資源簡(jiǎn)介

第17章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿(mǎn)分40分)
1．下列方程中，是一元二次方程的是(　　)
A．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0 B．(x－1)(x－3)＝x2
C．－x2＝0 D.＋3x－5＝0
2．[2024·濟(jì)南]若關(guān)于x的方程x2－x－m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　(　　)
A．m<－ B．m>－ C．m<－4 D．m>－4
3．[2024·聊城二模]用配方法解一元二次方程x2＋6x＋3＝0時(shí)，將它化為(x＋m)2＝n的形式，則m－n的值為(　　)
A．3 B．0 C．－1 D．－3
4．[2024·煙臺(tái)期中]若x＝－1是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)的一個(gè)根，則2 023－3a＋3b的值等于(　　)
A．2 027 B．2 024 C．2 025 D．2 026
5．[2024·合肥校級(jí)期中]據(jù)初步統(tǒng)計(jì)，合肥園博園自2023年9月26日開(kāi)園至12月26日，累計(jì)接待游客約632萬(wàn)人次，假設(shè)第1個(gè)月接待游客約105萬(wàn)人次，如果每月接待游客人次的增長(zhǎng)率相同，設(shè)增長(zhǎng)率為x，則可列方程為(　　)
A．105＋105(1＋x)＋105(1＋2x)＝632 B．105(1＋x)2＝632
C．105＋105(1＋x)＋105(1＋x)2＝632 D．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝632
6．《代數(shù)學(xué)》中記載，形如x2＋8x＝33的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖①，先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為2x的長(zhǎng)方形，得到大正方形的面積為33＋16＝49，則該方程的正數(shù)解為7－4＝3.”小唐按此方法解關(guān)于x的方程x2＋12x＝m時(shí)，構(gòu)造出如圖②所示的圖形，已知陰影部分的面積為64，則該方程的正數(shù)解為(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
7．若關(guān)于x的一元二次方程(m＋2)x2＋(2m＋1)x＋m＝0有解，則m的取值范圍是(　　)
A．m< B．m<且m≠－2 C．m≤ D．m≤且m≠－2
8．已知x1，x2是方程x2－x－2 026＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x31－2 026x1＋x22的值為(　　)
A．4 053 B．4 052 C．2 026 D．1
9．若分式方程＋＝無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的值是(　　)
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
10．[2024·杭州期中]對(duì)于代數(shù)式ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c為常數(shù))，下列說(shuō)法正確的是(　　)
①若b2－4ac＝0，則ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
②存在三個(gè)實(shí)數(shù)m，n，h(m≠n≠h)，使得am2＋bm＋c＝an2＋bn＋c＝ah2＋bh＋c；
③若ax2＋bx＋c＋2＝0與方程(x＋2)(x－3)＝0的解相同，則a＋b＝0.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分)
11．關(guān)于x的方程(a－3)xa2－7－3x－2＝0是一元二次方程，則a＝________．
12．三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2－6x＋8＝0的解，則此三角形的周長(zhǎng)是________．
13．[2024·合肥蜀山區(qū)期末]為了節(jié)省材料，某農(nóng)場(chǎng)水產(chǎn)養(yǎng)殖戶(hù)利用水庫(kù)的岸堤(岸堤足夠長(zhǎng))為一邊，用總長(zhǎng)為120米的圍網(wǎng)在水庫(kù)中圍成了如圖所示的①、②、③三塊長(zhǎng)方形區(qū)域，且這三塊長(zhǎng)方形區(qū)域的面積都為225平方米，則圖中a的值為_(kāi)_______．
14. INCLUDEPICTURE "../../H新視角新定義題.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE \d "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\25春 典中點(diǎn) 8 數(shù)學(xué) HK安徽（\\H新視角新定義題.EPS" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../H新視角新定義題.EPS" \* MERGEFORMAT \d 如果一個(gè)三位自然數(shù)abc的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且使得關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么稱(chēng)這個(gè)三位數(shù)為該方程的“等根數(shù)”．例如：三位數(shù)441是方程4x2＋4x＋1＝0的“等根數(shù)”，則關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的最小“等根數(shù)”是________；如果m是關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的“等根數(shù)”，記F(m)＝a2＋b2＋c2，G(m)＝a－c，若是整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的m的最大值是________．
三、(本大題共2小題，每小題8分，滿(mǎn)分16分)
15．[2024·合肥期中]解方程：
(1)3x2－6x＋1＝0(用配方法); · (2)x(x－1)＝x.
