資源簡介

浙江省寧波市南三縣2023-2024學年八年級上學期期末考試數學試題
一、選擇題（每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中只有一個選項符合題目要求）
1．（2024八上·寧波期末）第19屆亞運會在杭州舉行，下列歷屆亞運會會徽是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·寧波期末）在平面直角坐標系中，點落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024八上·寧波期末）線段，，首尾順次相接組成三角形，若，，則的長度可以是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024八上·寧波期末）若成立，則下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·寧波期末）能說明命題“對于任何實數，”是假命題的一個反例可以是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·寧波期末）如圖，在同一條直線上，，添加下列哪一個條件可以使（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·寧波期末）若一次函數的圖象經過點和點，當時，，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·寧波期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，E是AB的中點，△ABC的面積為21，AC＝6，AB＝8，則△BED的面積為（　　）
A． B．5 C．6 D．
9．（2024八上·寧波期末）將三張半圓形紙片按如圖的方式擺置，半圓的直徑恰好構成一個直角三角形，若知道圖中兩個月牙形的面積和，則一定能求出（　　）
A．直角三角形的面積
B．最大半圓形的面積
C．較小兩個半圓形的面積和
D．最大半圓形與直角三角形的面積和
10．（2024八上·寧波期末）如圖，在中，，，，點D為BC上一點，點P、Q分別是點D關于AB、AC的對稱點，則PQ的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．4
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．（2024八上·寧波期末）已知點與點Q關于y軸對稱，則點Q的坐標為　 　．
12．（2024八上·寧波期末）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題是　 　.
13．（2024八上·寧波期末）等腰三角形的一個內角為100°，則它的一個底角的度數為　 　．
14．（2024八上·寧波期末）如圖，直線與直線相交于點，則關于的不等式的解為　 　．
15．（2024八上·寧波期末）如圖，在中，，于點D，，，則BC的長為　 　．
16．（2024八上·寧波期末）如圖，在中，，，點D在AC上，且，點E是AB上的動點，連結DE，點F，G分別是BC，DE的中點，連結AG，FG．當時，線段AG的長為　 　．
三、解答題（共66分）
17．（2024八上·寧波期末）解不等式組：，并把解表示在數軸上．
18．（2024八上·寧波期末）如圖，，，．求證：．
19．（2024八上·寧波期末）已知y關于x的一次函數．
（1）當時，；當時，，求k，b的值；
（2）若，是該一次函數圖象上的兩點，求證：．
20．（2024八上·寧波期末）如圖，在中，是鈍角．（保留作圖痕跡）
（1）用無刻度的直尺和圓規作的垂直平分線，分別交于點．
（2）連結，若，求的度數．
21．（2024八上·寧波期末）某商場銷售A，B兩種型號智能手機，這兩種手機進價和售價如下表：
型號 A B
進價（萬元/部） 0.44 0.20
售價（萬元/部） 0.5 0.25
該商場計劃購進A，B兩種型號手機共60部進行銷售．
（1）求A，B兩種型號手機全部銷售后所獲利潤y（萬元）與購進A型手機的數量x的關系式．提示：利潤＝（售價－進價）×銷售量．
（2）若該商場此次用于購進手機的總資金不超過15.6萬元，若兩種手機都按售價全部售完，問：該商場應該怎樣進貨，使全部銷售后獲得的利潤最大，最大利潤是多少．
22．（2024八上·寧波期末）已知A，B兩地相距120km，甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發勻速運動到B地，先到B地的人原地休息，甲開轎車，乙騎摩托車．已知乙先出發，然后甲再出發．設在這個過程中，甲、乙兩人的距離y（km）與乙離開A地的時間x（h）之間的函數關系如圖所示．
（1）乙比甲先出發　 　小時，甲開轎車的速度是　 　，第一次相遇的時間在乙出發　 　小時；
（2）求線段PQ對應的函數表達式；
（3）當甲、乙兩人只有一人在行駛，且兩人相距30km時，求此時乙行駛的時間．
23．（2024八上·寧波期末）如圖，直線與軸、軸分別交于點，點，點的坐標為，點為軸正半軸上的動點，連結，過點作直線的垂線交軸于點，垂足為點，連結．
（1）求出兩點的坐標；
（2）求證：；
（3）在點的運動過程中，當為等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．
24．（2024八上·寧波期末）
（1）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，是的中點，，，A，三點共線．
求證：．
小明在組內經過合作交流，得到解決方法：延長至點，使得，連結．
請根據小明的方法思考：由已知和作圖能得到，依據是（　　）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性質可得．
【初步運用】如圖2，在中，平分，為的中點，過點作，分別交的延長線和于點、點A．求證：．
（3）【拓展運用】如圖3，在（1）的基礎上（即是的中點，，，A，三點共線），連結，若，當，時，求的長．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，則本項不符合題意；
B、該圖形不是軸對稱圖形，則本項不符合題意；
C、該圖形不是軸對稱圖形，則本項不符合題意；
D、該圖形是軸對稱圖形，則本項符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據平面內，一個圖形沿一條直線折疊 ，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫作軸對稱圖形，據此逐項判斷即可.
