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第19章綜合素質(zhì)評價(jià)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)
1．[2024·六安模擬]下列度數(shù)可能是n邊形內(nèi)角和的是(　　)
A．300° B．550° ．900° D．960°
2．[2024·黃山期中]下列命題的逆命題是假命題的是(　　)
A．矩形的對角線相等 B．對角線相等的四邊形是正方形
C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D．菱形的對角線互相垂直平分
3．[2024·臺(tái)州期末]如圖，在“V”字形圖形中，DE＝DF，BE＝CF，CF∥DE∥AB，BE∥DF∥AC，若要求出這個(gè)圖形的周長，則需添加的一個(gè)條件是(　　)
A．BE的長 B．DE的長 C．AB的長 D．AB與BE的和
4．[2024·黃山校級期中]如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE延長線上一點(diǎn)，且∠AFC＝90°，若BC＝m，DF＝n，則AC＝(　　)
A．n－m B. C．2n－m D．2m－n
5．如圖，在正五邊形ABCDE中，AD，CE相交于點(diǎn)F，連接BF，則∠CFD－∠CFB＝(　　)
A．14° B．16° C．18° D．20°
6．[2024·亳州期中]如圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，連接DF，若S正方形ABCD＝6，BG＝2EF，則DF的長為(　　)
A．2 B. C．3 D．2
7．[2024·合肥二模]如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為BC的中點(diǎn)，OE⊥OC于點(diǎn)O，點(diǎn)F是EC的中點(diǎn)，OF⊥BD于點(diǎn)O，CD＝2，則OF的長為(　　)
A．1 B. C. D.
8．[2024·蚌埠期中]如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.點(diǎn)P在線段AB上，連接CP.以下說法不正確的是(　　)
A．當(dāng)AP＝時(shí)，△CPB是直角三角形
B．當(dāng)AP＝時(shí)，△CPB是等腰三角形
C．當(dāng)AP＝1時(shí)，△CPB是等腰三角形 D．當(dāng)AP＝時(shí)，CP平分∠ACB
9．[2024·滁州期中]如圖，Rt△ABD和Rt△BCD的斜邊重合，AB＝AD，CD＝2BC，AC與BD交于點(diǎn)O，M，N分別為AC，BD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)
A．NM⊥AC B．MN＝AC C．BC＝AC D．OB＝OD
10．[2024·合肥一模]如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且使得△ACP的面積為3，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，則PB＋PQ的最小值為(　　)
A.
B.
C.
D.＋3
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)
11．如圖，它直觀驗(yàn)證了多邊形的一條性質(zhì)，即：___________________________.　　
12．[2024·蚌埠二模]如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AE于點(diǎn)G，若EG＝EC，則DE的長為________．
13．如圖，在邊長為3的正方形ABCD的外部作等腰直角三角形AEF，連接DE，BF，BD，若AE＝1，則DE2＋BF2＝________．
14．[2024·阜陽期中]綜合與實(shí)踐課，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．
操作一：如圖，對折正方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開；
操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP所在直線折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展開，連接PM，并延長PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ，BM.
根據(jù)以上操作，回答下列問題：
(1)∠PBQ＝________；
(2)若正方形紙片ABCD的邊長為8 cm，當(dāng)FQ＝2 cm時(shí)，AP＝________cm.
三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15．[2024·濟(jì)南一模]如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE并延長，交CD的延長線于點(diǎn)F.求證：DF＝CD.
16．[2024·渭南期中]如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于O，E，F(xiàn)分別是OC，BC的中點(diǎn)．若EF＝5 cm，求AC的長．
四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
17．[2024·宿遷模擬]小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD，求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．
小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD，CB＝CD.∴四邊形ABCD是菱形. 小潔:這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明.
你贊同小惠的證法嗎？若贊同小潔的說法，請你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．
18．[2024·阜陽期中]如圖，在正方形網(wǎng)格中作出以A，B，C，D為頂點(diǎn)的正方形，其中格點(diǎn)(即網(wǎng)格線的交點(diǎn))A，B已給出．(要求：畫出2個(gè)不同的正方形)
五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)
19．問題情境：通過對《四邊形》一章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識(shí)到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們除了具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有各自的特殊性質(zhì)．根據(jù)它們的特殊性，得到了這些特殊的平行四邊形的判定定理．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師給出了一道題：如圖①，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DP∥OC，且DP＝OC，連接CP.
