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十七　圓的對稱性
【A層 基礎夯實】
知識點1　圓的對稱性
1.下列說法中,不正確的是( )
A.圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形
B.圓繞著它的圓心旋轉任意角度,都會與自身重合
C.圓的對稱軸有無數條,對稱中心只有一個
D.圓的每一條直徑都是它的對稱軸
2.(2023·永州中考)企業標志反映了思想、理念等企業文化,在設計上特別注重對稱美.下列企業標志圖為中心對稱圖形的是( )
知識點2　圓心角、弧、弦之間的關系
3.(2024·深圳期末)下列說法正確的是( )
A.等弧所對的弦相等
B.相等的弦所對的弧相等
C.相等的圓心角所對的弧相等
D.相等的圓心角所對的弦相等
4.已知圓的半徑為2 cm,圓中一條弦長為2 cm,則這條弦所對的圓心角的度數是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如圖,AB為☉O的直徑,∠AOE=60°,點C,D是的三等分點,則∠BOD的度數為( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
6.將一個圓分成四個扇形,面積比為4∶4∶5∶7,則其中最大扇形的圓心角的度數為( )
A.54° B.72° C.90° D.126°
7.如圖,點A,B,C都在☉O上,B是的中點,∠OBC=50°,則∠AOB等于 °.
8.如圖,在☉O中,半徑OC,OD分別交弦AB于點E,F,且OE=OF.
(1)求證:AE=BF;
【B層 能力進階】
9.如圖,點A,B,C是☉O上的點,∠AOC=120°,AB=BC.若☉O的半徑為2,則四邊形ABCO的面積為( )
A.2 B.2 C. D.2
10.如圖,在☉O中,AB是弦,C是上一點.若∠OAB=25°,∠OCA=40°,則∠BOC的度數為( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
11.如圖,在☉O中,如果=2,則下列關于弦AB與弦AC之間關系正確的是( )
A.AB=AC
B.AB=2AC
C.AB>2AC
D.AB<2AC
12.如圖,在☉O中,=,則下列結論中:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④=,正確的是 (填序號).
13.(2024·威海質檢)把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開,圖中的虛線表示折痕,則所對的圓心角的度數是 .
14.(2024·潮州質檢)如圖,AB,AC是☉O的兩條弦,且=.
(1)求證:AO平分∠BAC;
【C層 創新挑戰(選做)】
15.(幾何直觀、空間觀念、運算能力、推理能力)已知☉O的半徑為1 cm,小明同學作如下操作(如圖):
Ⅰ.在☉O上任取一點A,以A為圓心,1 cm為半徑作弧,與☉O相交于B,C兩點;
Ⅱ.以C為圓心,1 cm為半徑作弧與☉O相交于點D;
Ⅲ.分別以B,D為圓心,B,C兩點間距離為半徑作弧相交于點E;
Ⅳ.以B為圓心,O,E兩點間距離為半徑作弧與☉O相交于點F;
(1)B,D兩點之間的距離為 ;
(2)試猜想所對的圓心角的度數,并證明你的結論.十七　圓的對稱性
【A層 基礎夯實】
知識點1　圓的對稱性
1.下列說法中,不正確的是(D)
A.圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形
B.圓繞著它的圓心旋轉任意角度,都會與自身重合
C.圓的對稱軸有無數條,對稱中心只有一個
D.圓的每一條直徑都是它的對稱軸
2.(2023·永州中考)企業標志反映了思想、理念等企業文化,在設計上特別注重對稱美.下列企業標志圖為中心對稱圖形的是(C)
知識點2　圓心角、弧、弦之間的關系
3.(2024·深圳期末)下列說法正確的是(A)
A.等弧所對的弦相等
B.相等的弦所對的弧相等
C.相等的圓心角所對的弧相等
D.相等的圓心角所對的弦相等
4.已知圓的半徑為2 cm,圓中一條弦長為2 cm,則這條弦所對的圓心角的度數是(C)
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如圖,AB為☉O的直徑,∠AOE=60°,點C,D是的三等分點,則∠BOD的度數為(C)
A.40° B.60° C.80° D.120°
6.將一個圓分成四個扇形,面積比為4∶4∶5∶7,則其中最大扇形的圓心角的度數為(D)
A.54° B.72° C.90° D.126°
7.如圖,點A,B,C都在☉O上,B是的中點,∠OBC=50°,則∠AOB等于　80　°.