16．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.
(1)求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)若方程有一個(gè)根為－2，求m的值．
四、(本大題共2小題，每小題8分，滿(mǎn)分16分)
17. INCLUDEPICTURE "../../H新視角新定義題.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE \d "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\25春 典中點(diǎn) 8 數(shù)學(xué) HK安徽（\\H新視角新定義題.EPS" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../H新視角新定義題.EPS" \* MERGEFORMAT \d 對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，我們定義一種運(yùn)算“※”：m※n＝mn＋m＋n，例如：1※2＝1×2＋1＋2＝5.
(1)化簡(jiǎn)：1※x；
(2)解關(guān)于x的方程：x※(1※x)＝3.
18．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，△ABC的周長(zhǎng)為11，且有(BC＋1)2＝4AB，求△ABC的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)．
五、(本大題共2小題，每小題10分，滿(mǎn)分20分)
19. INCLUDEPICTURE "../../h新視角規(guī)律探究題.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE \d "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\25春 典中點(diǎn) 8 數(shù)學(xué) HK安徽（\\h新視角規(guī)律探究題.EPS" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../h新視角規(guī)律探究題.EPS" \* MERGEFORMAT \d 已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋4x－2a＝0.
(1)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍；
(2)在(1)中，設(shè)x1，x2是該方程的兩個(gè)根，且2x1＋2x2－3x1x2＝0，求a的值．
20．[2024·合肥二模]高樂(lè)同學(xué)在手工課上利用等邊三角形、白色正方形和灰色正方形按一定規(guī)律搭建圖形(如圖)，觀察圖形，回答下列問(wèn)題：
(1)圖①中的灰色正方形的個(gè)數(shù)為1＋1＝1＋；
圖②中的灰色正方形的個(gè)數(shù)為1＋1＋2＝1＋；
圖③中的灰色正方形的個(gè)數(shù)為1＋1＋2＋3＝1＋；
圖④中的灰色正方形的個(gè)數(shù)為1＋1＋2＋3＋4＝1＋；…；
則圖中的灰色正方形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____________________________；
(2)圖①中，白色正方形比灰色正方形多1個(gè)；圖②中，白色正方形比灰色正方形多2個(gè)；圖③中，白色正方形比灰色正方形多3個(gè)；…；則圖中的白色正方形有________個(gè)；
(3)若圖中灰色正方形比等邊三角形多45個(gè)，求圖中白色正方形的個(gè)數(shù)．
六、(本題滿(mǎn)分12分)
21．“網(wǎng)絡(luò)直播帶貨”已經(jīng)成為時(shí)尚的銷(xiāo)售方式，某帶貨主播準(zhǔn)備銷(xiāo)售一種防護(hù)品，進(jìn)貨價(jià)格為每件20元，并且每件的售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)．經(jīng)過(guò)初期試銷(xiāo)售調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每周的銷(xiāo)售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間滿(mǎn)足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
(1)求每周的銷(xiāo)售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式．(不必寫(xiě)出自變量的取值范圍)
(2)物價(jià)部門(mén)規(guī)定，該防護(hù)品每件的利潤(rùn)不得高于進(jìn)貨價(jià)的70%，該帶貨主播銷(xiāo)售這種防護(hù)品每周的總利潤(rùn)要想達(dá)到3 360元，那么每件的售價(jià)應(yīng)定為多少元？
七、(本題滿(mǎn)分12分)
22．根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)
探索果園土地規(guī)劃和銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題
素材1 某農(nóng)戶(hù)承包了一塊長(zhǎng)方形果園ABCD，如圖是果園的平面圖，其中AB＝200 m，BC＝300 m．準(zhǔn)備在它的四周鋪設(shè)道路，上下兩條橫向道路的寬度都為2x m，左右兩條縱向道路的寬度都為x m，中間部分種植水果．已知道路的路面造價(jià)是50元/m2；出于貨車(chē)通行等因素的考慮，縱向道路的寬度不超過(guò)12 m，且不小于5 m. INCLUDEPICTURE "../../8H17－4.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE \d "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\25春 典中點(diǎn) 8 數(shù)學(xué) HK安徽（\\8H17-4.EPS" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../8H17-4.EPS" \* MERGEFORMAT \d
素材2 該農(nóng)戶(hù)發(fā)現(xiàn)某一種草莓銷(xiāo)售前景比較不錯(cuò)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，草莓培育一年可產(chǎn)果，已知銷(xiāo)售每平方米的草莓的平均利潤(rùn)為100元；果園每年的承包費(fèi)為25萬(wàn)元，期間需一次性投入33萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)新苗，每年還需25萬(wàn)元的養(yǎng)護(hù)、施肥、運(yùn)輸?shù)绕溆噘M(fèi)用.