2．【答案】B
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：在平面直角坐標系中，點落在第二象限，
故答案為：B.
【分析】根據第二象限的點其橫坐標為負、縱坐標為正的特點，據此即可求解.
3．【答案】A
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：∵b-a∴1故答案為：A
【分析】根據三邊關系三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊，可以得到第三邊取值范圍，再進行選擇即可
4．【答案】C
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：A、∵xB、∵xC、∵xD、∵x故答案為：C
【分析】根據不等式的性質③不等式兩邊同時乘以（除以）一個負數，不等號的方向發生改變；運用不等式性質①和②不等號的方向不發生改變
5．【答案】B
【知識點】舉反例判斷命題真假
【解析】【解答】把代入 得成立，故A錯誤；
把代入 得不成立，故B正確；
把代入 得成立，故C錯誤；
把 代入 得成立，故C錯誤；
故答案為：B
【分析】判斷假命題需要列舉一個不成立的情況就可以.
6．【答案】A
【知識點】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC即BC=EF，
∵ ，BC=EF，AB=DE，
∴ (SAS)故A正確，
故答案為：A
【分析】根據SSS，SAS，ASA，AAS，HL判斷兩個三角形全等，注意SSA無法證明全等.
7．【答案】D
【知識點】解一元一次不等式；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】 ∵當時，
∴y隨x的增大而減小
∴4-3k<0
解得
故答案為：D
【分析】根據一次函數的增減性與系數的關系，判斷一次項系數的符號，然后解不等式
8．【答案】C
【知識點】三角形的角平分線、中線和高；三角形的面積；角平分線的性質
【解析】【解答】解：AD是△ABC的角平分線，
點D到AB和AC的距離相等，
E是AB的中點，
故答案為：C.
【分析】先根據角平分線的性質得到點D到AB和AC的距離相等，再利用三角形的面積公式得到進一步得再利用E是AB的中點，得到進行計算即可得出結論.
9．【答案】A
【知識點】三角形的面積；勾股定理
【解析】【解答】解：如圖，
以AC為直徑的半圓面積為：
同理，以BC為直徑的半圓面積為：以AB為直徑的半圓面積為：
∴兩個月牙形的面積和=以AC為直徑的半圓面積+以BC為直徑的半圓面積-以AB為直徑的半圓面積+直角三角形的面積，
∴兩個月牙形的面積和為：直角三角形的面積=直角三角形的面積，
∵
∴兩個月牙形的面積和=直角三角形的面積，
故答案為：A.
【分析】兩個月牙形的面積和=以AC為直徑的半圓面積+以BC為直徑的半圓面積-以AB為直徑的半圓面積+直角三角形的面積，據此即可計算求解.
10．【答案】B
【知識點】軸對稱的性質；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：連接AP、AD、AQ，如圖，
∵點D、P關于AB軸對稱，
∴
同理：
∴
∴點D、P、Q在以點A為圓心AP為半徑的圓上，
∵
∴為等腰直角三角形，
∴
∵點D為BC上一點，
∴當AD取最小值時，AD⊥BC，PQ最小，
∴
∴PQ的最小值是：
故答案為：B.
