這些將促使學(xué)生知識水平和能力水平同時提高.第3課時 多項式與多項式相乘
1.在具體情境中了解多項式乘法的意義，會利用法則進行簡單的多項式乘法運算.
2.經(jīng)歷探索多項式與多項式乘法法則的過程，理解多項式與多項式相乘的運算算理，體會乘法分配律的作用及轉(zhuǎn)化思想在解決問題過程中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生有條理的思考和語言表達能力.
3.在解決問題的過程中了解數(shù)學(xué)的價值，發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的信心.
【教學(xué)重點】
熟悉多項式與多項式乘法法則.
【教學(xué)難點】
理解多項式與多項式相乘的算理.
一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知
1.如何進行單項式乘多項式的運算？你能舉例說明嗎？
2.計算：
（1）(3mn)2·(m2+mn-n2);
（2）2a2-a(2a-5b)-b(2a-b).
【教學(xué)說明】單項式乘以多項式運算是多項式乘以多項式運算的基礎(chǔ)，所以幫助學(xué)生回憶單項式乘多項式的運算非常重要.
二、思考探究，獲取新知
下圖1-1是一個長和寬分別為m，n的長方形紙片，如果它的長和寬分別增加a，b，所得長方形（圖1-2）的面積可以怎樣表示？
學(xué)生獨立思考后，全班交流，主要產(chǎn)生了四種解法：
方法一：長方形的長為（m+a），寬為（n+b）,所以面積可以表示為(m+a)(n+b)；
方法二：長方形可以看做是由四個小長方形拼成的，四個小長方形的面積分別為mn，mb，an，ab，所以長方形的面積可以表示為mn+mb+an+ab；
方法三：長方形可以看做是由上下兩個長方形組成的，上面的長方形面積為b（m+a），下面的長方形面積為n（m+a）,這樣長方形的面積就可以表示為n（m+a）+b（m+a），根據(jù)上節(jié)課單項式乘多項式的法則，結(jié)果等于nm+na+bm+ba；
方法四：長方形可以看做是由左右兩個長方形組成的，左邊的長方形面積為m（b+n），右邊的長方形面積為a（b+n）,這樣長方形的面積就可以表示為m（b+n）+a（b+n），根據(jù)上節(jié)課單項式乘多項式的法則，結(jié)果等于mb+mn+ab+an.
將四種方法的過程板書到黑板上，由于求的是同一個長方形的面積，于是我們得到：
（m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=m(b+n)+a(b+n)=mn+mb+an+ab
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這個等式，并啟發(fā)性的將等式板書為以下形式：
(m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)
或（m+a)(n+b)=m(b+n)+a(b+n)
或（m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab
【教學(xué)說明】
引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實驗、類比、歸納獲得數(shù)學(xué)猜想.在上一課時中，學(xué)生已經(jīng)有了利用圖形面積探究法則的經(jīng)驗，因此用不同方法計算同一圖形面積猜想出多項式乘法法則并不困難，順利引出新課.
觀察上面的過程，回答下列問題：
1.你能說出（m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)
這一步運算的道理嗎？
2.結(jié)合這個算式（m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab，你能說說如何進行多項式與多項式相乘的運算？
3.歸納總結(jié)多項式與多項式相乘的運算法則.
【歸納結(jié)論】
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
三、運用新知，深化理解
1.見教材P18例3.
2.下列說法不正確的是（D）
A.兩個單項式的積仍是單項式；
B.兩個單項式的積的次數(shù)等于它們的次數(shù)之和；
C.單項式乘以多項式，積的項數(shù)與多項式項數(shù)相同；
D.多項式乘以多項式，合并同類項前，積的項數(shù)等于兩個多項式的項數(shù)之和.
3.下列多項式相乘的結(jié)果是a2-a-6的是（B）
A.（a-2）（a+3）；
B.（a+2）（a-3）；
C.（a-6）（a+1）；
D.（a+6）（a-1）.
4.下列計算正確的是（C）
A.a3·(-a2)=a5；
B.(-ax2)3=-ax6；
C.3x3-x(3x2-x+1)=x2-x；
D.(x+1)(x-3)=x2+x-3.
5.若（x+m）（x+n）=x2-6x+5，則（A）
A.m，n同時為負(fù)；
B.m，n同時為正；
C.m，n異號；
D.m，n異號且絕對值小的為正.
6.要使(x-3)·M=x2+x+N成立，且M是一個多項式，N是一個整數(shù)，則（C）
A.M=x-4,N=12；
B.M=x-5,N=15；
C.M=x+4,N=-12；
D.M=x+5,N=-15.
