資源簡介

二十二　直線和圓的位置關系(第1課時)
【A層 基礎夯實】
知識點1　直線和圓的位置關系
1.(2024·泰州期末)以點(1,2)為圓心畫☉P,若☉P的半徑r=1,則☉P與x軸的位置關系是( )
A.相離 B.相切
C.相交 D.無法確定
2.已知,☉O的半徑為一元二次方程x2-5x-6=0的一個根,圓心O到直線l的距離d=4,則直線l與☉O的位置關系是( )
A.相交 B.相切
C.相離 D.不能確定
3.(易錯警示題·忽略分類討論而漏解)(2024·揚州期中)在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=4,BC=3,若以C點為圓心,r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點,則r的值是 .
4.如圖,已知∠MON=30°,在ON上有一點P,OP=5 cm,若以點P為圓心,r為半徑作圓,試求圓的半徑r的取值范圍,使:
(1)射線OM與☉P只有一個公共點;
(2)射線OM與☉P有兩個公共點.
知識點2　切線的性質及應用
5.如圖,過☉O上一點P的切線與直徑AB的延長線交于點C,點D是圓上一點,且∠BDP=29°,則∠C的度數為( )
A.32° B.33° C.34° D.35°
6.如圖,AB,AC是☉O的切線,B,C為切點,D是☉O上一點,連接BD,CD,若
∠BDC=60°.AB=3,則☉O的半徑長為( )
A.1.5 B. C. D.
7.如圖,AB切圓O于點B,連接OA交圓O于點C,BD∥OA交圓O于點D,連接CD,若∠A=34°,則∠OCD的大小為( )
A.68° B.56° C.34° D.28°
8.(2024·安陽模擬)如圖,BC是☉O的直徑,點A在☉O上,AD與☉O相切于點A,交BC的延長線于點D,E是上一點,連接AB,AC,AE,BE.
(1)若∠AEB=110°,求∠D的度數.
(2)求證:∠CAD=∠ABC.
【B層 能力進階】
9.(2024·蘇州質檢)在直角坐標系中,點P的坐標是(3,),圓P的半徑為3,下列說法正確的是( )
A.☉P與x軸、y軸都有兩個公共點
B.☉P與x軸、y軸都沒有公共點
C.☉P與x軸有一個公共點,與y軸有兩個公共點
D.☉P與x軸有兩個公共點,與y軸有一個公共點
10.如圖,四邊形ABCD內接于☉O,直線EF與☉O相切于點A,且AB=AD.若∠BAE =35°,則∠BCD的度數為( )
A.35° B.55° C.70° D.80°
11.(2024·重慶一模)如圖,在☉O中,AB為直徑,BD為弦,點C為的中點,以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E,連接AC交BD于點F,若AF=3CF,AB=6,則CE的長度為( )
A.3 B.3 C.4 D.4
12.如圖,直線AB與x軸、y軸分別相交于A(3,0)、B兩點,∠BAO=30°,圓心P的坐標為(-1,0),☉P與y軸相切于原點O,若將☉P沿x軸向右移動,當☉P與該直線相交時,橫坐標為整數的點P的個數是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
13.如圖,△ABC是☉O的內接三角形,過點C的☉O的切線交BO的延長線于點P,若∠P=34°,那么∠BAC度數為 .
14.(2024·金華一模)如圖,過☉O外一點P作圓的切線PA,PB,點A,B為切點,AC為直徑,設∠P=m°,∠C=n°,則m,n的等量關系為 .
【C層 創新挑戰(選做)】
15.(幾何直觀、推理能力、運算能力)(2023·宜昌中考)如圖1,已知AB是☉O的直徑,PB是☉O的切線,PA交☉O于點C,AB=4,PB=3.
(1)填空:∠PBA的度數是 ,PA的長為 ;
(2)求△ABC的面積;
(3)如圖2,CD⊥AB,垂足為D.E是上一點,AE=5EC.延長AE,與DC,BP的延長線分別交于點F,G,求的值.二十三　直線和圓的位置關系(第2課時)
【A層 基礎夯實】
知識點1　切線的判定
1.如圖,在平面直角坐標系中,半徑為2的☉P的圓心P的坐標為(-3,0),將☉P沿x軸的正方向平移,使得☉P與y軸相切,則平移的距離為(D)
A.1 B.3 C.5 D.1或5
2.如圖,已知∠AOB=30°,M為OB邊上任意一點,以M為圓心,2 cm為半徑作☉M,當OM=　4　cm時,☉M與OA相切.
3.如圖,在△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的☉O與邊AB交于點D,過D作DE⊥AC,垂足為E.求證:DE為☉O的切線.