【分析】連接AP、AD、AQ，根據軸對稱的性質得到：，則點D、P、Q在以點A為圓心AP為半徑的圓上，進而得到：當AD⊥BC時，PQ最小，進而計算即可.
11．【答案】（2，-3）
【知識點】關于坐標軸對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點與點Q關于y軸對稱，
∴點Q坐標為：，
故答案為：.
【分析】根據點關于y軸對稱的特點：橫坐標互為相反數，縱坐標相等，進而即可求解.
12．【答案】兩個銳角互余的三角形是直角三角形
【知識點】逆命題
【解析】【解答】逆命題為：如果三角形有兩個銳角互余，那么這個三角形為直角三角形.
故答案為如果三角形有兩個銳角互余，那么這個三角形為直角三角形.
【分析】根據給出的命題將其結論與條件互換即得到其逆命題.
13．【答案】40°
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：①當這個角是頂角時，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②當這個角是底角時，另一個底角為100°，因為100°+100°＝200°，不符合三角形內角和定理，所以舍去．
故答案為：40°．
【分析】根據等腰三角形的性質，判斷得到其一個底角的度數即可。
14．【答案】
【知識點】一次函數與不等式（組）的關系；兩一次函數圖象相交或平行問題
【解析】【解答】解：根據圖像可得
故答案為：
【分析】可以把 轉化為兩個函數的函數值的比較，對應的是 的函數值大于 ，圖像上的表現為 的圖像在 的部分，即交點的右側部分
15．【答案】5
【知識點】勾股定理
【解析】【解答】解：設BC為x，則CD為x-1，
∵，
∴
解得：
故答案為：5.
【分析】設BC為x，則CD為x-1，進而根據勾股定理列出方程：解此方程即可.
16．【答案】
【知識點】勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：連接DF、AF、EF，如圖，
在中，
∴
∵點F，G分別是BC，DE的中點，
∴
∴
∵
∴
∴為直角三角形，且
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
故答案為：.
【分析】連接DF、AF、EF，利用"ASA"證明則 進而求出AE的長度，再利用勾股定理求出DE的長度，進而即可求解.
17．【答案】解：解不等式①，得：
解不等式②，得：，
∴不等式組的解集為，
將不等式組的解集在數軸上表示為：
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別解兩個一元一次不等式，得到不等式組解集，再將解集在數軸上表示出來，注意大于向右，小于向左，有等于實心點
18．【答案】證明：∵
∴
∴
∵
∴△≌△
∴
【知識點】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】根據角之間的數量關系得到，進而利用"AAS"證明△≌△，進而即可求解.
19．【答案】（1）解：設由題意得，
解得
（2）解：把分別代入得
∴
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】（1）根據一次函數上點的坐標特征得到方程組，解此方程組即可求解；
（2）把分別代入得，進而代入計算即可.
20．【答案】（1）解：線段的垂直平分線如圖；
（2）解：由作法知，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】（1）根據垂直平分線尺規作圖要求作圖
（2）由垂直平分線的性質得到等腰，底角相等，再三線合一得到∠1，∠2，再利用三角形內角和求出答案
21．【答案】（1）解：由題意得
即
（2）解：由題意得
∵k=0.01>0，∴y隨x的增大而增大
∴當x=15時，y有最大值3.15萬元
答：該商場A型手機購進15部，則B型手機購進45部，使全部銷售后獲得的利潤最大，最大利潤是3.15萬元
【知識點】一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）根據利潤＝（售價－進價）×銷售量，據此得到函數關系式，化簡即可；
（2）由題意得，結合一次函數的性質可知：y隨x的增大而增大，則當x=15時，y有最大值3.15萬元.
22．【答案】（1）1；60；1.8
（2）解：n=4.5
m=1.8，
設，由題意得，解得，
∴
（3）解：①甲沒有出發時，
解得：，不符合題意，
②甲到達B地時，
，
解得，
∴綜上所述，當甲、乙兩人只有一人在行駛，且兩人相距30km時，乙行駛的時間為
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：（1）由圖象可知：乙比甲先出發1小時，甲2小時到達B地，
∴甲開轎車的速度是：
由圖象可知：乙的速度為
設第一次相遇時間在乙出發x小時，
解得：
故答案為：1，60，1.8.
