資源簡介

廣東省清遠市連山壯族瑤族自治縣2023-2024學年九年級上學期期末數學試題
1．（2024九上·連山期末）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（　?。?br/>A．正方形　 B．矩形　 C．菱形　 D．平行四邊形
2．（2024九上·連山期末）若與相似，且對應中線的比為，則與的面積比是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·連山期末）關于的方程是一元二次方程，則的值是（ ）
A． B． C．或 D．3
4．（2024九上·連山期末）把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，則m，n的值是（　?。?br/>A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
5．（2024九上·連山期末）物理某一實驗的電路圖如圖所示，其中K1，K2，K3為電路開關，L1，L2為能正常發光的燈泡．任意閉合開關K1，K2，K3中的兩個，那么能讓兩盞燈泡同時發光的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
6．（2024九上·連山期末）已知點，都在雙曲線上，且，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·連山期末）如圖是由6個同樣大小的正方體擺成的幾何體．將正方體①移走后，所得幾何體（　?。?br/>A．主視圖改變，左視圖改變 B．俯視圖不變，左視圖不變
C．俯視圖改變，左視圖改變 D．主視圖改變，左視圖不變
8．（2024九上·連山期末）已知a、b、c為常數，點P（a，c）在第二象限，則關于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是（　?。?br/>A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法判斷
9．（2024九上·連山期末）在四邊形中，．下列說法能使四邊形為矩形的是（　?。?br/>A． B． C． D．
10．（2024九上·連山期末）如圖，在正方形中，點E，F分別在，上，，與相交于點G．下列結論，其中正確的是（ ）
①垂直平分；②；③當時，為等邊三角形；④當時，．
A．①③④ B．②③ C．①③ D．②④
11．（2024九上·連山期末）菱形的兩條對角線的長分別是和，則它的面積為　 ?。?br/>12．（2024九上·連山期末）若，且，則　 ?。?br/>13．（2024九上·連山期末）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”．如圖，點P為的黃金分割點，如果的長度為，那么的長度是　 ?。ūＡ舾枺?br/>14．（2024九上·連山期末）如圖，小華做小孔成像實驗，已知蠟燭與成像板之間的距離為，則蠟燭與成像板之間的小孔紙板應放在離蠟燭　 　的地方時，蠟燭焰是像的一半．
15．（2024九上·連山期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE=　 　度．
16．（2024九上·連山期末）正比例函數與反比例函數的圖象相交于A，C兩點，軸于B，軸于D，則四邊形的面積為　 　．
17．（2024九上·連山期末）如圖，在矩形中，，點E在上，點F在上，且，連結，則的最小值為　 　．
18．（2024九上·連山期末）解一元二次方程：．
19．（2024九上·連山期末）已知一元二次方程的兩個實數根為，，若，求實數k的值．
20．（2024九上·連山期末）如圖，有張分別印有版西游圖案的卡片：唐僧、孫悟空、豬八戒、沙悟凈．
現將這張卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出張卡片求下列事件發生的概率：
（1）第一次取出的卡片圖案為“孫悟空”的概率為__________；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有張圖案為“唐僧”的概率．
21．（2024九上·連山期末）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．
（1）證明：．
（2）求線段的長．
22．（2024九上·連山期末）笑笑同學通過學習數學和物理知識，知道了電磁波的波長（單位：m）會隨著電磁波的頻率f（單位：）的變化而變化．已知波長與頻率f是反比例函數關系，下面是它們的部分對應值：
頻率f（） 10 15 50
波長（m） 30 20 6
（1）求波長關于頻率f的函數解析式．
（2）當時，求此電磁波的波長．
23．（2024九上·連山期末）電動自動車已成為市民日常出行的首選工具．據某市某品牌電動自行車經銷商1至3月份統計，該品牌電動自行車1月份銷售輛，3月份銷售輛．
（1）求該品牌電動自行車銷售量的月均增長率；
（2）假設每月的增長率相同，預計4月份的銷量會達到輛嗎