【初步探究】(1)判斷四邊形CODP的形狀，并說明理由．
【深入探究】(2)如圖②，若四邊形ABCD是菱形，(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
【拓展延伸】(3)如圖③，若四邊形ABCD是正方形，四邊形CODP又是什么特殊的四邊形？請說明理由．
20．[2024·南平期中]如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O.在線段AO上任取一點(diǎn)P(端點(diǎn)除外)，連接PD，PB.
(1)求證：PD＝PB.
(2)若點(diǎn)P是線段AO上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是BA延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且PD＝PQ，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？若沒變化，猜想∠DPQ的度數(shù)，并給予證明．
六、(本題滿分12分)
21．折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)．
(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，將正方形ABCD沿直線BE對折，使點(diǎn)A落在平面內(nèi)的點(diǎn)A′處，連接A′C.若∠ABE＝30°，則∠A′BC＝________．
(2)【解決問題】如圖②，第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開．
第二步：如圖③，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，把紙片展開，折痕EN所在直線是否是線段AB的垂直平分線？連接AN，圖③中△ABN是什么特殊三角形？請寫出解答過程．
(3)【拓展應(yīng)用】已知在矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝6 cm，點(diǎn)P在邊AD上，將△ABP沿著直線BP折疊，若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在矩形ABCD的對稱軸上，則AP的長為________．
七、(本題滿分12分)
22．[2024·濰坊一模]“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，有著廣泛的應(yīng)用．
例：求＋(0＜x＜4)的最小值．
解題思路：如圖①，作線段BC，分別構(gòu)造直角邊為1，x和4－x，2的兩個(gè)直角三角形，當(dāng)點(diǎn)A，D，E在一條直線上時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)之間的線段，易知AF＝3，EF＝4，∴在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE＝＝5，∴求得的最小值為5.
【類比求值】(1)類比上面的解題思路，完成下面的填空：
①＋(0＜x＜12)的最小值為________；
②＋(a，b，c為正數(shù)，0＜x＜c)的最小值為_________．
【解決問題】(2)如圖②，在矩形花園ABCD中，AB＝30米，BC＝80米，計(jì)劃要鋪設(shè)BE，EC兩條小路，點(diǎn)E在AD上．要使BE＋EC最小，設(shè)AE＝x米．
①若用(1)中的結(jié)論，則BE＋EC的最小值為________．
②若不用(1)中的結(jié)論，你還有其他解決方案嗎？請寫下來．
八、(本題滿分14分)
23．[2024·朔州三模]綜合與實(shí)踐
【問題情境】
　已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是直角三角尺的直角頂點(diǎn)．
(1)如圖①，將點(diǎn)P放在正方形ABCD的頂點(diǎn)A處，三角尺的兩條直角邊分別與CD，CB的延長線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則PE與PF之間的數(shù)量關(guān)系為_____________．
【操作發(fā)現(xiàn)】
(2)如圖②，將點(diǎn)P放在正方形ABCD的對角線AC上，三角尺的兩條直角邊分別與CD，CB的延長線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
【拓廣探索】
(3)如圖③，將點(diǎn)P放在正方形ABCD的邊BC上(不包含點(diǎn)B，C)，三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)A，另一條直角邊與正方形的外角∠DCH的平分線CG相交于點(diǎn)E，試判斷PA與PE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
答案
一、1.C
2．A　【點(diǎn)撥】A、逆命題為：對角線相等的四邊形是矩形，是假命題，故符合題意；B、逆命題為：正方形的對角線相等，是真命題，故不符合題意；C、逆命題為：平行四邊形的對角線互相平分，是真命題，故不符合題意；D、逆命題為：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，是真命題，故不符合題意．
3．C　【點(diǎn)撥】如圖，延長ED，F(xiàn)D分別交AC，AB于點(diǎn)G，H.
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∵CF∥DE∥AB，BE∥DF∥AC，
∴四邊形BEDH、四邊形CFDG、四邊形AGDH都是平行四邊形．
又∵DE＝DF，BE＝CF，
∴HB＝ED＝FD＝CG，GA＝DH＝BE＝CF＝DG＝AH，
∴BH＋AH＝CG＋AG，即AB＝AC，
∴圖形的周長為EB＋ED＋DF＋FC＋CA＋AB＝AG＋CG＋BH＋AH＋AC＋AB＝2AC＋2AB＝4AB，
∴需要知道AB的長即可．
4．C
5．C　【點(diǎn)撥】∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠BCD＝∠AED＝∠CDE＝＝108°，AE＝DE＝CD＝BC.
