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2024北京朝陽外國語學校初二（上）期中
數 學
一、選擇題
1．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．點 P（﹣3，6）關于 x軸對稱的點 P′的坐標是（ ）
A．P′（3，6） B．P′（﹣3，﹣6） C．P′（3，﹣6） D．P′（6，﹣3）
3．三條公路將 A、B、C 三個村莊連成一個如圖的三角形區域，如果在這個區域內修建一個集貿市場，要
使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是（ ）
A．三條高線的交點
B．三條中線的交點
C．三條角平分線的交點
D．三邊垂直平分線的交點
4．下列說法錯誤的是（ ）
A．直角三角形兩銳角互余
B．直角邊、斜邊分別相等的兩個直角三角形全等
C．如果兩個三角形全等，則它們一定是關于某條直線成軸對稱
D．與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
5．如圖，直線 MN是四邊形 AMBN的對稱軸，點 P是直線 MN上的點，下列判斷錯誤的是（ ）
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
6．如圖，直線 a∥b，直線 l與直線 a，b分別交于點 A，B，點 C在直線 b上，且 CA＝CB．若∠1＝32°，
則∠2 的大小為（ ）
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A．32° B．58° C．74° D．106°
7．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點 E在邊 AC上，AE的中垂線交 BC于點 D，若∠ADE＝∠B，CD＝
3BD，則 CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．如圖，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交 BC于點G，BD平分∠ABC交 AC于點D，AG、BD
相交于點 F，BE⊥AG交 AG的延長線于點 E，連接 CE，下列結論中正確的有（ ）
①若∠BAD＝70°，則∠EBC＝5°；②BE＝CE；③AB＝BG+AD；④ ．
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③
二、填空題（共 24分，每小題 3分。）
9．工人師傅蓋房子時，常將房梁設計如圖所示的圖形，使其牢固不變形，這是利用 性．
10．學了全等三角形的判定后，小明編了這樣一個題目：“已知：如圖，AD＝AC，BC＝BD，∠CAB＝∠
DAB，求證：△ABD≌△ABC．”
老師說他的已知條件給多了，那么可以去掉的一個已知條件是： ．
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11．若一個多邊形的內角和等于 1260°，它是 邊形，從這個多邊形的一個頂點出發共有 條對
角線．
12．如果等腰三角形一邊長為 3，另一邊長為 8，那么它的周長是 ．
13．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，MN經過點O，且MN
∥BC，MN分別交 AB、AC于點 M、N，則△AMN的周長是 ．
14．如圖，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交 BC于點 D，且 DA＝DB．若 CD＝3，則 BC
＝ ．
15．如圖，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，點 D為邊 BC上一點，將△ADC沿直線 AD折疊后，點 C
落到點 E處，若 DE∥AB，則∠ADC的度數為 ．
16．如圖，已知∠MON，在邊 ON 上順次取點 P1，P3，P5…，在邊 OM 上順次取點 P2，P4，P6…，使得
OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…
（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一個等腰三角形是 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，則∠MON 的度數 α 的取值范圍
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是 ．
三、解答題（共 52分，17題 8分，18題-23題，每題 5分，24題 7分，25題 7分。）
17．計算：
①a a2 （﹣a）3；
②（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2 x2．
18．如圖，C是 AB的中點，CD∥BE，CD＝BE，連接 AD，CE．求證：AD＝CE．
19．已知：如圖，點 C在∠MON的邊 OM上．
求作：射線 CD，使 CD∥ON，且點 D在∠MON的角平分線上．
作法：①以點 O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交射線 OM，ON于點 A，B；②分別以點 A，B為圓
心，大于 的長為半徑畫弧，交于點 Q；③畫射線 OQ；④以點 C 為圓心，CO 長為半徑畫弧，交射
線 OQ于點 D；⑤畫射線 CD．射線 CD就是所求作的射線．
（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD＝ ．
∵OC＝CD，
∴∠MOD＝ ．
∴∠NOD＝∠CDO．
∴CD∥ON（ ）（填推理的依據）．
20．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為 BC邊上一點，DA平分∠CDE，且 AB＝AE，若 CD＝2，BD
＝3，求 DE的長．
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21．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點 A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面積是 ；
（2）已知△ABC與△A1B1C1 關于 y軸對稱，△A1B1C1 與△A2B2C2 關于 x軸對稱，請在坐標系中畫出△
A1B1C1和△A2B2C2；
（3）在 y軸有一點 P，使得△PA1B2周長最短，請畫出點 P的位置（保留畫圖的痕跡）．
22．下面是小明同學證明定理時使用的兩種添加輔助線的方法，請你先補全已知求證，并選擇其中一種方
法，完成證明．
定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于 30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°， ．
求證： ．
方法一 方法二
證明：如圖，延長BC到點D，使得CD＝BC，連接 證明：如圖，在線段 AB 上取一點 D，使得 BD＝
AD． BC，連接 CD．
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23．我們把過三角形的一個頂點且能將這個三角形分割成兩個等腰三角形的線段稱為該三角形的“等腰線
段”，例如：等腰直角三角形斜邊上的中線為該三角形的“等腰線段”．
（1）①如圖 1，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，請你在這個三角形中畫出它的“等腰線段”，并
標出所分得的各等腰三角形頂角的度數；
②如圖 2，等邊三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰線段”．
（2）如圖 3，∠EFP＝50°，點 G 在射線 FP 上，若△EFG 存在“等腰線段 EH”，則∠EGF 的度數
為 ．
24．在△ABC中，AB＜AC，點 D在△ABC的內部，CD＝AB，∠DBA＝∠DCA．
（1）如圖 1，線段 BD的延長線交 AC于點 E，且 BE⊥AC．
①求∠DAE的度數；
②用等式表示線段 AC，BD，DE之間的數量關系，直接寫出結果；
（2）如圖 2，點 F在線段 DB的延長線上，連接 CF交射線 AD于點 M，且 M為 CF的中點．求證：DF
＝AC．
25．在平面直角坐標系 xOy中，點 P，Q分別在線段 OA，OB上，如果存在點M使得MP＝MQ，∠MPQ＝
∠AOB（M，P，Q逆時針排列），則稱點M是線段PQ的“關聯點”如圖1，點M是線PQ的“關聯點”．
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（1）如圖 2，已知點 A（4，4），B（8，0），點 P與點 A重合．
①當點Q是線段OB中點時，在M1（3，2），M2（6，2）中，其中是線段PQ的“關聯點”的是 ；
②已知點 M（8，4）是線段 PQ的“關聯點”，則點 Q的坐標是 ．
（2）如圖 3，已知 OA＝OB＝4，∠AOB＝60°．
①當點 P與點 A重合，點 Q在線段 OB上運動時（點 Q不與點 O重合），若點 M是線段 PQ的“關聯
點”，求證：BM∥OA；
②當點 P，Q分別在線段OA，OB上運動時，直接寫出線段 PQ的“關聯點”M形成的區域的周長．
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