24．（2024九上·連山期末）如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點A，B，點A，B的橫坐標分別為1，，一次函數圖象與y軸交于點C，與x軸交于點D．
（1）求一次函數的解析式；
（2）對于反比例函數，當時，寫出x的取值范圍；
（3）在第三象限的反比例函數圖象上是否存在點P，使得？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
25．（2024九上·連山期末）綜合與實踐課上，諸葛小組三位同學對含角的菱形進行了探究．
【背景】在菱形中，，作，、分別交邊、于點P、Q．
（1）【感知】如圖1，若點P是邊的中點，小南經過探索發現了線段與之間的數量關系，請你寫出這個關系式______．
（2）【探究】如圖2，小陽說“點P為上任意一點時，（1）中的結論仍然成立”，你同意嗎？請說明理由．
（3）【應用】小宛取出如圖3所示的菱形紙片，測得，，在邊上取一點P，連接，在菱形內部作，交于點Q，當時，請直接寫出線段的長．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【分析】中心對稱圖形以一點為中心旋轉180后與原圖完全重合，四個選項圖形都滿足；而軸對稱圖形要求圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合，則D中平行四邊形不是軸對稱圖形，故選D．
【點評】本題難度較低，主要考查學生對中心旋轉與軸對稱知識點的掌握，要求學生牢固掌握特殊多邊形的性質特征．
2．【答案】D
【知識點】相似三角形的性質-對應面積
【解析】【解答】解：∵與相似，且對應中線的比為，
∴相似比為，
∴與的面積比是，
故答案為：D
【分析】根據相似三角形性質即可求出答案.
3．【答案】A
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量；直接開平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵關于x的方程是一元二次方程，
∴， ，
解得： ，
故答案為：A
【分析】根據一元二次方程的定義即可求出答案.
4．【答案】C
【知識點】二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化
【解析】【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0
∴x2﹣8x＝﹣3
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16
∴（x﹣4）2＝13
∴m＝﹣4，n＝13
故答案為：C．
【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數．
5．【答案】A
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有6種等可能的結果，能讓兩盞燈泡同時發光的有2種情況，
∴能讓兩盞燈泡同時發光的概率為：P==．
故答案為：A
【分析】畫出樹狀圖，求出所有等可能的結果， 再求出能讓兩盞燈泡同時發光的結果，再根據概率公式即可求出答案.
6．【答案】C
【知識點】反比例函數的概念；反比例函數的性質
【解析】【解答】解：將點，兩點分別代入雙曲線，得
，
，
∵，
，
解得，
故答案為：C
【分析】將點A，B坐標代入雙曲線解析式可得y值，再根據題意建立不等式，解不等式即可求出答案.
7．【答案】D
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：將正方體①移走前的主視圖正方形的個數為1，2，1；正方體①移走后的主視圖正方形的個數為1，2；發生改變．
將正方體①移走前的左視圖正方形的個數為2，1，1；正方體①移走后的左視圖正方形的個數為2，1，1；沒有發生改變．
將正方體①移走前的俯視圖正方形的個數為1，3，1；正方體①移走后的俯視圖正方形的個數，1，3；發生改變．
故答案為：D
【分析】根據組合體的三視圖即可求出答案.
8．【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；點的坐標
【解析】【解答】解：∵點P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選B．
【分析】先利用第二象限點的坐標特征得到ac＜0，則判斷△＞0，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況．
9．【答案】C
【知識點】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的長為AD與BC的距離，
∵AD=CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C=∠D=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴選項ABD不符合題意，選項C不符合題意，
故答案為：C.
