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二十　圓周角和圓心角的關(guān)系(第2課時(shí))
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識點(diǎn)1　圓周角定理推論2
1.如圖,AB為☉O的直徑,點(diǎn)C,D都在☉O上,作CE∥AB交☉O于點(diǎn)E,若∠ADE= 25°,則∠ABC的度數(shù)為( )
A.45° B.55° C.65° D.75°
2.(2023·岳陽中考)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題:“今有圓材,徑二尺五寸.欲為方版,令厚七寸,問廣幾何 ”結(jié)合如圖,其大意是:今有圓形材質(zhì),直徑BD為25寸,要做成方形板材,使其厚度CD達(dá)到7寸.則BC的長是( )
A.寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
3.如圖,在☉O中,直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,連接AC,BD.
(1)求證:△AEC∽△DEB;
(2)連接AD,若AD=3,∠C=30°,求☉O的半徑.
知識點(diǎn)2　圓內(nèi)接四邊形
4.在☉O的內(nèi)接四邊形ABCD中,∠B與∠D的數(shù)量關(guān)系為( )
A.∠B=∠D B.∠B+∠D=180°
C.∠B>∠D D.∠B<∠D
5.(2024·駐馬店一模)如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是半圓弧上兩點(diǎn),若∠CAB=
42°,則∠ADC的度數(shù)為( )
A.138° B.148° C.132° D.122°
6.如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,BE是☉O的直徑,連接AE.若∠BCD=2∠BAD,連接OD,則∠DOE的度數(shù)是 .
7.如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD,延長CD至點(diǎn)E.
(1)若AB=AC,求證:∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,☉O的半徑為2,求sin∠BAC.
【B層 能力進(jìn)階】
8.(2024·廣元中考)如圖,已知四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,E為AD延長線上一點(diǎn),∠AOC=128°,則∠CDE等于( )
A.64° B.60° C.54° D.52°
9.(2024·西安模擬)如圖,AB是☉O的直徑,=,弦CD延長線與AB延長線交于點(diǎn)E,AD,BC交于點(diǎn)F,若CD=DE,則∠AFC的度數(shù)為( )
A.52.5° B.60° C.67.5° D.75°
10.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,對角線AC是☉O的直徑,∠ACD=30°,連接對角線BD,則∠CBD的度數(shù)是 .
11.(2024·泰州期末)如圖,AB是☉O的直徑,E是☉O上異于A,B的一點(diǎn),連接AE,BE,直徑DC⊥AE交AE于點(diǎn)P,且D在上,若AB=25,AE=24,則PC的長為 .
12.如圖,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,☉O是△ABC的外接圓,點(diǎn)A,B,O在格點(diǎn)上,則cos∠ACB的值是 .
13.(2024·佛山一模)如圖,已知OA是☉O的半徑,過OA上一點(diǎn)D作弦BE垂直于OA,連接AB,AE.線段BC為☉O的直徑,連接AC交BE于點(diǎn)F.
(1)求證:∠ABE=∠C;
(2)若AC平分∠OAE,求的值.
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
14.(幾何直觀、模型觀念、推理能力)如圖,正方形ABCD內(nèi)接于☉O,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),連接CE交BD于點(diǎn)F,延長CE交☉O于點(diǎn)G,連接BG.
(1)求證:FB2=FE·FG.
(2)若AB=6,求FB和EG的長.二十　圓周角和圓心角的關(guān)系(第2課時(shí))
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識點(diǎn)1　圓周角定理推論2
1.如圖,AB為☉O的直徑,點(diǎn)C,D都在☉O上,作CE∥AB交☉O于點(diǎn)E,若∠ADE= 25°,則∠ABC的度數(shù)為(C)
A.45° B.55° C.65° D.75°
2.(2023·岳陽中考)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題:“今有圓材,徑二尺五寸.欲為方版,令厚七寸,問廣幾何 ”結(jié)合如圖,其大意是:今有圓形材質(zhì),直徑BD為25寸,要做成方形板材,使其厚度CD達(dá)到7寸.則BC的長是(C)
A.寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
3.如圖,在☉O中,直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,連接AC,BD.
(1)求證:△AEC∽△DEB;
【解析】(1)∵∠C=∠B,∠AEC=∠DEB,∴△AEC∽△DEB;
(2)連接AD,若AD=3,∠C=30°,求☉O的半徑.