問(wèn)題解決
任務(wù)1 解決果園中路面寬度的設(shè)計(jì)對(duì)種植面積的影響問(wèn)題. (1)請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍；(2)若中間種植部分的面積是44 800 m2，則路面設(shè)置的寬度是否符合要求？
任務(wù)2 解決果園種植的預(yù)期利潤(rùn)問(wèn)題．(凈利潤(rùn)＝銷(xiāo)售草莓的總利潤(rùn)－路面造價(jià)費(fèi)用－果園承包費(fèi)用－新苗購(gòu)置費(fèi)用－其余費(fèi)用) (3)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示“路面造價(jià)費(fèi)用”為_(kāi)_____________元. (4)經(jīng)過(guò)1年后，該農(nóng)戶(hù)是否可以達(dá)到預(yù)期凈利潤(rùn)為400萬(wàn)元？請(qǐng)說(shuō)明理由.
八、(本題滿(mǎn)分14分)
23. INCLUDEPICTURE "../../H新考法化動(dòng)為定法.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE \d "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\25春 典中點(diǎn) 8 數(shù)學(xué) HK安徽（\\H新考法化動(dòng)為定法.EPS" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../H新考法化動(dòng)為定法.EPS" \* MERGEFORMAT \d 如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.
(1)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2 cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線(xiàn)段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出移動(dòng)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)AB以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線(xiàn)CB以2 cm/s的速度移動(dòng)，P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒，△PBQ的面積為1 cm2
一、1.C　2.B　3.D　4.D　5.C
6．A　【點(diǎn)撥】∵陰影部分的面積為64，
∴x2＋12x＝64.
先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為3x的長(zhǎng)方形，得到大正方形的面積為64＋32×4＝64＋36＝100，則該方程的正數(shù)解為10－6＝4，故選A.
7．D
8．A　【點(diǎn)撥】由題意得x21－x1－2 026＝0，x1＋x2＝1，x1x2＝－2 026，∴x21－2 026＝x1.∴原式＝x1(x21－2 026)＋x22＝x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋
4 052＝4 053.
9．D　【點(diǎn)撥】＋＝.
去分母，得3x－a＋x＝2(x－2)，
去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得2x＝a－4，
兩邊同時(shí)除以2，得x＝.
若原分式方程無(wú)解，則x(x－2)＝0，
解得x＝0或2.
當(dāng)x＝0時(shí)，＝0，解得a＝4；
當(dāng)x＝2時(shí)，＝2，解得a＝8.
∴a＝4或8.故選D.
10．B　【點(diǎn)撥】∵Δ＝b2－4ac＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．∴①正確；
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝k(k為常數(shù))最多有兩個(gè)解，∴②錯(cuò)誤；
方程(x＋2)(x－3)＝0的解為x1＝－2，x2＝3，
將x＝－2代入ax2＋bx＋c＋2＝0，得4a－2b＋c＋2＝0，即4a－2b＝－2－c；
將x＝3代入ax2＋bx＋c＋2＝0，得9a＋3b＋c＋2＝0，即9a＋3b＝－2－c，
∴4a－2b＝9a＋3b，即5a＋5b＝0.
∴a＋b＝0.
∴③正確．故選B.
二、11.－3　12.13　13.30
14．121；882　【點(diǎn)撥】∵abc是方程ax2＋bx＋c＝0的“等根數(shù)”，
∴Δ＝b2－4ac＝0.
∴b2＝4ac，即b＝2.
∵abc為最小“等根數(shù)”，
∴a＝1，b＝2.
∴c＝1.
∴最小“等根數(shù)”是121.
∵b2＝4ac，
∴＝＝＝＝a－c＋.
∵是整數(shù)，∴是整數(shù)．
又∵b＝2，
∴易知a≠9.
當(dāng)a＝8時(shí)，b＝4.∵b為整數(shù)，∴c＝2，滿(mǎn)足是整數(shù)，此時(shí)b＝8.
∴m的最大值是882.
三、15.【解】(1)∵3x2－6x＋1＝0，∴3x2－6x＝－1.
∴x2－2x＝－.
∴x2－2x＋1＝，即(x－1)2＝.