【分析】根據矩形的判定方法判斷求解即可。
10．【答案】A
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；等邊三角形的性質；勾股定理；正方形的性質
【解析】【解答】解：①四邊形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，即，
∵，
∴垂直平分．故①正確；
②設，，
∴，
，
∴與關系不確定，只有當時成立，故②錯誤；
③當時，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴為等邊三角形．故③正確；
④當時，設，，由勾股定理就可以得出：
，
∴
∵，，
∴．故④正確．
綜上所述，正確的有①③④，
故答案為：A
【分析】①通過條件可以得出，從而得出，，由正方形的性質就可以得出，就可以得出垂直平分，
②設，，由勾股定理就可以得出與x、y的關系，表示出與，即可判斷與關系不確定；
③當時，可計算出，即可判斷為等邊三角形，
④當時，設，，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出與，利用三角形的面積公式分別表示出和，再通過比較大小就可以得出結論．
11．【答案】16
【知識點】菱形的性質
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】根據菱形面積即可求出答案.
12．【答案】6
【知識點】比例的性質
【解析】【解答】解：，
由等比性質，得，
所以．
故答案為：6．
【分析】根據比例性質即可求出答案.
13．【答案】
【知識點】黃金分割
【解析】【解答】解： P為的黃金分割點，
，
故答案為：．
【分析】根據黃金分割的定義即可求出答案.
14．【答案】7
【知識點】解分式方程；相似三角形的應用
【解析】【解答】解：設小孔紙板應放在離蠟燭的地方，由題意得：
解得，
經檢驗，是原方程的解，
則小孔紙板應放在離蠟燭的地方時，蠟燭焰是像的一半．
故答案為：7．
【分析】設小孔紙板應放在離蠟燭的地方，根據蠟燭焰是像的一半建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】22.5°
【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；等腰三角形的性質；矩形的性質
【解析】【解答】解：四邊形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°
【分析】根據矩形性質可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，則OA=OB═OC，再根據角之間的關系即可求出答案.
16．【答案】2
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；平行四邊形的判定與性質；正比例函數的性質
【解析】【解答】解：如圖，
∵軸于B，軸于D，
由反比例函數的對稱性可得：，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：2．
【分析】由反比例函數的性質可得，，再根據平行四邊形判定定理可得四邊形是平行四邊形，則，再根據三角形面積即可求出答案.
17．【答案】
【知識點】三角形全等及其性質；勾股定理；矩形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題
【解析】【解答】解：連接，作點關于的對稱點，連接
由題意得：
∵
∴
∴
∵
∴
∴的最小值為
故答案為：
【分析】連接，作點關于的對稱點，連接，根據全等三角形判定定理可得，則，再根據勾股定理可得CB'，再根據線段之間的關系即可求出答案.
18．【答案】解：，
∴或，
∴，．
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根據十字相乘法進行因式分解，再解方程即可求出答案.
19．【答案】解：∵關于x的一元二次方程的兩個實數根是和，
∴，，
∵
∴
∴．
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】根據二次方程根與系數的關系可得，，再整體代入方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）
（2）解：畫樹狀圖如圖所示：
由圖可以看出一共有16種等可能結果，其中有7種．
∴(至少一張卡片圖案為“A唐僧”）．
答：兩次取出的2張卡片中至少有一張圖案為“A唐僧”的概率為．
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：共有張卡片，
第一次取出的卡片圖案為“孫悟空”的概率為
故答案為：．
【分析】（1）根據概率公式即可求出答案.
（2）畫出樹狀圖，求出所有等可能的結果，再求出至少一張卡片圖案為“A唐僧”的結果，再根據概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知識點】相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
22．【答案】（1）解：設波長關于頻率f的函數解析式為，
把點代入上式中得：，
解得：，
；
（2）解：當時，，
答：當時，此電磁波的波長為．
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數的實際應用
【解析】【分析】（1）運用待定系數法求反比例函數即可求解；
（2）將代入即可求解。
23．【答案】（1）解：設該品牌電動自行車銷售量的月均增長率為x，
根據題意列方程：，
解得（不合題意，舍去），
答：該品牌電動自行車銷售量的月均增長率．

（2）解：由題意可得：
，
∴預計4月份的銷量不會達到300輛．
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；有理數乘法的實際應用
【解析】【分析】（1）設該品牌電動自行車銷售量的月均增長率為x，根據題意列出方程，解方程即可求出答案.