【分析】（1）根據題意列式計算即可；
（2）利用待定系數法求函數解析式即可；
（3）根據題意，當甲、乙兩人只有一個熱在行駛時，實際上就是一個人在行駛，故分甲沒有出發和甲到達B地時兩種情況列方程計算即可.
23．【答案】（1）解：直線與軸、軸分別交于點，點，
當時，；當時，
∴．
（2）證明：∵，
∴，
，
，，
，
∵，
，
，
；
（3）解：當為等腰三角形時，點的坐標為或，
①如圖
∵，
∴，
顯然，
，
過作軸，顯然，
，
當是等腰三角形時，只能或，
當時，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②當點時，則在中，，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
當為等腰三角形時，點的坐標為或．
【知識點】一次函數圖象與坐標軸交點問題；三角形-動點問題
【解析】【分析】】(1)分別令x，y為0求出兩個交點坐標；
(2)利用坐標得到一組邊對應相等，再利用垂直倒角得到兩組角對應相等，得到全等；
(3)要進行分類討論，顯然，所以只有只能或兩種情況；
①當時，可得到F是BD中點，進而利用CF垂直平分BD，得到BC=CD，得到D點坐標；
②當時，當OC=OD恰好滿足條件（∠OFD是特殊角）.
24．【答案】（1）B
（2）證明：延長至點，使得，連結，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）解：延長至點，使得，連結，過點C作于點H，
設，則，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
【知識點】平行線的判定與性質；三角形全等及其性質；三角形全等的判定；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；線段的中點
【解析】【解答】 (1)解： ，BE=EC，∠AEB=∠CEF，SAS全等，故答案為B
【分析】（1）倍長中線全等依據是SAS；
（2）倍長中線得到全等、平行，之后倒角得到等腰三角形，等量代換得到答案；
（3）在（2）的基礎上，作等腰三角形的三線合一輔助線，再通過設元表示線段長度，利用方程思想解決問題.
1 / 1浙江省寧波市南三縣2023-2024學年八年級上學期期末考試數學試題
一、選擇題（每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中只有一個選項符合題目要求）
1．（2024八上·寧波期末）第19屆亞運會在杭州舉行，下列歷屆亞運會會徽是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，則本項不符合題意；
B、該圖形不是軸對稱圖形，則本項不符合題意；
C、該圖形不是軸對稱圖形，則本項不符合題意；
D、該圖形是軸對稱圖形，則本項符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據平面內，一個圖形沿一條直線折疊 ，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫作軸對稱圖形，據此逐項判斷即可.
2．（2024八上·寧波期末）在平面直角坐標系中，點落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：在平面直角坐標系中，點落在第二象限，
故答案為：B.
【分析】根據第二象限的點其橫坐標為負、縱坐標為正的特點，據此即可求解.
3．（2024八上·寧波期末）線段，，首尾順次相接組成三角形，若，，則的長度可以是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：∵b-a∴1故答案為：A
【分析】根據三邊關系三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊，可以得到第三邊取值范圍，再進行選擇即可
4．（2024八上·寧波期末）若成立，則下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：A、∵xB、∵xC、∵xD、∵x故答案為：C
【分析】根據不等式的性質③不等式兩邊同時乘以（除以）一個負數，不等號的方向發生改變；運用不等式性質①和②不等號的方向不發生改變
5．（2024八上·寧波期末）能說明命題“對于任何實數，”是假命題的一個反例可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】舉反例判斷命題真假
【解析】【解答】把代入 得成立，故A錯誤；
把代入 得不成立，故B正確；
把代入 得成立，故C錯誤；
把 代入 得成立，故C錯誤；
故答案為：B
【分析】判斷假命題需要列舉一個不成立的情況就可以.
6．（2024八上·寧波期末）如圖，在同一條直線上，，添加下列哪一個條件可以使（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC即BC=EF，
∵ ，BC=EF，AB=DE，
∴ (SAS)故A正確，
故答案為：A
【分析】根據SSS，SAS，ASA，AAS，HL判斷兩個三角形全等，注意SSA無法證明全等.