【證明】連接OD,如圖所示,
∵AC=BC,∴∠A=∠ABC,
∵OB=OD,∴∠ODB=∠ABC,
∴∠ODB=∠A,∴OD∥AC,
又∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,
∴DE為☉O的切線.
知識點2　三角形的內切圓
4.如圖,△ABC的內切圓☉O與AB,BC,CA分別相切于點D,E,F,若∠DEF=53°,則
∠A的度數是(C)
A.36° B.53° C.74° D.128°
5.(2024·池州質檢)如圖,☉O是△ABC的外接圓,AB是直徑,☉D是△ABC的內切圓,連接AD,BD,則∠ADB的度數為(B)
A.120° B.135° C.145° D.150°
6.(2024·蘇州期末)如圖,△ABC的周長是18 cm,點O是△ABC的內心,過點O作EF∥AB,與AC,BC分別交于點E,F,已知AB=6 cm,則△CEF的周長為　12　cm.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.如圖,☉O是△ABC的內切圓,與三邊分別相切于點E,F,G.
(1)求證:內切圓的半徑r=1;
【解析】(1)如圖,連接OE,OF,OG,OB,
∵☉O是△ABC的內切圓,∠C=90°,
∴四邊形CEOF是正方形,∴CE=CF=r.
∴Rt△AOE≌Rt△AOG(HL),∴AE=AG,同理BG=BF.
又∵AG=AE=3-r,BG=BF=4-r,AG+BG=5,∴(3-r)+(4-r)=5,解得r=1.
(2)求tan∠OAG的值.
【解析】(2)在Rt△AOG中,∵r=1,AG=3-r=2,∴tan∠OAG==.
【B層 能力進階】
8.(2023·聊城中考)如圖,點O是△ABC外接圓的圓心,點I是△ABC的內心,連接OB,IA.若∠CAI=35°,則∠OBC的度數為(C)
A.15° B.17.5° C.20° D.25°
9.(2024·泰州期末)如圖,在△ABC中,∠BAC=70°,I是△ABC的內心,連接AI并延長至點D,使ID=BD.則∠DBC的度數是(B)
A.30° B.35° C.40° D.45°
10.如圖,AB是半圓O的直徑,點C在半圓上(不與A,B重合),DE⊥AB于點D,交BC于點F,下列條件中能判定CE是切線的是(C)
A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°
11.(2024·煙臺期末)等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,點O1,O2分別是△ABC的內心和外心,則O1O2= 　.
12.(2023·隨州中考)如圖,AB是☉O的直徑,點E,C在☉O上,點C是的中點,AE垂直于過C點的直線DC,垂足為D,AB的延長線交直線DC于點F.
(1)求證:DC是☉O的切線;
【解析】(1)連接OC,
∵AD⊥DF,∴∠D=90°,
∵點C是的中點,∴=,∴∠DAC=∠CAB,
∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC,∴∠OCF=∠D=90°,
∵OC是☉O的半徑,∴DC是☉O的切線;
(2)若AE=2,sin∠AFD=,
①求☉O的半徑;
②求線段DE的長.
【解析】(2)①過點O作OG⊥AE,垂足為G,
∴AG=EG=AE=1,
∵OG⊥AD,∴∠AGO=∠DGO=90°,
∵∠D=∠AGO=90°,∴OG∥DF,∴∠AFD=∠AOG,
∵sin∠AFD=,∴sin∠AOG=sin∠AFD=,
在Rt△AGO中,AO===3,∴☉O的半徑為3;
②∵∠OCF=90°,∴∠OCD=180°-∠OCF=90°,
∵∠OGE=∠D=90°,∴四邊形OGDC是矩形,
∴OC=DG=3,
∵GE=1,∴DE=DG-GE=3-1=2,
∴線段DE的長為2.
【C層 創新挑戰(選做)】
13.(2023·廣安中考)如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作☉O,交斜邊AC于點D,點E是BC的中點,連接OE,DE.
(1)求證:DE是☉O的切線;
【解析】(1)連接OD,BD,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°,∵點E是BC的中點,
∴DE=BE=EC,∵OB,OD是☉O的半徑,
∴OB=OD,又∵OE=OE,∴△ODE≌△OBE(SSS),
∴∠ODE=∠OBE=90°,∴半徑OD⊥DE,
∴DE是☉O的切線;
(2)若sin C=,DE=5,求AD的長;
【解析】(2)由(1)知:DE=BE=EC,∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°,∵DE=5,∴BC=10,
∵sin C=,∴=,∴BD=8,
∵∠C+∠CBD=∠ABD+∠CBD=90°,
∴∠ABD=∠C,∴sin∠ABD=sin C=,
∴=,設AD=4x,則AB=5x,
∵AD2+BD2=AB2,∴(4x)2+82=(5x)2,
解得x=(負值舍去),∴AD=4x=4×=;
(3)求證:2DE2=CD·OE.