（2）依據（1）中增長率計算，再比較大小即可求出答案.
24．【答案】（1）解：點A、B的橫坐標分別為1、，點A、B在的圖象上，
當時，；當時，，
，，
點A、B在一次函數的圖象上，
，
解得，
一次函數的解析式為；
（2）或；
（3）解：存在，理由如下：
對于，當時，，當時，，
，，
設，
，
，
，
點在反比例函數的圖象上，
，
．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：（2）由題意可得：
反比例函數圖象可得時，x的取值范圍是或；
【分析】（1）將A，B橫坐標代入反比例函數解析式可得，，再根據待定系數法將點A，B坐標代入一次函數解析式即可求出答案.
（2）當時，即為B點左側圖象和第一象限的圖象，結合函數圖象即可求出答案.
（3）根據坐標軸上點的坐標特征求出，，設，根據三角形面積建立方程，解方程可得n=-2，再將點P坐標代入反比例函數解析式即可求出答案.
25．【答案】（1）
（2）解：同意；理由如下：
連接，
同法（1）可得：，
∴；
（3）線段的長為2或4
【知識點】三角形全等及其性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）連接，
∵在菱形中，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）過點作于點，
同（1）可知：為等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或；
由（2）知：，
∴，
∴或2．
【分析】（1）連接，根據菱形性質可得再根據等邊三角形判定定理可得為等邊三角形，則，再根據全等三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
（2）連接，根據全等三角形判定定理即可求出答案.
（3）過點作于點，根據等邊三角形性質可得， 再根據勾股定理可得，PE=1，再根據邊之間的關系可得PC，由全等三角形性質可得，即可求出答案.
1 / 1廣東省清遠市連山壯族瑤族自治縣2023-2024學年九年級上學期期末數學試題
1．（2024九上·連山期末）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（　　）
A．正方形　 B．矩形　 C．菱形　 D．平行四邊形
【答案】D
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【分析】中心對稱圖形以一點為中心旋轉180后與原圖完全重合，四個選項圖形都滿足；而軸對稱圖形要求圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合，則D中平行四邊形不是軸對稱圖形，故選D．
【點評】本題難度較低，主要考查學生對中心旋轉與軸對稱知識點的掌握，要求學生牢固掌握特殊多邊形的性質特征．
2．（2024九上·連山期末）若與相似，且對應中線的比為，則與的面積比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】相似三角形的性質-對應面積
【解析】【解答】解：∵與相似，且對應中線的比為，
∴相似比為，
∴與的面積比是，
故答案為：D
【分析】根據相似三角形性質即可求出答案.
3．（2024九上·連山期末）關于的方程是一元二次方程，則的值是（ ）
A． B． C．或 D．3
【答案】A
【知識點】一元二次方程的定義及相關的量；直接開平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵關于x的方程是一元二次方程，
∴， ，
解得： ，
故答案為：A
【分析】根據一元二次方程的定義即可求出答案.
4．（2024九上·連山期末）把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，則m，n的值是（　?。?br/>A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
【答案】C
【知識點】二次函數y=ax²+bx+c與二次函數y=a（x-h）²+k的轉化
【解析】【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0
∴x2﹣8x＝﹣3
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16
∴（x﹣4）2＝13
∴m＝﹣4，n＝13
故答案為：C．
【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數．
5．（2024九上·連山期末）物理某一實驗的電路圖如圖所示，其中K1，K2，K3為電路開關，L1，L2為能正常發光的燈泡．任意閉合開關K1，K2，K3中的兩個，那么能讓兩盞燈泡同時發光的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有6種等可能的結果，能讓兩盞燈泡同時發光的有2種情況，
∴能讓兩盞燈泡同時發光的概率為：P==．
故答案為：A
【分析】畫出樹狀圖，求出所有等可能的結果， 再求出能讓兩盞燈泡同時發光的結果，再根據概率公式即可求出答案.