∴∠EAD＝∠EDA＝＝36°，∠DCE＝∠DEC＝＝36°.
∴∠CFD＝∠CED＋∠EDA＝72°，∠BCF＝∠BCD－∠DCE＝72°，∠CDF＝∠CDE－∠EDF＝72°.
∴∠CDF＝∠CFD.∴CD＝CF.∴CF＝CB.
∴∠CFB＝＝54°.
∴∠CFD－∠CFB＝18°.
6．B　【點(diǎn)撥】由題意得BG＝AF.
∵BG＝2EF，∴EF＝BG＝AF.
又∵DE⊥AF，∴DE垂直平分AF.
∴DF＝AD.
∵S正方形ABCD＝6，∴DF＝AD＝.
7．D　【點(diǎn)撥】∵OE⊥OC，∴∠EOC＝90°.又∵F是EC的中點(diǎn)，∴OF＝EF＝CF.
設(shè)OF＝EF＝CF＝x.
∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝2x.
∴BF＝3x.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD.
又∵E為BC的中點(diǎn)，∴OE∥CD，OE＝CD＝1.
∴∠ACD＝∠EOC＝90°.
∵OB＝OD，OF⊥BD，
∴BF2－OF2＝OC2＋CD2.
又∵OC2＝CE2－OE2，
∴(3x)2－x2＝(2x)2－12＋22，
解得x＝(負(fù)值已舍去)，
即OF＝.
8．D　【點(diǎn)撥】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，如圖①.
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5.
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴×3×4＝×5×CD，
解得CD＝，
∴AD＝＝＝，
∴當(dāng)AP＝時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，此時(shí)△CPB是直角三角形，∴A正確，不符合題意；
當(dāng)AP＝時(shí)，如圖②.
∵AB＝5，AP＝，
∴BP＝AB－AP＝，
∴AP＝BP，即點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，
∴CP是Rt△ACB斜邊上的中線，
∴CP＝AP＝BP，
∴△CPB是等腰三角形，∴B正確，不符合題意；
當(dāng)AP＝1時(shí)，如圖③.
∵AB＝5，AP＝1，
∴BP＝AB－AP＝4，
∴BP＝BC，
∴△CPB是等腰三角形，
∴C正確，不符合題意；
若CP平分∠ACB，過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，如圖④，則PM＝PN.
∵S△ABC＝AC·BC＝AC·PM＋BC·PN，
∴×3×4＝×3×PM＋×4×PM＝PM，
解得PM＝，∴PN＝.易得MC＝PN＝，
∴AM＝AC－MC＝3－＝，
∴AP＝＝＝，
即當(dāng)AP＝時(shí)，CP平分∠ACB，∴D不正確，符合題意．
9．D　【點(diǎn)撥】如圖，連接NA，NC.
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，N為BD的中點(diǎn)，
∴NA＝BD，NC＝BD.
∴NA＝NC.
又∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，
∴MN⊥AC.
∴A正確，不符合題意．
如圖，延長CD至E，使得DE＝BC，連接AE.
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ADE＋∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE.
又∵AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴AE＝AC，∠DAE＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴CE＝AC，
∴BC＋CD＝DE＋CD＝CE＝AC.
又∵CD＝2BC，∴3BC＝AC，
∴BC＝AC，∴C正確，不符合題意．
設(shè)BC＝a，則CD＝2a，∴BD＝a，
∴AN＝BD＝a.
∵BC＝AC，∴AC＝a.
∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴AM＝AC＝a.
∴在Rt△ANM中，MN＝＝a，
∴＝，
∴B正確，不符合題意．
從現(xiàn)有條件無法推導(dǎo)出選項(xiàng)D，∴D符合題意．
10．C　【點(diǎn)撥】∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6.
如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AC，交AC于點(diǎn)D.
∵△ACP的面積為3，S△ACP＝×AC×PD，
∴PD＝1.
如圖，過點(diǎn)P作直線l∥AC，則點(diǎn)D到直線l的距離為1，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)且在△ABC內(nèi)，
∴點(diǎn)B到直線l的距離為7.
如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)E，連接PE，EQ，∴EP＝BP，BE＝14，
∴PB＋PQ＝EP＋PQ≥EQ，即EQ為PB＋PQ的最小值．
過Q作QF⊥BC，交BC于點(diǎn)F，連接CQ.