7．（2024八上·寧波期末）若一次函數的圖象經過點和點，當時，，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】解一元一次不等式；一次函數圖象、性質與系數的關系
【解析】【解答】 ∵當時，
∴y隨x的增大而減小
∴4-3k<0
解得
故答案為：D
【分析】根據一次函數的增減性與系數的關系，判斷一次項系數的符號，然后解不等式
8．（2024八上·寧波期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，E是AB的中點，△ABC的面積為21，AC＝6，AB＝8，則△BED的面積為（　　）
A． B．5 C．6 D．
【答案】C
【知識點】三角形的角平分線、中線和高；三角形的面積；角平分線的性質
【解析】【解答】解：AD是△ABC的角平分線，
點D到AB和AC的距離相等，
E是AB的中點，
故答案為：C.
【分析】先根據角平分線的性質得到點D到AB和AC的距離相等，再利用三角形的面積公式得到進一步得再利用E是AB的中點，得到進行計算即可得出結論.
9．（2024八上·寧波期末）將三張半圓形紙片按如圖的方式擺置，半圓的直徑恰好構成一個直角三角形，若知道圖中兩個月牙形的面積和，則一定能求出（　　）
A．直角三角形的面積
B．最大半圓形的面積
C．較小兩個半圓形的面積和
D．最大半圓形與直角三角形的面積和
【答案】A
【知識點】三角形的面積；勾股定理
【解析】【解答】解：如圖，
以AC為直徑的半圓面積為：
同理，以BC為直徑的半圓面積為：以AB為直徑的半圓面積為：
∴兩個月牙形的面積和=以AC為直徑的半圓面積+以BC為直徑的半圓面積-以AB為直徑的半圓面積+直角三角形的面積，
∴兩個月牙形的面積和為：直角三角形的面積=直角三角形的面積，
∵
∴兩個月牙形的面積和=直角三角形的面積，
故答案為：A.
【分析】兩個月牙形的面積和=以AC為直徑的半圓面積+以BC為直徑的半圓面積-以AB為直徑的半圓面積+直角三角形的面積，據此即可計算求解.
10．（2024八上·寧波期末）如圖，在中，，，，點D為BC上一點，點P、Q分別是點D關于AB、AC的對稱點，則PQ的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知識點】軸對稱的性質；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：連接AP、AD、AQ，如圖，
∵點D、P關于AB軸對稱，
∴
同理：
∴
∴點D、P、Q在以點A為圓心AP為半徑的圓上，
∵
∴為等腰直角三角形，
∴
∵點D為BC上一點，
∴當AD取最小值時，AD⊥BC，PQ最小，
∴
∴PQ的最小值是：
故答案為：B.
【分析】連接AP、AD、AQ，根據軸對稱的性質得到：，則點D、P、Q在以點A為圓心AP為半徑的圓上，進而得到：當AD⊥BC時，PQ最小，進而計算即可.
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．（2024八上·寧波期末）已知點與點Q關于y軸對稱，則點Q的坐標為　 　．
【答案】（2，-3）
【知識點】關于坐標軸對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點與點Q關于y軸對稱，
∴點Q坐標為：，
故答案為：.
【分析】根據點關于y軸對稱的特點：橫坐標互為相反數，縱坐標相等，進而即可求解.
12．（2024八上·寧波期末）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題是　 　.
【答案】兩個銳角互余的三角形是直角三角形
【知識點】逆命題
【解析】【解答】逆命題為：如果三角形有兩個銳角互余，那么這個三角形為直角三角形.
故答案為如果三角形有兩個銳角互余，那么這個三角形為直角三角形.
【分析】根據給出的命題將其結論與條件互換即得到其逆命題.