6．（2024九上·連山期末）已知點，都在雙曲線上，且，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】反比例函數的概念；反比例函數的性質
【解析】【解答】解：將點，兩點分別代入雙曲線，得
，
，
∵，
，
解得，
故答案為：C
【分析】將點A，B坐標代入雙曲線解析式可得y值，再根據題意建立不等式，解不等式即可求出答案.
7．（2024九上·連山期末）如圖是由6個同樣大小的正方體擺成的幾何體．將正方體①移走后，所得幾何體（　　）
A．主視圖改變，左視圖改變 B．俯視圖不變，左視圖不變
C．俯視圖改變，左視圖改變 D．主視圖改變，左視圖不變
【答案】D
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：將正方體①移走前的主視圖正方形的個數為1，2，1；正方體①移走后的主視圖正方形的個數為1，2；發生改變．
將正方體①移走前的左視圖正方形的個數為2，1，1；正方體①移走后的左視圖正方形的個數為2，1，1；沒有發生改變．
將正方體①移走前的俯視圖正方形的個數為1，3，1；正方體①移走后的俯視圖正方形的個數，1，3；發生改變．
故答案為：D
【分析】根據組合體的三視圖即可求出答案.
8．（2024九上·連山期末）已知a、b、c為常數，點P（a，c）在第二象限，則關于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是（　　）
A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法判斷
【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；點的坐標
【解析】【解答】解：∵點P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選B．
【分析】先利用第二象限點的坐標特征得到ac＜0，則判斷△＞0，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況．
9．（2024九上·連山期末）在四邊形中，．下列說法能使四邊形為矩形的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的長為AD與BC的距離，
∵AD=CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C=∠D=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴選項ABD不符合題意，選項C不符合題意，
故答案為：C.
【分析】根據矩形的判定方法判斷求解即可。
10．（2024九上·連山期末）如圖，在正方形中，點E，F分別在，上，，與相交于點G．下列結論，其中正確的是（ ）
①垂直平分；②；③當時，為等邊三角形；④當時，．
A．①③④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；等邊三角形的性質；勾股定理；正方形的性質
【解析】【解答】解：①四邊形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，即，
∵，
∴垂直平分．故①正確；
②設，，
∴，
，
∴與關系不確定，只有當時成立，故②錯誤；
③當時，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴為等邊三角形．故③正確；
④當時，設，，由勾股定理就可以得出：
，
∴
∵，，
∴．故④正確．
綜上所述，正確的有①③④，
故答案為：A
【分析】①通過條件可以得出，從而得出，，由正方形的性質就可以得出，就可以得出垂直平分，
②設，，由勾股定理就可以得出與x、y的關系，表示出與，即可判斷與關系不確定；
③當時，可計算出，即可判斷為等邊三角形，
④當時，設，，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出與，利用三角形的面積公式分別表示出和，再通過比較大小就可以得出結論．
11．（2024九上·連山期末）菱形的兩條對角線的長分別是和，則它的面積為　 ?。?br/>【答案】16
【知識點】菱形的性質
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】根據菱形面積即可求出答案.
12．（2024九上·連山期末）若，且，則　 　．
【答案】6
【知識點】比例的性質
【解析】【解答】解：，
由等比性質，得，
所以．
故答案為：6．
【分析】根據比例性質即可求出答案.
13．（2024九上·連山期末）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”．如圖，點P為的黃金分割點，如果的長度為，那么的長度是　 ?。ūＡ舾枺?br/>【答案】
【知識點】黃金分割
【解析】【解答】解： P為的黃金分割點，
，
故答案為：．
【分析】根據黃金分割的定義即可求出答案.
