資源簡介

十八　垂徑定理
【A層 基礎夯實】
知識點1　垂徑定理及應用
1.如圖,CD是☉O的直徑,AB是弦,CD⊥AB于E,DE=2,AB=8,則AC的長為(C)
A.8 B.10 C.4 D.4
2.(2023·宜昌中考)如圖,OA,OB,OC都是☉O的半徑,AC,OB交于點D.若AD=CD =8,OD=6,則BD的長為(B)
A.5 B.4 C.3 D.2
3.(2024·六安模擬)已知☉O的半徑為5,AB是☉O的弦,P是弦AB的延長線上的一點,若PA=8,PB=2,則圓心O到弦AB的距離為(D)
A. B.6 C. D.4
4.(2024·九江模擬)如圖,AB為☉O的直徑,弦CD⊥AB于點E,若CD=16,EB=4,則☉O的半徑為　10　.
知識點2　垂徑定理在實際生活中的應用
5.如圖,一個縱截面為半圓的容器水平放置,然后向其中倒入部分液體,測得數據如圖(單位:cm),則液面寬度AB=(D)
A.8 cm B.4 cm
C.4 cm D.8 cm
6.杭州亞運會開幕式出現一座古今交匯拱宸橋,橋面呈拱形.該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋,此圓拱橋的跨徑(橋拱圓弧所對的弦的長)約為3.2 m,拱高(橋拱圓弧的中點到弦的距離)約為2 m,則此橋拱的半徑是(B)
A.1.62 m B.1.64 m C.1.14 m D.3.56 m
7.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具,如圖1,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓,如圖2,已知圓心O在水面上方,且☉O被水面截得弦AB長為4米,☉O半徑長為3米.若點C為運行軌道的最低點,則點C到弦AB所在直線的距離是(C)
A.1米 B.2米
C.(3-)米 D.(3+)米
【B層 能力進階】
8.(2024·阜陽一模)已知點C在☉O的弦AB上,AC=6,BC=2,OC=,則圓心O到弦AB的距離為(B)
A. B.3 C.2 D.2
9.紫砂壺是我國特有的手工制造陶土工藝品,其制作過程中需要用到幾十種不同的工具,其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”,其形狀及使用方法如圖1所示.當制壺藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時,就可以保證需要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上.圖2是正確使用該工具時的示意圖.如圖3,☉O為某紫砂壺的壺口,已知A,B兩點在☉O上,直線l過點O,且l⊥AB于點D,交☉O于點C.若AB=48 mm,CD=12 mm,則這個紫砂壺的壺口半徑r(單位:mm)的值為(A)
A.30 B.30 C.30 D.40
10.(2024·蚌埠期末)如圖,AB是☉O的直徑,分別以點O和點B為圓心,大于OB的長為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等),相交于M,N兩點,直線MN與☉O相交于C,D兩點,若AB=4,則CD的長為(C)
A.4 B.4 C.2 D.
11.一條排水管橫截面如圖所示,已知排水管半徑OA=1 m,水面寬CD=1.6 m,若管內水面下降0.2 m,則此時水面寬AB等于　1.2　m.
12.(2023·上海中考)如圖,在☉O中,弦AB的長為8,點C在BO延長線上,且
cos∠ABC=,OC=OB.
(1)求☉O的半徑;
【解析】(1)過點O作OD⊥AB,垂足為D,
∵AB=8,∴AD=BD=AB=4,
在Rt△OBD中,cos∠ABC=,∴OB===5,
∴☉O的半徑為5;
(2)求∠BAC的正切值.
【解析】(2)過點C作CE⊥AB,垂足為E,
∵OC=OB,OB=5,∴BC=OB=7.5,
∵OD⊥AB,∴OD∥CE,∴=,∴=,
∴BE=6,∴AE=AB-BE=8-6=2,
在Rt△BCE中,CE===4.5,
在Rt△ACE中,tan∠BAC===,
∴∠BAC的正切值為.
【C層 創新挑戰(選做)】
13.(抽象能力、模型觀念、應用意識)(2024·南通期末)根據素材解決問題:
設計貨船通過圓形拱橋的方案
素材1 圖1中有一座圓拱石橋,圖2是其圓形橋拱的示意圖,測得水面寬AB=16 m,拱頂離水面的距離CD=4 m.
素材2 如圖3,一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH,測得EH=12 m,EF=2.1 m,因水深足夠,貨船可以根據需要運載貨物,據調查,貨船的載重量每增加1噸,則船身下降0.01 m.