∵點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，
∴BQ＝AQ＝CQ＝5.
∵QF⊥BC，∴CF＝BF＝BC＝4.
∴QF＝＝3.
∵BE＝14，BF＝4，∴EF＝10，
∴EQ＝＝.
∴PB＋PQ的最小值為.
二、11.多邊形的外角和為360°
12．0.75
13．20　【點(diǎn)撥】如圖，連接BE，DF交于點(diǎn)O.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝3，∠DAB＝90°.
∴BD2＝2AD2＝18.
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE＝1，∠EAF＝90°，
∴EF2＝2AE2＝2，∠EAF＋∠FAB＝∠DAB＋∠FAB，即∠EAB＝∠FAD，
∴△FAD≌△EAB(SAS)，
∴∠AFD＝∠AEB.
∵∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠AEB＋∠BEF＋∠AFE＝∠BEF＋∠AFE＋∠AFD＝∠BEF＋∠EFD＝90°，
∴∠EOF＝90°，即BE⊥DF，
∴EO2＋FO2＝EF2，DO2＋BO2＝BD2，EO2＋DO2＝DE2，F(xiàn)O2＋BO2＝BF2，
∴DE2＋BF2＝EF2＋BD2＝2＋18＝20.
14．(1)45°　(2)或　【點(diǎn)撥】(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC.由折疊的性質(zhì)知∠BMP＝∠A＝90°，∠ABP＝∠MBP，AB＝BM，∴BC＝BM，∠BMQ＝90°＝∠C.又∵BQ＝BQ，∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)，∴∠MBQ＝∠CBQ，∴∠PBQ＝∠PBM＋∠MBQ＝(∠ABM＋∠MBC)＝∠ABC＝45°.
(2)∵四邊形ABCD是邊長為8 cm的正方形，∴AD＝CD＝8 cm.
由折疊的性質(zhì)可得DF＝CF＝CD＝4 cm，AP＝PM.
∵Rt△BQM≌Rt△BQC，
∴MQ＝CQ.
當(dāng)點(diǎn)Q在線段CF上時(shí)，∵FQ＝2 cm，
∴MQ＝CQ＝2 cm，DQ＝6 cm.
∴PQ＝PM＋2＝(AP＋2)cm.
∵PQ2＝PD2＋DQ2，
∴(AP＋2)2＝(8－AP)2＋62，∴AP＝ cm；
當(dāng)點(diǎn)Q在線段DF上時(shí)，如圖．
∵FQ＝2 cm，
∴MQ＝CQ＝6 cm，DQ＝2 cm，∴PQ＝PM＋6＝(AP＋6)cm.
∵PQ2＝PD2＋DQ2，
∴(AP＋6)2＝(8－AP)2＋22，
∴AP＝ cm.
綜上所述，AP的長為 cm或 cm.
三、15.【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠F.
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE.
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，
∴AB＝DF，∴DF＝CD.
16．【解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，BD＝2OB.
∵E，F(xiàn)分別是OC，BC的中點(diǎn)，
∴EF是△OCB的中位線，
∴OB＝2EF＝2×5＝10(cm)，
∴BD＝2OB＝20 cm，∴AC＝BD＝20 cm.
四、17.【解】不贊同小惠的證法，贊同小潔的說法，補(bǔ)充：AB＝CB(答案不唯一)．
證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD.
∴AB＝AD，CB＝CD.
又∵AB＝CB，∴AB＝AD＝CB＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
18．【解】如圖①②所示．
五、19.【解】(1)四邊形CODP是菱形．理由如下：
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四邊形CODP是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，
∴OC＝OD，
∴四邊形CODP是菱形．
(2)(1)中的結(jié)論不成立．理由如下：
同(1)，得四邊形CODP是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，∴四邊形CODP是矩形．
(3)四邊形CODP是正方形．理由如下：
同(1)，得四邊形CODP是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC，
∴四邊形CODP是正方形．
20．(1)【證明】∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCB＝90°.
∵AC是對角線，
∴∠DCA＝∠BCA＝45°.
又∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP，∴PD＝PB.
(2)【解】∠DPQ的大小不發(fā)生變化，猜想∠DPQ＝90°.
證明：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為M，N，如圖，則∠PMA＝∠PNA＝90°.易知AC是∠DAB的平分線，∴PM＝PN.