14．（2024九上·連山期末）如圖，小華做小孔成像實驗，已知蠟燭與成像板之間的距離為，則蠟燭與成像板之間的小孔紙板應放在離蠟燭　 　的地方時，蠟燭焰是像的一半．
【答案】7
【知識點】解分式方程；相似三角形的應用
【解析】【解答】解：設小孔紙板應放在離蠟燭的地方，由題意得：
解得，
經檢驗，是原方程的解，
則小孔紙板應放在離蠟燭的地方時，蠟燭焰是像的一半．
故答案為：7．
【分析】設小孔紙板應放在離蠟燭的地方，根據蠟燭焰是像的一半建立方程，解方程即可求出答案.
15．（2024九上·連山期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE=　 　度．
【答案】22.5°
【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；等腰三角形的性質；矩形的性質
【解析】【解答】解：四邊形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°
【分析】根據矩形性質可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，則OA=OB═OC，再根據角之間的關系即可求出答案.
16．（2024九上·連山期末）正比例函數與反比例函數的圖象相交于A，C兩點，軸于B，軸于D，則四邊形的面積為　 ?。?br/>【答案】2
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；平行四邊形的判定與性質；正比例函數的性質
【解析】【解答】解：如圖，
∵軸于B，軸于D，
由反比例函數的對稱性可得：，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：2．
【分析】由反比例函數的性質可得，，再根據平行四邊形判定定理可得四邊形是平行四邊形，則，再根據三角形面積即可求出答案.
17．（2024九上·連山期末）如圖，在矩形中，，點E在上，點F在上，且，連結，則的最小值為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】三角形全等及其性質；勾股定理；矩形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題
【解析】【解答】解：連接，作點關于的對稱點，連接
由題意得：
∵
∴
∴
∵
∴
∴的最小值為
故答案為：
【分析】連接，作點關于的對稱點，連接，根據全等三角形判定定理可得，則，再根據勾股定理可得CB'，再根據線段之間的關系即可求出答案.
18．（2024九上·連山期末）解一元二次方程：．
【答案】解：，
∴或，
∴，．
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根據十字相乘法進行因式分解，再解方程即可求出答案.
19．（2024九上·連山期末）已知一元二次方程的兩個實數根為，，若，求實數k的值．
【答案】解：∵關于x的一元二次方程的兩個實數根是和，
∴，，
∵
∴
∴．
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【分析】根據二次方程根與系數的關系可得，，再整體代入方程，解方程即可求出答案.
20．（2024九上·連山期末）如圖，有張分別印有版西游圖案的卡片：唐僧、孫悟空、豬八戒、沙悟凈．
現將這張卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出張卡片求下列事件發生的概率：
（1）第一次取出的卡片圖案為“孫悟空”的概率為__________；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有張圖案為“唐僧”的概率．
【答案】（1）
（2）解：畫樹狀圖如圖所示：
由圖可以看出一共有16種等可能結果，其中有7種．
∴(至少一張卡片圖案為“A唐僧”）．
答：兩次取出的2張卡片中至少有一張圖案為“A唐僧”的概率為．
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：共有張卡片，
第一次取出的卡片圖案為“孫悟空”的概率為
故答案為：．
【分析】（1）根據概率公式即可求出答案.
（2）畫出樹狀圖，求出所有等可能的結果，再求出至少一張卡片圖案為“A唐僧”的結果，再根據概率公式即可求出答案.