7.計算：
(1)(3x+1)(x-2)；
(2)(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)；
(3)(x-5)(x+2)；
(4)(x+5)(x-2)；
(5)(x-5)(x-2)；
(6)(x+5)(x+2).
答案：
(1)3x2-5x-2；(2)5a-6；(3)x2-3x-10；
(4)x2+3x-10；(5)x2-7x+10；(6)x2+7x+10.
8.若（mx+y）（x-y）=2x2+nxy-y2，求m，n的值.
解：左邊=mx2-mxy+xy-y2=mx2+(1-m)xy-y2
∴m=2，n=1-m ∴n=-1
9.對于任意自然數(shù)，試說明代數(shù)式n（n+7）-（n-3）（n-2）的值都能被6整除.
解：n（n+7）-（n-3）（n-2）=n2+7n-n2+5n-6=12n-6=6（2n-1）.
因為n為自然數(shù)，
所以6（2n-1）一定是6的倍數(shù).
【教學(xué)說明】讓學(xué)生通過不同形式的多項式相乘，靈活應(yīng)用法則，針對解決不同問題時遇到的問題，積累解題經(jīng)驗.對于掌握程度比較好的學(xué)生，需要設(shè)置一些具有挑戰(zhàn)性的題目，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的動力.
四、師生互動，課堂小結(jié)
1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？
2.領(lǐng)悟到哪些解決問題的方法？感觸最深的是什么？
3.對于本節(jié)課的學(xué)習(xí)還有什么困惑？
五、教學(xué)板書
1.布置作業(yè):教材“習(xí)題1.8”中第1、2、3題.
2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí).
整式的乘法共由三課時組成，這一板塊的知識前后銜接緊密、環(huán)環(huán)相扣,因此在這三課時中都采用了先回顧，再呈現(xiàn)問題情境的引入方法實現(xiàn)“溫故知新”.但是在教學(xué)過程中，我們不應(yīng)僅僅讓學(xué)生感受知識需要“溫故知新”，更應(yīng)該讓他們體會到解決這些“新”都是用了同樣的數(shù)學(xué)思想方法——轉(zhuǎn)化.這三課時法則的探索在難度上是逐漸深入的，在方法和思路上卻又是統(tǒng)一的，通過這三課時的學(xué)習(xí)，應(yīng)讓學(xué)生體會：當(dāng)他們遇到新問題時，可以效仿之前用到的數(shù)學(xué)思想方法來解決，從而真正掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.第2課時 單項式與多項式相乘
1.在具體情境中了解單項式與多項式乘法的意義，會進行單項式與多項式的乘法運算.
2.經(jīng)歷探索單項式與多項式乘法法則的過程，理解單項式與多項式相乘的算理，體會乘法分配律的重要作用及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生有條理的思考和語言表達能力.
3.在探索單項式與多項式乘法運算法則的過程中，獲得成就感，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
【教學(xué)重點】
會進行單項式與多項式的乘法運算.
【教學(xué)難點】
靈活運用單項式乘以多項式的運算法則.
一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知
1.如何進行單項式乘單項式的運算？你能舉例說明嗎？
2.計算：
3.寫一個多項式，并說明它的次數(shù)和項數(shù).
【教學(xué)說明】
首先引導(dǎo)學(xué)生回憶單項式乘單項式的運算法則，目的是為探索單項式乘以多項式法則做好鋪墊，因為最終我們要將它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，所以這里通過活動1、2來進行回顧十分必要.
問題3的設(shè)置為今天的新課學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).
二、思考探究，獲取新知
探究：寧寧作了一幅畫，所用紙的大小如圖所示，她在紙的左、右兩邊各留了xm的空白，這幅畫的畫面面積是多少？
先讓學(xué)生獨立思考，之后全班交流.交流時引導(dǎo)學(xué)生呈現(xiàn)出自己的思考過程.
同學(xué)之中主要有兩種做法：
法一：先表示出畫面的長和寬，由此得到畫面的面積為x(mx-x)；
法二：先求出紙的面積，再減去兩塊空白處的面積，由此得到畫面的面積為mx2-x2.
教師啟發(fā)學(xué)生：兩種方法得到的答案不一樣，到底哪種方法對？短暫的思考之后，學(xué)生回答都對，由此引出x(mx-x)= mx2-x2這個等式.
