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期末綜合素質評價
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)
1．[2024·蕪湖模擬]下列二次根式中能與合并的是(　　)
A. B. C. D.
2．[2024·重慶]已知m＝－，則實數m的范圍是(　　)
A．23．如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，下列哪個條件能夠使得 ABCD是矩形(　　)
A．AB＝AD B．∠ABC＝∠BCD
C．∠ABD＝∠CBD D．AO⊥BO
4．某創業團隊有研發、管理和操作三個小組，各組的日工資和人數如下表：
研發組 管理組 操作組
日工資/元 200 180 160
人數 3 4 5
現從管理組分別抽調1人到研發組和操作組，調整后與調整前相比，下列說法中正確的有(　　)
①平均日工資增大；②日工資的方差減小；③日工資的中位數不變；④日工資的眾數不變．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5. INCLUDEPICTURE "../../新考向傳承數學文化24馬鞍山三模.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE \d "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\25春 典中點 8 數學 HK安徽（\\新考向傳承數學文化24馬鞍山三模.EPS" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../新考向傳承數學文化24馬鞍山三模.EPS" \* MERGEFORMAT \d 俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學習后，如果不及時復習，那么學習過的東西就會被遺忘．假設每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為(參考數據：≈1.414)(　　)
A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%
6．[2024·洛陽期中]已知△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，則下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠A－∠B＝∠C D．a2－b2＝c2
7．[2024·蕪湖模擬]菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，∠AOC＝60°，OC＝2，則點B的坐標為(　　)
A．(2，) B．(3，)
C．(2，) D．(3，)
8．[2024·池州模擬]已知關于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0有兩個實數根，則a的取值范圍是(　　)
A．a>－1且a≠0 B．a≥－1且a≠0 C．a≥－1 D．a≤－1
9．如圖，在一次函數y＝－x＋6的圖象上取一點P，作PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，且矩形PBOA的面積為5，則在x軸上
方滿足上述條件的點P是(　　)
A．(1，5)，(5，1)
B．(1，5)，(5，1)，(3＋，3－)，(3－，3＋)
C．(1，5)，(5，1)，(3－，3＋)
D．(1，5)，(2＋，2－)，(2－，2＋)
　　　　　　　
10．[2024·馬鞍山三模]如圖，矩形ABCD中，P為AD邊上一點(不與A，D重合)，連接BP，CP，過C點作CE⊥BP，垂足為E，連接AE，DE，DE與CP相交于點F.則下列結論錯誤的是(　　)
A．若BP＝BC，則PF⊥DE
B．若PC＝BC，則△CDE為等腰三角形
C．若AE∥PC，則＝
D．若AB＝3，BC＝4，則AE的最小值為2
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)
11．[2024·銅陵期中]對于代數式，x的取值范圍是________．
12．[2024·六安模擬]某人進行了7次射擊訓練，命中的環數如下：7，9，8，7，10，7，8.則他7次射擊命中的環數的方差s2＝________．
13．[2024·阜陽期中]如圖，秋千靜止時，秋千踏板離地面的垂直高度BC＝0.8 m，將踏板往前推送，使秋千繩索AB到達AD的位置，測得推送的水平距離DE＝3 m，此時秋千踏板離地面的垂直高度DF＝1.8 m．那么立柱AC的高度為________m.
14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是對角線BD上的一個動點，作PM⊥AB，垂足為M，作PN⊥AD，垂足為N，連接MN.
(1)當P是BD的中點時，線段MN的長度是________；
(2)線段MN長度的最小值是________．
三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15．[2024·泰州期中]計算：
(1)÷－×＋；(2)－12 024＋－＋(π－3)0－.
16．解方程：
(1)4(3x＋9)＝2x(3x＋9); (2)－1＝.
