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2024-2025學年度（上）沈陽市五校協作體期末考試
高二年級數學試卷
時間：120分鐘 分數：150分
試卷說明：試卷共兩部分：第一部分：選擇題型（1—11題58分）第二部分：非選擇題型（12—19題92分）
第I卷（選擇題共58分）
一 單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1.直線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2已知向量，若，則（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
3.在的二項展開式中，只有第四項的二項式系數最大，則展開式的項數是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
4.直線與直線平行，則實數值為（ ）
A.1 B.1或C. D.或2
5.用紅，黃，藍三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數是（ ）
A.12 B.24 C.30 D.36
6.已知圓，圓，其中，若兩圓外切，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
7.在棱長為2的正方體中，點是側面正方形內的動點，點是正方形
的中心，且與平面所成角的正弦值是，則動點的軌跡圖形的面積為（ ）
A. B. C. D.
8.過雙曲線的右焦點向其一條漸近線作垂線，垂足為與另一條漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A.2 B. C. D.
二 多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）
9.下列說法命題正確的是（ ）
A.已知，則在上的投影向量為
B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則
C.已知三棱錐，點為平面上的一點，且
D.若向量（是不共面的向量）則稱在基底下的坐標為，若在基底下的坐標為，則在基底下的坐標為
10.過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，交其準線于點在線段上，若，且為原點則下列說法正確的是（ ）
A.
B.以為直徑的圓與準線相切
C.直線斜率為
D.
11.2022年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”.伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布 伯努利用來描述他所發現的曲線.定義在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于定值的點的軌跡稱為雙紐線，已知點是雙紐線上一點，下列關于雙紐線的說法正確的是（ ）
A.雙紐線是中心對稱圖形
B.的最大值為
C.
D.到距離之和的最小值為
三 填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.在多項式的展開式中，的系數為32，則__________
13.已知橢圓和雙曲線焦點相同，是它們的公共焦點，是橢圓和雙曲線的交點，橢圓和雙曲線的離心率分別為和，若，則__________.
14.已知曲線上任意一點，都有的和為定值，則實數的取值范圍是__________.
四 解答題
15.（1）已知（為正整數）.展開式的所有項的二項式系數和為64
①求該式的展開式中所有項的系數之和；
②求該式的展開式中無理項的個數；
③求該式的展開式中系數最大的項.
（2）現有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學生4人，女學生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？
①老師站在最中間，2名女學生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學生兩邊各2人；
②4名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端；
③2名老師之間必須有男女學生各1人.
16.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且，且分別為的中點.
（1）證明：平面.
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
（3）求點F到平面的距離.
17.已知雙曲線的離心率為2，實軸的左，右頂點分別為，虛軸的上，下頂點分別為，且四邊形的面積為.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）已知直線與交于兩點，若，求實數的取值范圍.
18.如圖，，點在平面的同側，，，平面平面.
（1）求證：平面；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.
19.已知和為橢圓上兩點.
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點的直線與橢圓交于兩點（不在軸上）.
（i）若的面積為，求直線的方程；
（ii）直線和分別與軸交于兩點，求證：以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值.
高二年級數學答案
考試時間：120分鐘考試分數：150分
一 單選題
1.B 2B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B
二 多選題
9.ACD 10.ABD 11.ACD
三 填空題
12.13. 14.
四 解答題
15.【詳解】（1）由可得
①令可得
所以展開式中所有項的系數之和為729；
②的通項為
所以當時可得展開式中的無理項，所以共有3個無理項；
（3）由（2）及題意可知解得，
，
所以展開式中系數最大的項為.
（2）①由題意可得共種不同的站法.
②先排老師和女學生共有種站法，再排男學生甲有種站法，最后排剩余的3名男
學生有種站法，所以共有種不同的站法
③先任選一男學生一女學生站兩位老師中間，有種站法，
兩老師的站法有種，再將一男學生一女學生兩位老師進行捆綁與剩余的4個人進行全排列有種，所以共有種不同的站法.
16.【詳解】（1）不妨設，則，如圖建立空間直角坐標系，
則
所以
設是平面的一個法向量，
則，取，則，
所以平面的一個法向量，
又，所以，因為平面，所以平面.
（2）設是平面的一個法向量，，
則，令，則，即，
設平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
（3）因為，平面的一個法向量，所以F到平面的距離為
17.【詳解】（1）由雙曲線的幾何性質可知，四邊形是菱形，且，
四邊形的面積為，①
又離心率為，②
聯立①②可得，
雙曲線的標準方程為.
（2）設，線段中點，
聯立消去整理可得
，
即且①，
.
.
.
，
②，
又③，
由①②③得或，
實數的取值范圍是.
18.【詳解】（1）因為平面，
所以平面，同理平面，
又平面，
所以平面平面平面，
所以平面；
（2）取的中點，因為，
所以，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因為，故可建立如圖所示的空間直角坐標系.
在四邊形中，因為，
，
所以，所以，
因為，所以，
所以，
，
，
設，則，
設為平面的法向量，
則，即，故取，
因為直線與平面所成角的正弦值為，
所以，
兩邊同時平方得
所以，解得，或（舍去），
所以，所以.
19.【詳解】（1）由可知，求出，
代入，得，
則，
可知橢圓的離心率為.
（2）（i）由（1）可知橢圓的方程為，
設，過點的直線為，
與聯立得：
恒成立.
所以
得，所以，直線的方程為：.
（ii）由（i）可知，
直線的方程為，令，得
直線的方程為，令，得，
記以為直徑的圓與軸交于兩點，
由圓的弦長公式可知，
所以，為定值.

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