∴易得四邊形AMPN是正方形，
∴∠MPN＝90°.
∵PD＝PQ，PM＝PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)．
∴∠DPN＝∠QPM.
∴∠DPQ＝∠QPN＋∠DPN＝∠QPN＋∠QPM＝∠MPN＝90°.
六、21.【解】(1)30°
(2)折痕EN所在直線是線段AB的垂直平分線，△ABN是等邊三角形，
理由：∵對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，
∴AE＝BE，AB⊥EF，∴EN垂直平分AB.∴AN＝BN.
由折疊的性質(zhì)可得AB＝BN.
∴AB＝BN＝AN，∴△ABN為等邊三角形．
(3)3 cm或 cm　【點(diǎn)撥】如圖①，當(dāng)點(diǎn)A′在BC上時(shí)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°.
由折疊可知：A′B＝AB＝3 cm，∠BA′P＝∠A＝90°.
∵BC＝6 cm，∴A′C＝3 cm＝A′B.
∴點(diǎn)A′是BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)A′在矩形ABCD的對稱軸上．
∵∠A＝∠ABA′＝∠BA′P＝90°，A′B＝AB，
∴四邊形ABA′P是正方形，∴AP＝BA′＝3 cm.
如圖②，當(dāng)點(diǎn)A′落在矩形ABCD的對稱軸EF上時(shí)，連接AA′，
由(2)可知：△ABA′是等邊三角形，
∴∠ABA′＝60°，∴易得∠ABP＝∠A′BP＝30°，∴BP＝2AP.
∵BP2＝AP2＋AB2，AB＝3 cm，
∴AP＝ cm(負(fù)值已舍去)．
綜上所述，AP的長為3 cm或 cm.
七、22.【解】(1)①13
②
(2)①100米　【點(diǎn)撥】∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝BC＝80米，CD＝AB＝30米．
∵AE＝x米，∴DE＝(80－x)米，
由勾股定理，得BE＝＝(米)，CE＝＝(米)，
∴BE＋CE＝＋(米)．
由(1)中結(jié)論可得：BE＋CE的最小值為＝100(米)．
②如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B′，連接B′E，B′C，
則AB′＝AB＝30米，B′E＝BE，∴BE＋CE＝B′E＋CE≥B′C，
BB′＝60米．
∴當(dāng)B′，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，BE＋CE的值最小，最小值為B′C的長．
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴B′C＝＝100米，
∴BE＋CE的最小值為100米．
八、23.【解】(1)PE＝PF　【點(diǎn)撥】∵四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，
∴PB＝PD，∠BPD＝∠D＝∠PBC＝90°.
∴∠PBF＝90°＝∠D.
由題意，得∠EPF＝90°.
∴∠FPE－∠BPE＝∠DPB－∠BPE，
即∠FPB＝∠EPD.
在△PED和△PFB中，
∴△PED≌△PFB(ASA)．∴PE＝PF.
(2)成立．理由如下：
如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥DC于點(diǎn)N，
則∠PMC＝∠PNE＝∠PMF＝90°.
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD＝90°，CA為∠BCD的平分線，
∴PN＝PM，∠MPN＝360°－∠PMC－∠PNE－∠BCD＝90°.
∵∠EPF＝90°，
∴∠MPN＝∠EPF，
∴∠MPN－∠MPE＝∠EPF－∠MPE，
即∠NPE＝∠MPF.
在△PEN和△PFM中，
∴△PEN≌△PFM(ASA)．∴PE＝PF.
(3)PA＝PE.理由如下：
如圖，在BA上截取BF＝BP，連接PF，
則∠BFP＝∠BPF.
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°， AB＝BC，
∴∠DCH＝180°－∠BCD＝90°，∠BFP＝45°，
AB－BF＝BC－BP，即AF＝PC.
∴∠AFP＝180°－∠BFP＝135°.
∵CG是∠DCH的平分線，
∴∠DCG＝∠DCH＝45°，
∴∠PCE＝∠BCD＋∠DCG＝135°，
∴∠AFP＝∠PCE.
∵∠APE＝90°，∴∠APB＋∠CPE＝90°.
∵∠ABC＝90°，∴∠APB＋∠FAP＝90°，
∴∠FAP＝∠CPE.
在△AFP和△PCE中，
∴△AFP≌△PCE(ASA)，∴PA＝PE.

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