資源簡介

十五　二次函數與一元二次方程
【A層 基礎夯實】
知識點1　二次函數與一元二次方程的關系
1.若二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點(-1,0),(2,0),則關于x的方程ax2+bx+c=0的解為(A)
A.x1=-1,x2=2 B.x1=-2,x2=1
C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
2.若二次函數y=ax2-1的圖象經過點(-2,0),則關于x的方程a(x-2)2-1=0的實數根為(A)
A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6
C.x1=,x2= D.x1=-4,x2=0
3.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,那么關于x的方程ax2+bx+c=0的根的情況是(D)
A.無實數根
B.有兩個相等實數根
C.有兩個同號實數根
D.有兩個不相等實數根
4.二次函數y=mx2+2mx-(3-m)的圖象如圖所示,則m的取值范圍是　m<0　.
5.(2024·遵義質檢)拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個交點坐標分別為A(-2,4),B(1,1),則方程ax2=bx+c的解是　x1=-2,x2=1　.
6.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據圖象回答下列問題.
(1)求方程ax2=-bx-c的解;
【解析】(1)觀察題中函數圖象可知,圖象與x軸的交點坐標分別為(-3,0),(1,0),與y軸的交點坐標為(0,6).
將方程ax2=-bx-c變形為ax2+bx+c=0,
即y=0時,把y=0代入y=ax2+bx+c(a≠0),
由題中圖象可知ax2+bx+c=0的解為x1=-3,x2=1,
∴方程ax2=-bx-c的解為x1=-3,x2=1.
(2)如果方程ax2+bx+c+m=0無實數根,求m的取值范圍.
【解析】(2)∵y=ax2+bx+c的函數圖象開口向下且最大值為y=8,
∴方程ax2+bx+c+m=0無實根,即ax2+bx+c=-m無解,
則由題中圖象可得-m>8,即m<-8.
知識點2　利用二次函數圖象解一元二次方程
7.下面表格是二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數值y的部分對應值,由此可以判斷方程ax2+bx+c=0的一個解x的取值范圍是　0.5x 0 0.5 1 1.5 2
y -1 -0.5 1 3.5 7
8.小穎用計算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如圖所示的圖象,并求得一個近似根x=-3.4,則方程的另一個近似根為　1.4　.(精確到0.1)
9.借助圖象,求方程-x2+x+2=0在-2和-1之間的根的近似值.(結果精確到0.1)
【解析】觀察圖象可知:二次函數y=-x2+x+2對應的方程-x2+x+2=0有兩個實數根,它們分別介于實數-2與-1,3與4之間,∵當x=-1.3時,y=-0.145<0,當x=-1.2時,y=0.08>0,∴方程-x2+x+2=0在-2和-1之間的根的近似值是-1.2.
【B層 能力進階】
10.(2024·西安期中)若拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點,且過點A(m,n),B(m-2,n),則n的值為(A)
A.1 B.2 C.4 D.8
11.(2024·瀘州中考)已知二次函數y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自變量)的圖象經過第一、二、四象限,則實數a的取值范圍為(A)
A.1≤a< B.012.(2024·廣元中考)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c過點C(0,-2)與x軸交點的橫坐標分別為x1,x2,且-1①a-b+c<0;②方程ax2+bx+c+2=0有兩個不相等的實數根;③a+b>0;④a>;⑤b2-4ac>4a2.其中正確的結論有(C)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
13.(2024·衡陽一模)二次函數y=ax2+bx的圖象如圖所示,若關于x的一元二次方程ax2+bx=m有實數根,則m的值可以為　-2(答案不唯一)　(寫出一個值即可).
14.已知函數y=|x2-4|的大致圖象如圖所示,對于方程|x2-4|=m(m為實數),若該方程恰有3個不相等的實數根,則m的值是　4　.
15.如圖,已知二次函數y1=x2-3x的圖象與正比例函數y2=x的圖象在第一象限交于點A,與x軸正半軸交于點B,若y116.已知二次函數y=x2-2mx+m+2(m是常數)的圖象是拋物線.
(1)若拋物線與x軸只有一個公共點,求m的值;
【解析】(1)∵a=1,b=-2m,c=m+2,∴Δ=b2-4ac=(-2m)2-4×1×(m+2)=4(m2-m-2),∵拋物線與x軸只有一個公共點,
∴b2-4ac=4(m2-m-2)=0,解得m1=2,m2=-1;
(2)Q(m,n)為該拋物線上一點,當2m+n取得最大值時,求點Q的坐標.
【解析】(2)∵Q(m,n)為該拋物線上一點,
∴n=m2-2m×m+m+2,
∴2m+n=2m+m2-2m×m+m+2=-m2+3m+2,
∵-m2+3m+2=-(m-)2+,
∴當2m+n取得最大值時,m=,n=m2-2m×m+m+2=,∴Q(,).
【C層 創新挑戰(選做)】
17.(模型觀念、運算能力、應用意識)(2024·南京模擬)在二次函數y=x2+2mx+m-1中.
(1)求證:不論m取何值,該函數圖象與x軸總有兩個公共點.