四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
17．[2024·廣州期中]如圖，網格中每個小正方形的邊長都是1，且A，B，C都在格點上．
(1)求AB，AC的長；
(2)求∠BAC的度數．
18.如圖，O是四邊形ABCD兩條對角線AC和BD的中點，E為四邊形ABCD外一點，連接ED，EC，四邊形OCED是矩形．
(1)求證：四邊形ABCD是菱形；
(2)若矩形OCED的面積為12，周長為14，求四邊形ABCD的周長．
五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)
19．臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風中心沿東西方向AB由點A向點B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300 km和400 km，AB＝500 km，以臺風中心為圓心周圍250 km以內為受影響區域．
(1)海港C會受到臺風影響嗎？為什么？
(2)若臺風的速度為20 km/h，臺風影響該海港持續的時間有多長？
20．[2024·阜陽期中]【觀察思考】
【規律發現】
(1)七邊形的對角線條數為________．
(2)三角形的對角線條數可表示為，四邊形的對角線條數可表示為，五邊形的對角線條數可表示為，…，n邊形的對角線條數可表示為__________．
【規律應用】(3)若一個多邊形的內角和為1 620°，求這個多邊形的邊數和對角線的條數．
六、(本題滿分12分)
21．[2024·亳州期中]某電商在某短視頻平臺上直播帶貨，已知該電商銷售的生活用品的進貨價為70元/件，為吸引流量，該電商承諾直播間價格不高于110元/件．根據之前的市場調研，商家發現當售價為110元/件時，日銷售量為20件，售價每降低1元，日銷售量增加2件．
(1)當日銷售量為30件時，該生活用品的售價為________元/件；
(2)求出該生活用品日銷售量y(件)與售價x(元/件)的函數表達式．
(3)若要盡可能多地讓利于顧客，同時銷售該生活用品每天獲利1 200元，則該生活用品每件售價應定為多少元？
七、(本題滿分12分)
22．[2024·合肥42中三模改編]八年級數學王老師帶領學生經過一段時間復習后，進行了一次模擬測試，他所帶的(1)班和(2)班各有40名學生，王老師將他們的測試成績進行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息．(說明：滿分100分，成績為80分及以上為優秀，70～79分為良好，60～69分為合格，60分以下為不合格)
①八(1)班學生成績的頻數直方圖如圖(數據分為五組：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)
②八(1)班學生成績在70≤x<80這一組的是：70，71，73，73，73，74，76，77，78，79.
③八(2)班學生中沒有3人成績相同，其平均數、中位數、眾數、優秀率如下：
平均數/分 中位數/分 眾數/分 優秀率
79 76 84 40%
根據以上信息，回答下列問題：
(1)求八(1)班學生成績的中位數．
(2)成績是76分的學生，在哪個班的名次更好些？請說明理由；
(3)根據上述信息，推斷哪個班學生測試成績更好，并說明理由．(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)
八、(本題滿分14分)
23. INCLUDEPICTURE "../../新視角過程探究題h.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE \d "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\25春 典中點 8 數學 HK安徽（\\新視角過程探究題h.EPS" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../新視角過程探究題h.EPS" \* MERGEFORMAT \d 如圖，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，點P與點Q同時出發，點P從點D出發向點A運動，運動到點A停止，點Q從點B出發向點C運動，運動到點C停止，點P，Q的速度都是1 cm/s，連接PQ，AQ，CP，設點P，Q的運動時間為t s.
(1)求當t為何值時，四邊形CDPQ是正方形；
(2)連接AC，求當t為何值時，AC⊥PQ；
(3)當四邊形AQCP的面積為80 cm2時，求矩形ABCD的周長與四邊形AQCP的周長的比值．
答案
一、1.A　2.B　3.B
4．A　【點撥】調整前平均日工資：≈176.67(元)，
調整后平均日工資：≈176.67(元)，調整前后平均日工資不變，故①錯誤；
調整前日工資的方差為×[3×(200－176.67)2＋4×(180－176.67)2＋5×(160－176.67)2]≈255.56(元2)，
調整后日工資的方差為×[4×(200－176.67)2＋2×(180－176.67)2＋6×(160－176.67)2]≈322.22(元2)，
∴調整后日工資的方差增大，故②錯誤；
調整前日工資的中位數為＝180(元)，
調整后日工資的中位數為＝170(元)，
∴調整后日工資的中位數比調整前日工資的中位數減小，故③錯誤；
調整前后日工資的眾數都是160元，不變，故④正確．
故選A.
5．C
6．A　【點撥】A.設∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
則3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，
則5x＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意；
B．∵32＋42＝52，
∴△ABC為直角三角形，故此選項不符合題意．
C．∵∠A－∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC為直角三角形，故此選項不符合題意；
D．∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC為直角三角形，故此選項不符合題意；
故選A.
