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二十一　確定圓的條件
【A層 基礎夯實】
知識點1　確定圓的條件
1.下列條件中,能確定一個圓的是(B)
A.經過已知點M
B.以點O為圓心,10 cm長為半徑
C.以10 cm長為半徑
D.以點O為圓心
2.(2024·威海質檢)已知點A,B,且AB<4,畫經過A,B兩點且半徑為2的圓有(C)
A.0個 B.1個 C.2個 D.無數個
3.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了,其中三塊碎片如圖所示,三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是(A)
A.① B.② C.③ D.均不可能
4.平面直角坐標系內的三個點A(1,-3),B(0,-3),C(2,-3),　不能　確定一個圓.(填“能”或“不能”)
知識點2　三角形的外接圓
5.如圖,△ABC內接于☉O,若∠A=α,BA為∠OBC的平分線,則∠BCA=(C)
A.180°-α B.90°+α
C.135°-α D.135°+α
6.如圖,☉O是等邊三角形ABC的外接圓,若AB=3,則☉O的半徑是(C)
A. B.
C. D.
7.(2024·石家莊質檢)如圖,在Rt△ABC中,點M是斜邊BC的中點,以AM為邊作正方形AMEF,下列三角形中,外心不是點M的是(C)
A.△ABC B.△AEC C.△ACF D.△BCE
8.(2024·鹽城中考)如圖,△ABC是☉O的內接三角形,∠C=40°,連接OA,OB,則
∠OAB=　50　°.
【B層 能力進階】
9.(2024·西安二模)如圖,☉O是△ABC的外接圓,AD為☉O的直徑,交BC于點E,若點C為半圓AD的中點,弦AB=DO,則∠BED的度數為(D)
A.60° B.65° C.70° D.75°
10.△ABC的邊AB=8,邊AC,BC的長是一元二次方程m2-16m+60=0的兩根,則△ABC的外接圓的半徑是　5　.
11.(易錯警示題·忽略分類討論而漏解)等腰△ABC內接于☉O,若☉O的半徑為
10 cm,△ABC的底邊長為12 cm,則這個等腰三角形的腰長AB=　2或
6　cm.
12.如圖,☉O的半徑為,△ABC是☉O的內接等邊三角形,將△ABC折疊,使點A落在☉O上,折痕EF平行于BC,則EF的長為　2　.
13.如圖,已知△ABC內接于☉O,BC是☉O的直徑,OD⊥AC于點D.半徑OE⊥BC,連接BD,EA,且EA⊥BD.若BC=10,則OD= 　.
14.(2024·孝感模擬)如圖,△ABC內接于☉O,D為BC上一點,連接AD,AO,∠BAD=∠CAO.
(1)如圖1,求證:AD⊥BC;
【解析】(1)延長AO交☉O于E,如圖,
則∠ACE=90°,∴∠CAE+∠AEC=90°,
∵=,∴∠ABC=∠AEC,
∵∠BAD=∠CAO,即∠BAD=∠CAE,
∴∠ABC+∠BAD=90°,
∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC;
(2)如圖2,延長AD交☉O于點H,連接CH,若AB=10,CH=6,求☉O的半徑.
【解析】(2)延長AO交☉O于點F,連接FB,如圖,
∵AF為☉O的直徑,∴∠ABF=90°,
∵∠BAD=∠CAO,∴∠BAD+∠HAF=∠CAO+∠HAF,即∠BAF=∠CAH,
∴=,∴BF=CH,
∵AB=10,CH=6,∠ABF=90°,
∴AF===2,則OA=,
即☉O的半徑為.
【C層 創新挑戰(選做)】
15.(模型觀念、推理能力、運算能力)如圖,以AB為直徑的☉O經過△ABC的頂點C,AE,BE分別平分∠BAC和∠ABC,AE的延長線交☉O于點D,連接BD.
(1)判斷△BDE的形狀,并證明你的結論;
【解析】(1)△BDE為等腰直角三角形.理由如下:
∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠CBE,
∴∠BED=∠DBE,∴BD=ED.
∵AB為直徑,∴∠ADB=90°,∴△BDE是等腰直角三角形.
(2)若AB=10,BE=2,求BC的長.
【解析】(2)如圖,連接OC,CD,OD,OD交BC于點F.
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,
∴BD=DC.
∵OB=OC,∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形,BE=2,
∴BD=2.∵AB=10,∴OB=OD=5.
設OF=t,則DF=5-t.
在Rt△BOF和Rt△BDF中,52-t2=(2)2-(5-t)2,解得t=3,∴BF=4,∴BC=8.二十一　確定圓的條件
【A層 基礎夯實】
知識點1　確定圓的條件
1.下列條件中,能確定一個圓的是( )
A.經過已知點M
B.以點O為圓心,10 cm長為半徑
C.以10 cm長為半徑
D.以點O為圓心
2.(2024·威海質檢)已知點A,B,且AB<4,畫經過A,B兩點且半徑為2的圓有( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.無數個
3.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了,其中三塊碎片如圖所示,三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是( )
A.① B.② C.③ D.均不可能
4.平面直角坐標系內的三個點A(1,-3),B(0,-3),C(2,-3), 確定一個圓.(填“能”或“不能”)
知識點2　三角形的外接圓
5.如圖,△ABC內接于☉O,若∠A=α,BA為∠OBC的平分線,則∠BCA=( )
A.180°-α B.90°+α
C.135°-α D.135°+α
6.如圖,☉O是等邊三角形ABC的外接圓,若AB=3,則☉O的半徑是( )
A. B.
C. D.
7.(2024·石家莊質檢)如圖,在Rt△ABC中,點M是斜邊BC的中點,以AM為邊作正方形AMEF,下列三角形中,外心不是點M的是( )
A.△ABC B.△AEC C.△ACF D.△BCE
8.(2024·鹽城中考)如圖,△ABC是☉O的內接三角形,∠C=40°,連接OA,OB,則
∠OAB= °.
【B層 能力進階】
9.(2024·西安二模)如圖,☉O是△ABC的外接圓,AD為☉O的直徑,交BC于點E,若點C為半圓AD的中點,弦AB=DO,則∠BED的度數為( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
10.△ABC的邊AB=8,邊AC,BC的長是一元二次方程m2-16m+60=0的兩根,則△ABC的外接圓的半徑是 .
11.(易錯警示題·忽略分類討論而漏解)等腰△ABC內接于☉O,若☉O的半徑為
10 cm,△ABC的底邊長為12 cm,則這個等腰三角形的腰長AB= cm.
12.如圖,☉O的半徑為,△ABC是☉O的內接等邊三角形,將△ABC折疊,使點A落在☉O上,折痕EF平行于BC,則EF的長為 .
13.如圖,已知△ABC內接于☉O,BC是☉O的直徑,OD⊥AC于點D.半徑OE⊥BC,連接BD,EA,且EA⊥BD.若BC=10,則OD= .
14.(2024·孝感模擬)如圖,△ABC內接于☉O,D為BC上一點,連接AD,AO,∠BAD=∠CAO.
(1)如圖1,求證:AD⊥BC;
(2)如圖2,延長AD交☉O于點H,連接CH,若AB=10,CH=6,求☉O的半徑.
【C層 創新挑戰(選做)】
15.(模型觀念、推理能力、運算能力)如圖,以AB為直徑的☉O經過△ABC的頂點C,AE,BE分別平分∠BAC和∠ABC,AE的延長線交☉O于點D,連接BD.
(1)判斷△BDE的形狀,并證明你的結論;
(2)若AB=10,BE=2,求BC的長.

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