【解析】(1)∵二次函數y=x2+2mx+m-1,
∴函數圖象與x軸相交時,x2+2mx+m-1=0,
Δ=(2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3≥3,
∴不論m取何值,方程x2+2mx+m-1=0總有兩個不相等的實數根,
∴不論m取何值,該函數圖象與x軸總有兩個公共點.
(2)當0≤x≤3時,y的最小值為-3,則m的值為　-1　.
【解析】(2)∵二次函數y=x2+2mx+m-1,當0≤x≤3時,y的最小值為-3,
又∵拋物線的對稱軸為直線x=-=-m,且拋物線的開口向上,
∴當0≤-m≤3,即-3≤m≤0時,y的最小值為(-m)2+2m(-m)+m-1=-3,
解得:m=2(舍去),或m=-1;
當-m<0,即m>0時,y的最小值為02+2m×0+m-1=-3,
解得:m=-2(舍去);
當-m>3,即m<-3時,y的最小值為32+2m×3+m-1=-3,
解得:m=-(舍去).
綜上所述,m的值為-1.
(3)當m<0時,點A(n-2,a),B(4,b),C(n,a)都在這個二次函數的圖象上,且a【解析】(3)∵二次函數y=x2+2mx+m-1,點A(n-2,a),C(n,a)兩點縱坐標相等,
∴對稱軸為x==-m,
∴n=1-m,m=1-n,
∵m<0,
∴1-n<0,即n>1,
將B(4,b)代入函數表達式,得:9m+15=b,
又∵b∴9m+15∴m<-2,-m>2,
∴n=1-m>3,
∵a∴點B離拋物線的對稱軸比點C離拋物線的對稱軸遠,
∴n-(-m)<|-m-4|,
當n+m當n+m<-m-4時,n+(1-n)6,
綜上所述,n的取值范圍是36.十五　二次函數與一元二次方程
【A層 基礎夯實】
知識點1　二次函數與一元二次方程的關系
1.若二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點(-1,0),(2,0),則關于x的方程ax2+bx+c=0的解為( )
A.x1=-1,x2=2 B.x1=-2,x2=1
C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
2.若二次函數y=ax2-1的圖象經過點(-2,0),則關于x的方程a(x-2)2-1=0的實數根為( )
A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6
C.x1=,x2= D.x1=-4,x2=0
3.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,那么關于x的方程ax2+bx+c=0的根的情況是( )
A.無實數根
B.有兩個相等實數根
C.有兩個同號實數根
D.有兩個不相等實數根
4.二次函數y=mx2+2mx-(3-m)的圖象如圖所示,則m的取值范圍是 .
5.(2024·遵義質檢)拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個交點坐標分別為A(-2,4),B(1,1),則方程ax2=bx+c的解是 .
6.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據圖象回答下列問題.
(1)求方程ax2=-bx-c的解;
(2)如果方程ax2+bx+c+m=0無實數根,求m的取值范圍.
知識點2　利用二次函數圖象解一元二次方程
7.下面表格是二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數值y的部分對應值,由此可以判斷方程ax2+bx+c=0的一個解x的取值范圍是 .
x 0 0.5 1 1.5 2
y -1 -0.5 1 3.5 7
8.小穎用計算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如圖所示的圖象,并求得一個近似根x=-3.4,則方程的另一個近似根為 .(精確到0.1)
9.借助圖象,求方程-x2+x+2=0在-2和-1之間的根的近似值.(結果精確到0.1)
【B層 能力進階】
10.(2024·西安期中)若拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點,且過點A(m,n),B(m-2,n),則n的值為( )
A.1 B.2 C.4 D.8
11.(2024·瀘州中考)已知二次函數y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自變量)的圖象經過第一、二、四象限,則實數a的取值范圍為( )
A.1≤a< B.012.(2024·廣元中考)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c過點C(0,-2)與x軸交點的橫坐標分別為x1,x2,且-1①a-b+c<0;②方程ax2+bx+c+2=0有兩個不相等的實數根;③a+b>0;④a>;⑤b2-4ac>4a2.其中正確的結論有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
13.(2024·衡陽一模)二次函數y=ax2+bx的圖象如圖所示,若關于x的一元二次方程ax2+bx=m有實數根,則m的值可以為 (寫出一個值即可).
14.已知函數y=|x2-4|的大致圖象如圖所示,對于方程|x2-4|=m(m為實數),若該方程恰有3個不相等的實數根,則m的值是 .
15.如圖,已知二次函數y1=x2-3x的圖象與正比例函數y2=x的圖象在第一象限交于點A,與x軸正半軸交于點B,若y116.已知二次函數y=x2-2mx+m+2(m是常數)的圖象是拋物線.
(1)若拋物線與x軸只有一個公共點,求m的值;
(2)Q(m,n)為該拋物線上一點,當2m+n取得最大值時,求點Q的坐標.
【C層 創新挑戰(選做)】
17.(模型觀念、運算能力、應用意識)(2024·南京模擬)在二次函數y=x2+2mx+m-1中.
(1)求證:不論m取何值,該函數圖象與x軸總有兩個公共點.
.
當0≤x≤3時,y的最小值為-3,則m的值為 .
(3)當m<0時,點A(n-2,a),B(4,b),C(n,a)都在這個二次函數的圖象上,且a

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