【解析】(2)∵∠C=∠B,∠C=30°,∴∠B=30°,
∵AB是☉O的直徑,AD=3,
∴∠ADB=90°,∴AB=6,
∴☉O的半徑為3.
知識點(diǎn)2　圓內(nèi)接四邊形
4.在☉O的內(nèi)接四邊形ABCD中,∠B與∠D的數(shù)量關(guān)系為(B)
A.∠B=∠D B.∠B+∠D=180°
C.∠B>∠D D.∠B<∠D
5.(2024·駐馬店一模)如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是半圓弧上兩點(diǎn),若∠CAB=
42°,則∠ADC的度數(shù)為(C)
A.138° B.148° C.132° D.122°
6.如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,BE是☉O的直徑,連接AE.若∠BCD=2∠BAD,連接OD,則∠DOE的度數(shù)是　60°　.
7.如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD,延長CD至點(diǎn)E.
(1)若AB=AC,求證:∠ADB=∠ADE;
【解析】(1)∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠ADE=∠ABC,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠ADE;
(2)若BC=3,☉O的半徑為2,求sin∠BAC.
【解析】(2)如圖,連接CO并延長交☉O于點(diǎn)F,連接BF,
則∠FBC=90°,
在Rt△BCF中,CF=4,BC=3,
∴sin F==,
∵∠F=∠BAC,∴sin ∠BAC=.
【B層 能力進(jìn)階】
8.(2024·廣元中考)如圖,已知四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,E為AD延長線上一點(diǎn),∠AOC=128°,則∠CDE等于(A)
A.64° B.60° C.54° D.52°
9.(2024·西安模擬)如圖,AB是☉O的直徑,=,弦CD延長線與AB延長線交于點(diǎn)E,AD,BC交于點(diǎn)F,若CD=DE,則∠AFC的度數(shù)為(B)
A.52.5° B.60° C.67.5° D.75°
10.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,對角線AC是☉O的直徑,∠ACD=30°,連接對角線BD,則∠CBD的度數(shù)是　60°　.
11.(2024·泰州期末)如圖,AB是☉O的直徑,E是☉O上異于A,B的一點(diǎn),連接AE,BE,直徑DC⊥AE交AE于點(diǎn)P,且D在上,若AB=25,AE=24,則PC的長為　9　.
12.如圖,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,☉O是△ABC的外接圓,點(diǎn)A,B,O在格點(diǎn)上,則cos∠ACB的值是 　.
13.(2024·佛山一模)如圖,已知OA是☉O的半徑,過OA上一點(diǎn)D作弦BE垂直于OA,連接AB,AE.線段BC為☉O的直徑,連接AC交BE于點(diǎn)F.
(1)求證:∠ABE=∠C;
【解析】(1)∵OA⊥BE,∴=,
∴∠ABE=∠C;
(2)若AC平分∠OAE,求的值.
【解析】(2)∵AC平分∠OAE,∴∠OAC=∠EAC,
∵∠EAC=∠EBC,∴∠OAC=∠EBC,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠C,
∴∠EBC=∠C,∴BF=CF,
由(1)知∠ABE=∠C,∴∠ABE=∠C=∠EBC,
∵BC為直徑,∴∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠C+∠EBC=90°,∴∠ABE=30°,
∴AF=BF,∴AF=CF,即=.
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
14.(幾何直觀、模型觀念、推理能力)如圖,正方形ABCD內(nèi)接于☉O,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),連接CE交BD于點(diǎn)F,延長CE交☉O于點(diǎn)G,連接BG.
(1)求證:FB2=FE·FG.
【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=BC,∴=,∴∠DBA=∠G,
∵∠EFB=∠BFG,∴△EFB∽△BFG,
∴=,∴FB2=FE·FG;
(2)若AB=6,求FB和EG的長.