【解析】(3)由(1)(2)得∠BDC=∠OBE=90°,BE=DE,
∵點O是AB的中點,點E是BC的中點,∴OE∥AC,∴∠C=∠OEB,
∴△BCD∽△OEB,
∴=,即=,
∴2DE2=CD·OE.二十二　直線和圓的位置關系(第1課時)
【A層 基礎夯實】
知識點1　直線和圓的位置關系
1.(2024·泰州期末)以點(1,2)為圓心畫☉P,若☉P的半徑r=1,則☉P與x軸的位置關系是(A)
A.相離 B.相切
C.相交 D.無法確定
2.已知,☉O的半徑為一元二次方程x2-5x-6=0的一個根,圓心O到直線l的距離d=4,則直線l與☉O的位置關系是(A)
A.相交 B.相切
C.相離 D.不能確定
3.(易錯警示題·忽略分類討論而漏解)(2024·揚州期中)在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=4,BC=3,若以C點為圓心,r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點,則r的值是　34.如圖,已知∠MON=30°,在ON上有一點P,OP=5 cm,若以點P為圓心,r為半徑作圓,試求圓的半徑r的取值范圍,使:
(1)射線OM與☉P只有一個公共點;
(2)射線OM與☉P有兩個公共點.
【解析】過P作PH⊥OM于H,∵∠MON=30°,OP=5 cm,∴PH=OP=2.5 cm.
(1)∵射線OM與☉P只有一個公共點,
∴☉P與射線OM相切或點O在圓的內部,
∴r=PH=2.5 cm或r>5 cm.
(2)∵射線OM與☉P有兩個公共點.
∴PH∴2.5 cm知識點2　切線的性質及應用
5.如圖,過☉O上一點P的切線與直徑AB的延長線交于點C,點D是圓上一點,且∠BDP=29°,則∠C的度數為(A)
A.32° B.33° C.34° D.35°
6.如圖,AB,AC是☉O的切線,B,C為切點,D是☉O上一點,連接BD,CD,若
∠BDC=60°.AB=3,則☉O的半徑長為(D)
A.1.5 B. C. D.
7.如圖,AB切圓O于點B,連接OA交圓O于點C,BD∥OA交圓O于點D,連接CD,若∠A=34°,則∠OCD的大小為(D)
A.68° B.56° C.34° D.28°
8.(2024·安陽模擬)如圖,BC是☉O的直徑,點A在☉O上,AD與☉O相切于點A,交BC的延長線于點D,E是上一點,連接AB,AC,AE,BE.
(1)若∠AEB=110°,求∠D的度數.
【解析】(1)連接CE,AO,
∵BC是圓的直徑,∴∠BEC=90°,
∵∠AEB=110°,∴∠AEC=∠110°-90°=20°,
∴∠AOD=2∠AEC=40°,
∵AD與圓相切于A,∴OA⊥AD,
∴∠OAD=90°,∴∠D=90°-∠AOD=50°.
(2)求證:∠CAD=∠ABC.
【解析】(2)由(1)知,∠BAC=∠OAD=90°,
∴∠BAO+∠OAC=∠CAD+∠OAC=90°,
∴∠CAD=∠BAO,
∵OA=OB,∴∠BAO=∠ABC,
∴∠CAD=∠ABC.
【B層 能力進階】
9.(2024·蘇州質檢)在直角坐標系中,點P的坐標是(3,),圓P的半徑為3,下列說法正確的是(D)
A.☉P與x軸、y軸都有兩個公共點
B.☉P與x軸、y軸都沒有公共點
C.☉P與x軸有一個公共點,與y軸有兩個公共點
D.☉P與x軸有兩個公共點,與y軸有一個公共點
10.如圖,四邊形ABCD內接于☉O,直線EF與☉O相切于點A,且AB=AD.若∠BAE =35°,則∠BCD的度數為(C)
A.35° B.55° C.70° D.80°
11.(2024·重慶一模)如圖,在☉O中,AB為直徑,BD為弦,點C為的中點,以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E,連接AC交BD于點F,若AF=3CF,AB=6,則CE的長度為(C)
A.3 B.3 C.4 D.4
12.如圖,直線AB與x軸、y軸分別相交于A(3,0)、B兩點,∠BAO=30°,圓心P的坐標為(-1,0),☉P與y軸相切于原點O,若將☉P沿x軸向右移動,當☉P與該直線相交時,橫坐標為整數的點P的個數是(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
13.如圖,△ABC是☉O的內接三角形,過點C的☉O的切線交BO的延長線于點P,若∠P=34°,那么∠BAC度數為　118°　.