問題解決
任務1 確定橋拱半徑 (1)求圓形橋拱的半徑;
任務2 擬定設計方案 (2)根據圖3狀態,貨船能否通過圓形橋拱 若能,最多還能卸載多少噸貨物 若不能,至少要增加多少噸貨物才能通過
【解析】(1)設圓心為點O,延長CD,則CD經過點O,連接AO,如圖,
設橋拱的半徑為r m,則OD=(r-4)m,
∵OC⊥AB,∴AD=BD=AB=8 m,
∵OD2+AD2=OA2,∴(r-4)2+82=r2,∴r=10,
∴圓形橋拱的半徑為10 m;
(2)根據題圖3狀態,貨船不能通過圓形橋拱,至少要增加10噸的貨物才能通過.理由:當EH是☉O的弦時,EH與OC的交點為M,連接OE,OH,如圖,
∵四邊形EFGH為矩形,∴EH∥FG,
∵OC⊥AB,∴OM⊥EH.∴EM=EH=6 m,
∴OM==8 m,
∵OD=OC-CD=6 m,∴DM=2 m<2.1 m,
∴根據題圖3狀態,貨船不能通過圓形橋拱,
∵貨船的載重量每增加1噸,則船身下降0.01 m.
∴船在水面部分可以下降的高度(2.1-2)÷0.01=10(噸),
∴至少要增加10噸的貨物才能通過.十八　垂徑定理
【A層 基礎夯實】
知識點1　垂徑定理及應用
1.如圖,CD是☉O的直徑,AB是弦,CD⊥AB于E,DE=2,AB=8,則AC的長為( )
A.8 B.10 C.4 D.4
2.(2023·宜昌中考)如圖,OA,OB,OC都是☉O的半徑,AC,OB交于點D.若AD=CD =8,OD=6,則BD的長為( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.(2024·六安模擬)已知☉O的半徑為5,AB是☉O的弦,P是弦AB的延長線上的一點,若PA=8,PB=2,則圓心O到弦AB的距離為( )
A. B.6 C. D.4
4.(2024·九江模擬)如圖,AB為☉O的直徑,弦CD⊥AB于點E,若CD=16,EB=4,則☉O的半徑為 .
知識點2　垂徑定理在實際生活中的應用
5.如圖,一個縱截面為半圓的容器水平放置,然后向其中倒入部分液體,測得數據如圖(單位:cm),則液面寬度AB=( )
A.8 cm B.4 cm
C.4 cm D.8 cm
6.杭州亞運會開幕式出現一座古今交匯拱宸橋,橋面呈拱形.該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋,此圓拱橋的跨徑(橋拱圓弧所對的弦的長)約為3.2 m,拱高(橋拱圓弧的中點到弦的距離)約為2 m,則此橋拱的半徑是( )
A.1.62 m B.1.64 m C.1.14 m D.3.56 m
7.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具,如圖1,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓,如圖2,已知圓心O在水面上方,且☉O被水面截得弦AB長為4米,☉O半徑長為3米.若點C為運行軌道的最低點,則點C到弦AB所在直線的距離是( )
A.1米 B.2米
C.(3-)米 D.(3+)米
【B層 能力進階】
8.(2024·阜陽一模)已知點C在☉O的弦AB上,AC=6,BC=2,OC=,則圓心O到弦AB的距離為( )
A. B.3 C.2 D.2
9.紫砂壺是我國特有的手工制造陶土工藝品,其制作過程中需要用到幾十種不同的工具,其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”,其形狀及使用方法如圖1所示.當制壺藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時,就可以保證需要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上.圖2是正確使用該工具時的示意圖.如圖3,☉O為某紫砂壺的壺口,已知A,B兩點在☉O上,直線l過點O,且l⊥AB于點D,交☉O于點C.若AB=48 mm,CD=12 mm,則這個紫砂壺的壺口半徑r(單位:mm)的值為( )
A.30 B.30 C.30 D.40
10.(2024·蚌埠期末)如圖,AB是☉O的直徑,分別以點O和點B為圓心,大于OB的長為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等),相交于M,N兩點,直線MN與☉O相交于C,D兩點,若AB=4,則CD的長為( )
A.4 B.4 C.2 D.
11.一條排水管橫截面如圖所示,已知排水管半徑OA=1 m,水面寬CD=1.6 m,若管內水面下降0.2 m,則此時水面寬AB等于 m.
12.(2023·上海中考)如圖,在☉O中,弦AB的長為8,點C在BO延長線上,且
cos∠ABC=,OC=OB.
(1)求☉O的半徑;
(2)求∠BAC的正切值.
【C層 創新挑戰(選做)】
13.(抽象能力、模型觀念、應用意識)(2024·南通期末)根據素材解決問題:
設計貨船通過圓形拱橋的方案
素材1 圖1中有一座圓拱石橋,圖2是其圓形橋拱的示意圖,測得水面寬AB=16 m,拱頂離水面的距離CD=4 m.
素材2 如圖3,一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH,測得EH=12 m,EF=2.1 m,因水深足夠,貨船可以根據需要運載貨物,據調查,貨船的載重量每增加1噸,則船身下降0.01 m.
問題解決
任務1 確定橋拱半徑 (1)求圓形橋拱的半徑;
任務2 擬定設計方案 (2)根據圖3狀態,貨船能否通過圓形橋拱 若能,最多還能卸載多少噸貨物 若不能,至少要增加多少噸貨物才能通過

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