7．D　8.B
9．C　【點撥】設點P的坐標為(m，－m＋6)，易得m<6，由已知得|m|·|－m＋6|＝5，即m2－6m＋5＝0或m2－6m－5＝0，解得m1＝1，m2＝5，m3＝3＋(舍去)，m4＝3－.∴點P的坐標為(1，5)，(5，1)，(3－，3＋)．
10．D　【點撥】∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AD∥BC，AD＝BC.
若BP＝BC，如圖①，則∠BPC＝∠BCP.
∵AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP，
∴∠BPC＝∠DPC.
∵CE⊥BP，
∴∠PEC＝∠ADC＝90°.
又∵PC＝PC，
∴△PEC≌△PDC(AAS)，∴PE＝PD，CE＝CD，
則PF⊥DE，故A正確，不符合題意；
若PC＝BC，如圖②，
∵PC＝BC，CE⊥BP，∴BE＝PE，∠PEC＝∠BEC＝90°.
∵∠BAP＝90°，
∴AE＝BE＝PE，
∴∠BAE＝∠ABE.∵∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠DAE＝∠CBE.
又∵AD＝BC，
∴△DAE≌△CBE(SAS)，
∴CE＝DE，
∴△CDE為等腰三角形，故B正確，不符合題意；
INCLUDEPICTURE"D8HQM-3.EPS" INCLUDEPICTURE \d "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\25春 典中點 8 數學 HK安徽（\\D8HQM-3.EPS" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE \d "D:\\劉歡歡\\25春\\25春 典中點 8 數學 HK安徽（劉歡歡\\D8HQM-3.EPS" \* MERGEFORMATINET 　　
若AE∥PC，如圖③，過點E作EN⊥PC交PC于點N，過點P作PM⊥AE交AE于點M，過點D作DH⊥PC于點H.過點B作BG⊥AE交AE的延長線于點G，則∠G＝∠DHC＝90°.
∵AE∥PC，∴PM＝EN，∠1＝∠2.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，
∴∠3＝∠4.
∴△ABG≌△CDH(AAS)，∴BG＝DH.
∵S△ABE＝AE·BG，S△APE＝AE·PM，S△PDF＝PF·DH，S△PEF＝PF·EN，
∴＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴＝，故C正確，不符合題意；
D．若AB＝3，BC＝4，則AC＝＝5.
連接AC，如圖④.
當AE⊥BP時，AE的長最小．
∵CE⊥BP，
∴A，E，C三點共線，即AC⊥BP，
∴AC·BE＝AB·BC，
∴BE＝＝，
∴AE＝＝，
則AE的最小值為，故D錯誤，符合題意；故選D.
二、11.x≥0　12.　13.5.8
14．(1)5　(2)　【點撥】(1)連接AP，如圖．
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝10，
∴AP＝BD＝5.
∵PM⊥AB，PN⊥AD，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四邊形AMPN是矩形．
∴MN＝AP＝5，故答案為5.
(2)由(1)知AP＝MN，
∴MN長度的最小值即為AP長度的最小值．
當AP⊥BD時，AP取最小值．
此時S△ABD＝AB·AD＝AP·BD，
∴AP＝＝＝，即線段MN長度的最小值是.故答案為.
三、15.【解】(1)原式＝－＋2
＝4－＋2
＝4＋.
(2)原式＝－1＋4－(4－2)＋1－3
＝－1＋4－4＋2＋1－3
＝－.
16．【解】(1)移項，得4(3x＋9)－2x(3x＋9)＝0，
分解因式，得(4－2x)(3x＋9)＝0，
∴4－2x＝0或3x＋9＝0，
解得x1＝2，x2＝－3.
(2)去分母，得x(x＋2)－(x＋2)(x－2)＝6，
解得x＝1，
檢驗：將x＝1代入(x＋2)(x－2)≠0，
∴原方程的解為x＝1.
四、17.【解】(1)∵網格中每個小正方形的邊長都是1，
∴AC＝＝，AB＝＝.
(2)如圖所示，連接BC.
∵BC＝＝，
∴AC2＋BC2＝10＝AB2，AC＝BC.
∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.