13．（2024八上·寧波期末）等腰三角形的一個內角為100°，則它的一個底角的度數為　 　．
【答案】40°
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：①當這個角是頂角時，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②當這個角是底角時，另一個底角為100°，因為100°+100°＝200°，不符合三角形內角和定理，所以舍去．
故答案為：40°．
【分析】根據等腰三角形的性質，判斷得到其一個底角的度數即可。
14．（2024八上·寧波期末）如圖，直線與直線相交于點，則關于的不等式的解為　 　．
【答案】
【知識點】一次函數與不等式（組）的關系；兩一次函數圖象相交或平行問題
【解析】【解答】解：根據圖像可得
故答案為：
【分析】可以把 轉化為兩個函數的函數值的比較，對應的是 的函數值大于 ，圖像上的表現為 的圖像在 的部分，即交點的右側部分
15．（2024八上·寧波期末）如圖，在中，，于點D，，，則BC的長為　 　．
【答案】5
【知識點】勾股定理
【解析】【解答】解：設BC為x，則CD為x-1，
∵，
∴
解得：
故答案為：5.
【分析】設BC為x，則CD為x-1，進而根據勾股定理列出方程：解此方程即可.
16．（2024八上·寧波期末）如圖，在中，，，點D在AC上，且，點E是AB上的動點，連結DE，點F，G分別是BC，DE的中點，連結AG，FG．當時，線段AG的長為　 　．
【答案】
【知識點】勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：連接DF、AF、EF，如圖，
在中，
∴
∵點F，G分別是BC，DE的中點，
∴
∴
∵
∴
∴為直角三角形，且
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
故答案為：.
【分析】連接DF、AF、EF，利用"ASA"證明則 進而求出AE的長度，再利用勾股定理求出DE的長度，進而即可求解.
三、解答題（共66分）
17．（2024八上·寧波期末）解不等式組：，并把解表示在數軸上．
【答案】解：解不等式①，得：
解不等式②，得：，
∴不等式組的解集為，
將不等式組的解集在數軸上表示為：
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別解兩個一元一次不等式，得到不等式組解集，再將解集在數軸上表示出來，注意大于向右，小于向左，有等于實心點
18．（2024八上·寧波期末）如圖，，，．求證：．
【答案】證明：∵
∴
∴
∵
∴△≌△
∴
【知識點】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】根據角之間的數量關系得到，進而利用"AAS"證明△≌△，進而即可求解.
19．（2024八上·寧波期末）已知y關于x的一次函數．
（1）當時，；當時，，求k，b的值；
（2）若，是該一次函數圖象上的兩點，求證：．
【答案】（1）解：設由題意得，
解得
（2）解：把分別代入得
∴
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】（1）根據一次函數上點的坐標特征得到方程組，解此方程組即可求解；
（2）把分別代入得，進而代入計算即可.
20．（2024八上·寧波期末）如圖，在中，是鈍角．（保留作圖痕跡）
（1）用無刻度的直尺和圓規作的垂直平分線，分別交于點．
（2）連結，若，求的度數．
【答案】（1）解：線段的垂直平分線如圖；
（2）解：由作法知，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】（1）根據垂直平分線尺規作圖要求作圖
（2）由垂直平分線的性質得到等腰，底角相等，再三線合一得到∠1，∠2，再利用三角形內角和求出答案
21．（2024八上·寧波期末）某商場銷售A，B兩種型號智能手機，這兩種手機進價和售價如下表：
型號 A B
進價（萬元/部） 0.44 0.20
售價（萬元/部） 0.5 0.25
該商場計劃購進A，B兩種型號手機共60部進行銷售．
（1）求A，B兩種型號手機全部銷售后所獲利潤y（萬元）與購進A型手機的數量x的關系式．提示：利潤＝（售價－進價）×銷售量．
（2）若該商場此次用于購進手機的總資金不超過15.6萬元，若兩種手機都按售價全部售完，問：該商場應該怎樣進貨，使全部銷售后獲得的利潤最大，最大利潤是多少．
【答案】（1）解：由題意得
即
（2）解：由題意得
∵k=0.01>0，∴y隨x的增大而增大
∴當x=15時，y有最大值3.15萬元
答：該商場A型手機購進15部，則B型手機購進45部，使全部銷售后獲得的利潤最大，最大利潤是3.15萬元
【知識點】一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）根據利潤＝（售價－進價）×銷售量，據此得到函數關系式，化簡即可；
（2）由題意得，結合一次函數的性質可知：y隨x的增大而增大，則當x=15時，y有最大值3.15萬元.