14.(2024·金華一模)如圖,過☉O外一點P作圓的切線PA,PB,點A,B為切點,AC為直徑,設∠P=m°,∠C=n°,則m,n的等量關系為　m+2n=180　.
【C層 創新挑戰(選做)】
15.(幾何直觀、推理能力、運算能力)(2023·宜昌中考)如圖1,已知AB是☉O的直徑,PB是☉O的切線,PA交☉O于點C,AB=4,PB=3.
(1)填空:∠PBA的度數是　　　　,PA的長為 　　　　;
【解析】(1)∵AB是☉O的直徑,PB是☉O的切線,
∴∠PBA的度數為90°,
∵AB=4,PB=3,∴PA===5.
答案:90°　5
(2)求△ABC的面積;
【解析】(2)∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,
∵S△ABP=×AP·BC=AB·BP,∴BC=,
∴AC===,
∴S△ABC=×AC·BC=××=;
(3)如圖2,CD⊥AB,垂足為D.E是上一點,AE=5EC.延長AE,與DC,BP的延長線分別交于點F,G,求的值.
【解析】(3)∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°=∠ACB,
∴∠ACD+∠BCD=90°=∠ABC+∠BCD,∴∠ACD=∠ABC,
∵四邊形ABCE是圓的內接四邊形,∴∠ABC+∠AEC=180°,
∵∠ACD+∠ACF=180°,∴∠AEC=∠ACF,
又∵∠EAC=∠FAC,∴△EAC∽△CAF,∴==,
∵AE=5EC,AC=,∴CF=,
∵∠ADC=90°=∠ACB,∠BAC=∠DAC,∴△ADC∽△ACB,
∴==,∴AD==,∴CD=,DB=,∴DF=CD+CF==AD,
∴△ADF是等腰直角三角形,∴AF=,
∴=,∴AE=2,∴EF=AF-AE=,
∵DF∥BG,∴=,∴=,∴FG=,∴==.二十三　直線和圓的位置關系(第2課時)
【A層 基礎夯實】
知識點1　切線的判定
1.如圖,在平面直角坐標系中,半徑為2的☉P的圓心P的坐標為(-3,0),將☉P沿x軸的正方向平移,使得☉P與y軸相切,則平移的距離為( )
A.1 B.3 C.5 D.1或5
2.如圖,已知∠AOB=30°,M為OB邊上任意一點,以M為圓心,2 cm為半徑作☉M,當OM= cm時,☉M與OA相切.
3.如圖,在△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的☉O與邊AB交于點D,過D作DE⊥AC,垂足為E.求證:DE為☉O的切線.
知識點2　三角形的內切圓
4.如圖,△ABC的內切圓☉O與AB,BC,CA分別相切于點D,E,F,若∠DEF=53°,則
∠A的度數是( )
A.36° B.53° C.74° D.128°
5.(2024·池州質檢)如圖,☉O是△ABC的外接圓,AB是直徑,☉D是△ABC的內切圓,連接AD,BD,則∠ADB的度數為( )
A.120° B.135° C.145° D.150°
6.(2024·蘇州期末)如圖,△ABC的周長是18 cm,點O是△ABC的內心,過點O作EF∥AB,與AC,BC分別交于點E,F,已知AB=6 cm,則△CEF的周長為 cm.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.如圖,☉O是△ABC的內切圓,與三邊分別相切于點E,F,G.
(1)求證:內切圓的半徑r=1;
(2)求tan∠OAG的值.
【B層 能力進階】
8.(2023·聊城中考)如圖,點O是△ABC外接圓的圓心,點I是△ABC的內心,連接OB,IA.若∠CAI=35°,則∠OBC的度數為( )
A.15° B.17.5° C.20° D.25°
9.(2024·泰州期末)如圖,在△ABC中,∠BAC=70°,I是△ABC的內心,連接AI并延長至點D,使ID=BD.則∠DBC的度數是( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
10.如圖,AB是半圓O的直徑,點C在半圓上(不與A,B重合),DE⊥AB于點D,交BC于點F,下列條件中能判定CE是切線的是( )
A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°
11.(2024·煙臺期末)等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,點O1,O2分別是△ABC的內心和外心,則O1O2= .
12.(2023·隨州中考)如圖,AB是☉O的直徑,點E,C在☉O上,點C是的中點,AE垂直于過C點的直線DC,垂足為D,AB的延長線交直線DC于點F.
(1)求證:DC是☉O的切線;
(2)若AE=2,sin∠AFD=,
①求☉O的半徑;
②求線段DE的長.
【C層 創新挑戰(選做)】
13.(2023·廣安中考)如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作☉O,交斜邊AC于點D,點E是BC的中點,連接OE,DE.
(1)求證:DE是☉O的切線;
(2)若sin C=,DE=5,求AD的長;
(3)求證:2DE2=CD·OE.

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