引導(dǎo)學(xué)生觀察這個算式，并思考兩個問題：
式子的左邊是什么運算？能不能用學(xué)過的法則說明這個等式成立的原因？
學(xué)生不難總結(jié)出：式子的左邊是一個單項式與一個多項式相乘，利用乘法分配律可得x（mx-x）=x·mx-x·x，再根據(jù)單項式乘單項式法則或同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)得到x·mx-x·x=mx2-x2，即x（mx-x）=mx2-x2.
【教學(xué)說明】
從實際問題出發(fā)，學(xué)生通過對同一面積的不同表達，引出x（mx-x）=mx2-x2這個等式.
想一想：
問題1：ab·(abc+2x)及c2(m+n-p)等于什么？你是怎樣計算的？
問題2：如何進行單項式與多項式相乘的運算？
【教學(xué)說明】
設(shè)置問題1是讓學(xué)生獲得更充分的體驗，為下面順利歸納單項式與多項式的乘法法則鋪平道路.
【歸納結(jié)論】
單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
三、運用新知，深化理解
1.見教材P16例2.
2.計算：
5.一條防洪堤壩，其橫斷面是梯形，上底寬a米，下底寬（a+2b）米，壩高a米.
（1）求防洪堤壩的橫斷面積；
（2）如果防洪堤壩長100米，那么這段防洪堤壩的體積是多少立方米？
解：（1）防洪堤壩的橫斷面積
S=［a+（a+2b）］×a=a2+ab.
故防洪堤壩的橫斷面積為a2+ab平方米；
（2）堤壩的體積V=Sh=（a2+ab）×100=50a2+50ab.
故這段防洪堤壩的體積是（50a2+50ab）立方米.
6.某同學(xué)在計算一個多項式乘以-3x2時，因抄錯運算符號，算成了加上-3x2，得到的結(jié)果是x2-4x+1，那么正確的計算結(jié)果是多少？
解：這個多項式是（x2-4x+1）-（-3x2）=4x2-4x+1
正確的計算結(jié)果是：（4x2-4x+1）·（-3x2）=-12x4+12x3-3x2.
]7.對任意有理數(shù)x、y定義運算如下：x△y=ax+by+cxy，這里a、b、c是給定的數(shù)，等式右邊是通常數(shù)的加法及乘法運算，如當(dāng)a=1，b=2，c=3時，1△3=1×1+2×3+3×1×3=16，現(xiàn)已知所定義的新運算滿足條件，1△2=3，2△3=4，并且有一個不為零的數(shù)d使得對任意有理數(shù)x△d=x，求a、b、c、d的值.
解：∵x△d=x，∴ax+bd+cdx=x，
∴（a+cd-1）x+bd=0，
∵有一個不為零的數(shù)d使得對任意有理數(shù)x△d=x，
則有
∵1△2=3，∴a+2b+2c=3②，
∵2△3=4，∴2a+3b+6c=4③，
又∵d≠0，∴b=0，
∴有方程組解得
故a的值為5,b的值為0,c的值為-1,d的值為4.
【教學(xué)說明】通過不同難度的練習(xí)題，不斷促進學(xué)生思考，運用所學(xué)知識解決新問題，在解決問題的過程中獲得能力的提高.教學(xué)中，教師可以通過靈活的評價方式，激勵學(xué)生挑戰(zhàn)多星題，培養(yǎng)學(xué)生樂于鉆研的精神.
四、師生互動，課堂小結(jié)
單項式與多項式相乘的步驟：
乘法分配律把乘積寫成單項式與單項式乘積的代數(shù)和的形式；
化為單項式的乘法運算;
所得的積相加.
解題時需要注意的問題：
項式乘多項式的積仍是多項式，其項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同；
②單項式分別與多項式的每一項相乘時,要注意積的各項符號的確定，多項式中的每一項前面的符號是性質(zhì)符號，同號相乘得正，異號相乘得負(fù)，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式；
項式要乘以多項式的每一項，不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象；
④混合運算中，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項.
五、教學(xué)板書
1.布置作業(yè):教材“習(xí)題1.7”中第1、2題.
2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí).
這一章的教學(xué)是以習(xí)題訓(xùn)練為主的，知識前后聯(lián)系緊密，層層遞進，教學(xué)時注意選擇了有層次的例題和練習(xí)，更主要的是滲透了類比、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想方法.課堂上充分利用學(xué)習(xí)小組，組織學(xué)生開展合作學(xué)習(xí)，教師通過對小組進行評價，激發(fā)學(xué)生的競爭意識，讓課堂學(xué)習(xí)更高效.

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