【解析】(2)連接OE,如圖,
∵AB=AD=6,∠DAB=90°,
∴BD==6,∴OB=BD=3,
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴OE⊥AB,
∵四邊形ABCD是正方形,∴BC⊥AB,∠DBA=45°,AB=BC,
∴OE∥BC,OE=BE=AB,
∴==,∴=,∴=,∴BF=2,
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴AE=BE=3,∴EC==3,
連接AC,∵∠ACG=∠ABG,∠AEC=∠BEG,
∴△AEC∽△GEB,∴=,∴AE·BE=EG·EC,
∴EG=.十九　圓周角和圓心角的關(guān)系(第1課時(shí))
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識點(diǎn)1　圓周角及圓周角定理
1.(2023·巴中中考)如圖,☉O是△ABC的外接圓,若∠C=25°,則∠BAO=( )
A.25° B.50° C.60° D.65°
2.如圖,已知AB是☉O的弦,C為☉O上的一點(diǎn),且OC⊥AB于點(diǎn)D,若∠ABC=25°,則∠OBD的度數(shù)為( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
3.如圖,在☉O中,AB為☉O的弦,C為的中點(diǎn),D為圓上一點(diǎn),∠ADC=30°,☉O的半徑為4,則圓心O到弦AB的距離是( )
A.2 B.2 C.4 D.2
4.(易錯(cuò)警示題·忽略分類討論而漏解)如圖,AB是☉O的弦,OA,OB是☉O的半徑,∠A=20°,若C是☉O上異于A,B兩點(diǎn)的另一點(diǎn),則∠ACB的度數(shù)是 .
知識點(diǎn)2　圓周角定理的推論1
5.(2024·濟(jì)南模擬)如圖,在☉O中,弦AB,CD相交于點(diǎn)P,∠D=35°,∠DPB=110°,則∠BCP=( )
A.35° B.75° C.40° D.25°
6.如圖,由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,D,則tan ∠ADC的值為 .
7.如圖,AB,CD為☉O內(nèi)兩條相交的弦,交點(diǎn)為E,且AB=CD,求證:AD∥BC.
【B層 能力進(jìn)階】
8.(2024·重慶中考B卷)如圖,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于點(diǎn)C,點(diǎn)D是☉O上一點(diǎn),連接BD,CD.若∠D=28°,則∠OAB的度數(shù)為( )
A.28° B.34° C.56° D.62°
9.(2023·溫州中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,BC∥AD,AC⊥BD.若∠AOD =120°,AD=,則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為( )
A.10°,1 B.10°,
C.15°,1 D.15°,
10.(2024·連云港中考)如圖,AB是圓的直徑,∠1,∠2,∠3,∠4的頂點(diǎn)均在AB上方的圓弧上,∠1,∠4的一邊分別經(jīng)過點(diǎn)A,B,則∠1+∠2+∠3+∠4= °.
11.(2023·廣安中考)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,圓的半徑為7,∠BAC=60°,則弦BC的長度為 .
12.如圖,☉O的半徑為6,直角三角板的30°角的頂點(diǎn)A落在☉O上,兩邊與圓交于點(diǎn)B,C,則弦BC的長為 .
13.(2024·南京期末)如圖,AB,AC,MN是☉O的弦,MN分別交AB,AC于點(diǎn)D,E, AB=AC,=.
(1)若∠A=44°,則的度數(shù)為 °;
(2)求證AD=AE.
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
14.(空間觀念、模型觀念、應(yīng)用意識)(2024·北京質(zhì)檢)下面是小郭設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:如圖,直線l和直線外一點(diǎn)P.
求作:過點(diǎn)P作直線l的平行線.
作法:如圖,
①在直線l上任取點(diǎn)O;
②作直線PO;
③以點(diǎn)O為圓心OP長為半徑畫圓,交直線PO于點(diǎn)A,交直線l于點(diǎn)B;
④連接AB,以點(diǎn)B為圓心,BA長為半徑畫弧,交☉O于點(diǎn)C(點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合);
⑤作直線CP;
則直線CP即為所求.
根據(jù)小郭設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,完成以下任務(wù).
(1)補(bǔ)全圖形;
(2)補(bǔ)全下面的證明過程.
證明:連接BP,BC.