18．(1)【證明】∵O是四邊形ABCD兩條對角線AC和BD的中點，∴AC與BD互相平分，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵四邊形OCED是矩形，∴OC⊥OD，即AC⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形．
(2)【解】∵矩形OCED的面積為12，周長為14，
∴OC·OD＝12，OC＋OD＝7，∴(OC＋OD)2＝49，
∴OC2＋OD2＋2OC·OD＝49，即OC2＋OD2＝25，
由(1)知四邊形ABCD為菱形，
∴DC＝＝＝5，
∴四邊形ABCD的周長為4×5＝20.
五、19.【解】(1)海港C會受到臺風影響．
理由：如圖所示，過點C作CD⊥AB于點D.
∵AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°.
∴AC·BC＝AB·CD，∴300×400＝500CD，
∴CD＝240 km.
∵以臺風中心為圓心周圍250 km以內為受影響區域，
∴海港C會受到臺風影響．
(2)由(1)得CD＝240 km，
如圖所示，當EC＝FC＝250 km，即臺風經過EF段時，正好影響到海港C，此時△ECF為等腰三角形．
∵ED＝＝70 km，∴EF＝140 km.
∵臺風的速度為20 km/h，
∴臺風影響該海港持續的時間有140÷20＝7(h)．
20．【解】(1)14
(2)　【點撥】三角形的對角線條數可表示為，
四邊形的對角線條數可表示為，
五邊形的對角線條數可表示為，
…
n邊形的對角線條數可表示為，
故答案為.
(3)設多邊形的邊數為n，則
(n－2)·180°＝1 620°，解得n＝11，
對角線有＝44(條)，
∴這個多邊形的邊數為11，對角線的條數為44.
六、21.【解】(1)105
(2)根據題意，得y＝20＋2(110－x)，即y＝－2x＋240.
∵該生活用品的進貨價為70元/件，且該電商承諾直播間價格不高于110元/件，
∴該生活用品日銷售量y(件)與售價x(元/件)的函數表達式為y＝－2x＋240(70≤x≤110)．
(3)根據題意，得(x－70)(－2x＋240)＝1 200，
整理，得x2－190x＋9 000＝0.
解得x1＝90，x2＝100.
∵要盡可能多地讓利于顧客，∴x＝90.
答：該生活用品每件售價應定為90元．
七、22.【解】(1)由題意得八(1)班學生成績從小到大排序，處于中間位置的兩個數分別為77，78，
∴八(1)班學生成績的中位數為＝77.5(分)．
(2)在八(2)班的名次更好些，理由如下：
∵八(1)班學生成績的中位數為77.5分，大于八(2)班學生成績的中位數76分，
∴成績是76分的學生，在八(2)班的名次更好些．
(3)根據上述信息，推斷八(1)班學生成績更好，
理由：①八(1)班學生成績優秀率為＝45%，八(2)班學生成績優秀率為40%，說明八(1)班學生成績優秀人數更多；
②八(1)班學生成績的中位數77.5分大于八(2)班學生成績的中位數76分，說明八(1)班一半的學生成績高于77.5分，而八(2)班一半的學生成績僅高于76分．(答案不唯一，合理即可)
八、23.【解】(1)∵在矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，
∴BC＝AD＝16 cm，AB＝CD＝8 cm.
∵點P，Q的運動時間為t s，運動速度都為1 cm/s，
∴BQ＝DP＝t cm，AP＝CQ＝(16－t)cm.
在矩形ABCD中，∠D＝90°，AD∥BC，
∴當DP＝CQ＝CD＝8 cm時，四邊形CDPQ是正方形，
∴t＝16－t＝8，解得t＝8，
∴當t＝8時，四邊形CDPQ是正方形．
(2)∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四邊形AQCP為平行四邊形，
∴當AC⊥PQ時，四邊形AQCP為菱形，∴AQ＝QC，
由(1)知AQ＝＝(cm)，
∴＝16－t，解得t＝6，
∴當t＝6時，AC⊥PQ.
(3)∵四邊形AQCP為平行四邊形，
∴四邊形AQCP的面積＝CQ·AB＝80 cm2，
∴8(16－t)＝80，解得t＝6，
∴BQ＝6 cm，AQ＝CQ＝10 cm，此時四邊形AQCP為菱形，
∴四邊形AQCP的周長＝4×10＝40(cm)．
∵矩形ABCD的周長＝2×(8＋16)＝48(cm)，
∴矩形ABCD的周長與四邊形AQCP的周長的比值為＝.

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