21．（2024九上·連山期末）如圖，，點是線段上的一點，且．已知．
（1）證明：．
（2）求線段的長．
【答案】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知識點】相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
22．（2024九上·連山期末）笑笑同學通過學習數學和物理知識，知道了電磁波的波長（單位：m）會隨著電磁波的頻率f（單位：）的變化而變化．已知波長與頻率f是反比例函數關系，下面是它們的部分對應值：
頻率f（） 10 15 50
波長（m） 30 20 6
（1）求波長關于頻率f的函數解析式．
（2）當時，求此電磁波的波長．
【答案】（1）解：設波長關于頻率f的函數解析式為，
把點代入上式中得：，
解得：，
；
（2）解：當時，，
答：當時，此電磁波的波長為．
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數的實際應用
【解析】【分析】（1）運用待定系數法求反比例函數即可求解；
（2）將代入即可求解。
23．（2024九上·連山期末）電動自動車已成為市民日常出行的首選工具．據某市某品牌電動自行車經銷商1至3月份統計，該品牌電動自行車1月份銷售輛，3月份銷售輛．
（1）求該品牌電動自行車銷售量的月均增長率；
（2）假設每月的增長率相同，預計4月份的銷量會達到輛嗎
【答案】（1）解：設該品牌電動自行車銷售量的月均增長率為x，
根據題意列方程：，
解得（不合題意，舍去），
答：該品牌電動自行車銷售量的月均增長率．

（2）解：由題意可得：
，
∴預計4月份的銷量不會達到300輛．
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；有理數乘法的實際應用
【解析】【分析】（1）設該品牌電動自行車銷售量的月均增長率為x，根據題意列出方程，解方程即可求出答案.
（2）依據（1）中增長率計算，再比較大小即可求出答案.
24．（2024九上·連山期末）如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點A，B，點A，B的橫坐標分別為1，，一次函數圖象與y軸交于點C，與x軸交于點D．
（1）求一次函數的解析式；
（2）對于反比例函數，當時，寫出x的取值范圍；
（3）在第三象限的反比例函數圖象上是否存在點P，使得？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解：點A、B的橫坐標分別為1、，點A、B在的圖象上，
當時，；當時，，
，，
點A、B在一次函數的圖象上，
，
解得，
一次函數的解析式為；
（2）或；
（3）解：存在，理由如下：
對于，當時，，當時，，
，，
設，
，
，
，
點在反比例函數的圖象上，
，
．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：（2）由題意可得：
反比例函數圖象可得時，x的取值范圍是或；
【分析】（1）將A，B橫坐標代入反比例函數解析式可得，，再根據待定系數法將點A，B坐標代入一次函數解析式即可求出答案.
（2）當時，即為B點左側圖象和第一象限的圖象，結合函數圖象即可求出答案.
（3）根據坐標軸上點的坐標特征求出，，設，根據三角形面積建立方程，解方程可得n=-2，再將點P坐標代入反比例函數解析式即可求出答案.
25．（2024九上·連山期末）綜合與實踐課上，諸葛小組三位同學對含角的菱形進行了探究．
【背景】在菱形中，，作，、分別交邊、于點P、Q．
（1）【感知】如圖1，若點P是邊的中點，小南經過探索發現了線段與之間的數量關系，請你寫出這個關系式______．
（2）【探究】如圖2，小陽說“點P為上任意一點時，（1）中的結論仍然成立”，你同意嗎？請說明理由．
（3）【應用】小宛取出如圖3所示的菱形紙片，測得，，在邊上取一點P，連接，在菱形內部作，交于點Q，當時，請直接寫出線段的長．
【答案】（1）
（2）解：同意；理由如下：
連接，
同法（1）可得：，
∴；
（3）線段的長為2或4
【知識點】三角形全等及其性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的性質；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）連接，
∵在菱形中，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）過點作于點，
同（1）可知：為等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或；
由（2）知：，
∴，
∴或2．
【分析】（1）連接，根據菱形性質可得再根據等邊三角形判定定理可得為等邊三角形，則，再根據全等三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
（2）連接，根據全等三角形判定定理即可求出答案.
（3）過點作于點，根據等邊三角形性質可得， 再根據勾股定理可得，PE=1，再根據邊之間的關系可得PC，由全等三角形性質可得，即可求出答案.
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