22．（2024八上·寧波期末）已知A，B兩地相距120km，甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發勻速運動到B地，先到B地的人原地休息，甲開轎車，乙騎摩托車．已知乙先出發，然后甲再出發．設在這個過程中，甲、乙兩人的距離y（km）與乙離開A地的時間x（h）之間的函數關系如圖所示．
（1）乙比甲先出發　 　小時，甲開轎車的速度是　 　，第一次相遇的時間在乙出發　 　小時；
（2）求線段PQ對應的函數表達式；
（3）當甲、乙兩人只有一人在行駛，且兩人相距30km時，求此時乙行駛的時間．
【答案】（1）1；60；1.8
（2）解：n=4.5
m=1.8，
設，由題意得，解得，
∴
（3）解：①甲沒有出發時，
解得：，不符合題意，
②甲到達B地時，
，
解得，
∴綜上所述，當甲、乙兩人只有一人在行駛，且兩人相距30km時，乙行駛的時間為
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【解答】解：（1）由圖象可知：乙比甲先出發1小時，甲2小時到達B地，
∴甲開轎車的速度是：
由圖象可知：乙的速度為
設第一次相遇時間在乙出發x小時，
解得：
故答案為：1，60，1.8.
【分析】（1）根據題意列式計算即可；
（2）利用待定系數法求函數解析式即可；
（3）根據題意，當甲、乙兩人只有一個熱在行駛時，實際上就是一個人在行駛，故分甲沒有出發和甲到達B地時兩種情況列方程計算即可.
23．（2024八上·寧波期末）如圖，直線與軸、軸分別交于點，點，點的坐標為，點為軸正半軸上的動點，連結，過點作直線的垂線交軸于點，垂足為點，連結．
（1）求出兩點的坐標；
（2）求證：；
（3）在點的運動過程中，當為等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．
【答案】（1）解：直線與軸、軸分別交于點，點，
當時，；當時，
∴．
（2）證明：∵，
∴，
，
，，
，
∵，
，
，
；
（3）解：當為等腰三角形時，點的坐標為或，
①如圖
∵，
∴，
顯然，
，
過作軸，顯然，
，
當是等腰三角形時，只能或，
當時，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②當點時，則在中，，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
當為等腰三角形時，點的坐標為或．
【知識點】一次函數圖象與坐標軸交點問題；三角形-動點問題
【解析】【分析】】(1)分別令x，y為0求出兩個交點坐標；
(2)利用坐標得到一組邊對應相等，再利用垂直倒角得到兩組角對應相等，得到全等；
(3)要進行分類討論，顯然，所以只有只能或兩種情況；
①當時，可得到F是BD中點，進而利用CF垂直平分BD，得到BC=CD，得到D點坐標；
②當時，當OC=OD恰好滿足條件（∠OFD是特殊角）.
24．（2024八上·寧波期末）
（1）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，是的中點，，，A，三點共線．
求證：．
小明在組內經過合作交流，得到解決方法：延長至點，使得，連結．
請根據小明的方法思考：由已知和作圖能得到，依據是（　　）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性質可得．
【初步運用】如圖2，在中，平分，為的中點，過點作，分別交的延長線和于點、點A．求證：．
（3）【拓展運用】如圖3，在（1）的基礎上（即是的中點，，，A，三點共線），連結，若，當，時，求的長．
【答案】（1）B
（2）證明：延長至點，使得，連結，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）解：延長至點，使得，連結，過點C作于點H，
設，則，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
【知識點】平行線的判定與性質；三角形全等及其性質；三角形全等的判定；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；線段的中點
【解析】【解答】 (1)解： ，BE=EC，∠AEB=∠CEF，SAS全等，故答案為B
【分析】（1）倍長中線全等依據是SAS；
（2）倍長中線得到全等、平行，之后倒角得到等腰三角形，等量代換得到答案；
（3）在（2）的基礎上，作等腰三角形的三線合一輔助線，再通過設元表示線段長度，利用方程思想解決問題.
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