8.如圖,在☉O中,半徑OC,OD分別交弦AB于點E,F,且OE=OF.
(1)求證:AE=BF;
【證明】(1)過O作OM⊥AB于M,連接OA,OB,
∵OA=OB,OE=OF,
∴AM=BM,EM=FM,
∴AM-EM=BM-FM,∴AE=BF;
(2)求證:=.
【證明】(2)∵OM⊥AB,OA=OB,OE=OF,
∴∠AOM=∠BOM,∠EOM=∠FOM,
∴∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM,
∴∠AOC=∠BOD,
∴=.
【B層 能力進階】
9.如圖,點A,B,C是☉O上的點,∠AOC=120°,AB=BC.若☉O的半徑為2,則四邊形ABCO的面積為(A)
A.2 B.2 C. D.2
10.如圖,在☉O中,AB是弦,C是上一點.若∠OAB=25°,∠OCA=40°,則∠BOC的度數為(A)
A.30° B.40° C.50° D.60°
11.如圖,在☉O中,如果=2,則下列關于弦AB與弦AC之間關系正確的是(D)
A.AB=AC
B.AB=2AC
C.AB>2AC
D.AB<2AC
12.如圖,在☉O中,=,則下列結論中:①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④=,正確的是　①②③④　(填序號).
13.(2024·威海質檢)把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開,圖中的虛線表示折痕,則所對的圓心角的度數是　30°　.
14.(2024·潮州質檢)如圖,AB,AC是☉O的兩條弦,且=.
(1)求證:AO平分∠BAC;
【解析】(1)連接OB,OC,
∵=,∴AB=AC,
∵OC=OB,OA=OA,
在△AOB與△AOC中,,
∴△AOB≌△AOC(SSS),∴∠1=∠2,
∴AO平分∠BAC;
(2)若AB=4,BC=8,求半徑OA的長.
【解析】(2)延長AO交BC于E,連接OB,
∵AB=AC,AO平分∠BAC,∴AE⊥BC,BE=BC=4,
設OA=x,可得:AB2-BE2=AE2,OB2=OE2+BE2,
即(4)2-42=(x+OE)2,x2=OE2+42,∴OE+x=8,
解得x=5,OE=3,
∴半徑OA的長為5.
【C層 創新挑戰(選做)】
15.(幾何直觀、空間觀念、運算能力、推理能力)已知☉O的半徑為1 cm,小明同學作如下操作(如圖):
Ⅰ.在☉O上任取一點A,以A為圓心,1 cm為半徑作弧,與☉O相交于B,C兩點;
Ⅱ.以C為圓心,1 cm為半徑作弧與☉O相交于點D;
Ⅲ.分別以B,D為圓心,B,C兩點間距離為半徑作弧相交于點E;
Ⅳ.以B為圓心,O,E兩點間距離為半徑作弧與☉O相交于點F;
(1)B,D兩點之間的距離為　2 cm　;
【解析】(1)連接OB,OA,OC,OD,CD,AB,
如圖,由作法得AB=1 cm,==,
∵OA=OB=AB=1 cm,
∴△OAB為等邊三角形,∴∠AOB=60°,
∵==,
∴∠AOC=∠COD=∠AOB=60°,
∴∠BOD=180°,
∴BD為☉O的直徑,
∴BD=2 cm;
(2)試猜想所對的圓心角的度數,并證明你的結論.
【解析】(2)所對的圓心角的度數為90°.
理由如下:
連接OE,OF,BE,BF,DE,BC,
由作法得BE=DE=BC=,BF=OE,
∴EO⊥BD,∴∠BOE=90°,
∴OE==,∴BF=,
∵OB=OF=1,∴OB2+OF2=BF2,
∴△OBF為等腰直角三角形,
∴∠BOF=90°,∴所對的圓心角的度數為90°.

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