∴x－1＝±，即x1＝，x2＝.
(2)∵x(x－1)＝x，∴x(x－1)－x＝0.
∴x(x－2)＝0.∴x＝0或x－2＝0，
即x1＝0，x2＝2.
16．(1)【證明】∵Δ＝(－m)2－4×1×(－2)＝m2＋8>0，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(2)【解】若方程有一個(gè)根為－2，則(－2)2－(－2)m－2＝0，解得m＝－1.
四、17.【解】(1)由題意得1※x＝x＋1＋x＝2x＋1.
(2)∵x※(1※x)＝3，∴x※(2x＋1)＝3.
∴2x2＋x＋x＋2x＋1＝3，
解得x1＝－1＋，x2＝－1－.
18．【解】設(shè)AB＝AC＝x，則BC＝11－2x.
∵(BC＋1)2＝4AB，∴(11－2x＋1)2＝4x.
整理，得x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9(不合題意，舍去)，
∴AB＝AC＝4，BC＝3.
即腰長(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為3.
五、19.【解】(1)由題意得16＋8a≥0，解得a≥－2，
即a的取值范圍為a≥－2.
(2)由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－＝－4，x1x2＝＝－2a.
∵2x1＋2x2－3x1x2＝0，∴－8－3×(－2a)＝0，
解得a＝.
20．【解】(1)1＋1＋2＋3＋…＋n＝1＋
(2)
(3)由題圖可知，圖中等邊三角形的個(gè)數(shù)為(n＋1)．
∵圖中灰色正方形比等邊三角形多45個(gè)，
∴1＋＝n＋1＋45，
解得n＝10或n＝－9(舍去)．
當(dāng)n＝10時(shí)，＝＝66，
∴圖中白色正方形的個(gè)數(shù)為66.
六、21.【解】(1)由圖象可知每周的銷(xiāo)售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間為一次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)，
將(30，300)，(40，200)的坐標(biāo)代入，
得解得
∴每周的銷(xiāo)售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－10x＋600.
(2)根據(jù)題意得(－10x＋600)(x－20)＝3 360，
整理，得x2－80x＋1 536＝0，
解得x1＝32，x2＝48.
∵該防護(hù)品每件的利潤(rùn)不得高于進(jìn)貨價(jià)的70%，
∴x≤20×(1＋70%)，即x≤34.
∴x＝48不合題意，舍去．∴x＝32.
∴當(dāng)這種防護(hù)品每件的售價(jià)定為32元時(shí)，該帶貨主播銷(xiāo)售這種防護(hù)品每周的總利潤(rùn)可達(dá)到3 360元．
七、22.【解】(1)5≤x≤12.
(2)根據(jù)題意得(300－2x)(200－2×2x)＝44 800，
整理，得x2－200x＋1 900＝0，
解得x1＝10，x2＝190(不符合題意，舍去)．
∵5≤x≤12，∴路面設(shè)置的寬度符合要求．
(3)(－400x2＋80 000x)
(4)可以達(dá)到．理由如下：
100(200－2×2x)(300－2x)－(－400x2＋80 000x)－250 000－330 000－
250 000＝4 000 000，
化簡(jiǎn)，得x2－200x＋975＝0，解得x1＝5，x2＝195(舍去)．
∴可以達(dá)到預(yù)期凈利潤(rùn)為400萬(wàn)元．
八、23.【解】(1)不能．理由如下：
設(shè)經(jīng)過(guò)y s，線(xiàn)段PQ將△ABC分成面積相等的兩部分．∵△ABC的面積＝×6×8＝24(cm2)，
∴(6－y)×2y＝×24，即y2－6y＋12＝0.
∴Δ＝36－4×12＝－12<0，
∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
∴線(xiàn)段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分．
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)m s，△PBQ的面積為1 cm2.易知m≠4或6.
①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CB上，即0≤m＜4時(shí)，依題意有(6－m)(8－2m)＝1，
即m2－10m＋23＝0，
解得m1＝5＋(舍去)，m2＝5－，
∴m＝5－；
②當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，即4解得m1＝m2＝5，
∴m＝5；
③當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，即m>6時(shí)，
依題意有(m－6)(2m－8)＝1，即m2－10m＋23＝0，
解得m1＝5＋，m2＝5－(舍去)，
∴m＝5＋.
綜上所述，經(jīng)過(guò)(5－)s或5 s或(5＋)s，△PBQ的面積為1 cm2.

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