∵AB=BC,
∴=,
∴∠APB=∠ ( )
……十九　圓周角和圓心角的關(guān)系(第1課時(shí))
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識點(diǎn)1　圓周角及圓周角定理
1.(2023·巴中中考)如圖,☉O是△ABC的外接圓,若∠C=25°,則∠BAO=(D)
A.25° B.50° C.60° D.65°
2.如圖,已知AB是☉O的弦,C為☉O上的一點(diǎn),且OC⊥AB于點(diǎn)D,若∠ABC=25°,則∠OBD的度數(shù)為(C)
A.30° B.35° C.40° D.45°
3.如圖,在☉O中,AB為☉O的弦,C為的中點(diǎn),D為圓上一點(diǎn),∠ADC=30°,☉O的半徑為4,則圓心O到弦AB的距離是(B)
A.2 B.2 C.4 D.2
4.(易錯(cuò)警示題·忽略分類討論而漏解)如圖,AB是☉O的弦,OA,OB是☉O的半徑,∠A=20°,若C是☉O上異于A,B兩點(diǎn)的另一點(diǎn),則∠ACB的度數(shù)是　70°或110°　.
知識點(diǎn)2　圓周角定理的推論1
5.(2024·濟(jì)南模擬)如圖,在☉O中,弦AB,CD相交于點(diǎn)P,∠D=35°,∠DPB=110°,則∠BCP=(B)
A.35° B.75° C.40° D.25°
6.如圖,由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,D,則tan ∠ADC的值為 　.
7.如圖,AB,CD為☉O內(nèi)兩條相交的弦,交點(diǎn)為E,且AB=CD,求證:AD∥BC.
【證明】∵AB=CD,∴=,
∴-=-,
即=,∴∠A=∠B,∴AD∥BC.
【B層 能力進(jìn)階】
8.(2024·重慶中考B卷)如圖,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于點(diǎn)C,點(diǎn)D是☉O上一點(diǎn),連接BD,CD.若∠D=28°,則∠OAB的度數(shù)為(B)
A.28° B.34° C.56° D.62°
9.(2023·溫州中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,BC∥AD,AC⊥BD.若∠AOD =120°,AD=,則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為(C)
A.10°,1 B.10°,
C.15°,1 D.15°,
10.(2024·連云港中考)如圖,AB是圓的直徑,∠1,∠2,∠3,∠4的頂點(diǎn)均在AB上方的圓弧上,∠1,∠4的一邊分別經(jīng)過點(diǎn)A,B,則∠1+∠2+∠3+∠4=　90　°.
11.(2023·廣安中考)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,圓的半徑為7,∠BAC=60°,則弦BC的長度為　7　.
12.如圖,☉O的半徑為6,直角三角板的30°角的頂點(diǎn)A落在☉O上,兩邊與圓交于點(diǎn)B,C,則弦BC的長為　6　.
13.(2024·南京期末)如圖,AB,AC,MN是☉O的弦,MN分別交AB,AC于點(diǎn)D,E, AB=AC,=.
(1)若∠A=44°,則的度數(shù)為　　　　°;
【解析】(1)連接OB,OC,
∵∠BAC=44°,∴∠BOC=2∠BAC=88°,
∴的度數(shù)為88°,∵AB=AC,
∴=,且其度數(shù)為=136°;
答案:136
(2)求證AD=AE.
【解析】(2)連接AM,AN,∵=,
∴AM=AN,∴∠AMD=∠ANE,
由(1)知=,∴=,
∴∠MAD=∠NAE,
∴△ADM≌△AEN(ASA),
∴AD=AE.
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
14.(空間觀念、模型觀念、應(yīng)用意識)(2024·北京質(zhì)檢)下面是小郭設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:如圖,直線l和直線外一點(diǎn)P.
求作:過點(diǎn)P作直線l的平行線.
作法:如圖,
①在直線l上任取點(diǎn)O;
②作直線PO;
③以點(diǎn)O為圓心OP長為半徑畫圓,交直線PO于點(diǎn)A,交直線l于點(diǎn)B;
④連接AB,以點(diǎn)B為圓心,BA長為半徑畫弧,交☉O于點(diǎn)C(點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合);
⑤作直線CP;
則直線CP即為所求.
根據(jù)小郭設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,完成以下任務(wù).
(1)補(bǔ)全圖形;
(2)補(bǔ)全下面的證明過程.
證明:連接BP,BC.
∵AB=BC,
∴=,
∴∠APB=∠　　(　　　　)
……
【解析】(1)補(bǔ)全圖形如圖所示:
(2)連接BP,BC,
∵AB=BC,
∴=,
∴∠APB=∠CPB(同圓中等弧所對的圓周角相等),
又∵OB=OP,
∴∠OBP=∠OPB,
∴∠CPB=∠OBP,
∴CP∥l.

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