資源簡介

十二　確定二次函數的表達式
【A層 基礎夯實】
知識點1　由二次函數頂點式求表達式
1.一拋物線的形狀、開口方向與拋物線y=x2-2x+3相同,頂點為(-2,1),則此拋物線的表達式為( )
A.y=(x-2)2+1　 B.y=(x+2)2-1
C.y=(x+2)2+1　 D.y=(x-2)2-1
2.已知二次函數的最小值為-3,這個函數的圖象經過點(1,-2),且對稱軸為直線x=2,則這個二次函數的表達式為 .
3.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點A(2,0),頂點坐標為B(0,3),求a,b,c的值.
知識點2　由二次函數一般式求表達式
4.一個二次函數,當x=0時,y=-5;當x=-1時,y=-4;當x=-2時,y=5,則這個二次函數的表達式是( )
A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5
C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5
5.二次函數圖象過A,B,C三點,點A的坐標為(-1,0),點B的坐標為(4,0),點C在y軸正半軸上,且AB=OC,求二次函數的表達式.
知識點3　由二次函數交點式求表達式
6.在平面直角坐標系中,拋物線與x軸交于點A(-2,0),B(6,0),與y軸交于點C(0,6),則該拋物線的表達式是( )
A.y=(x+2)(x-6)
B.y=-(x+2)(x-6)
C.y=(x-2)(x+6)
D.y=-(x-2)(x+6)
7.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點在線段AB上移動,與x軸交于C,D兩點,若A(-2,-3),B(4,-3),當四邊形ABDC是矩形時,此時拋物線的表達式是 .
【B層 能力進階】
8.已知y=(a-1)x2-2x+a2是關于x的二次函數,其圖象經過(0,1),則a的值為( )
A.a=±1　 B.a=1
C.a=-1　 D.無法確定
9.二次函數的圖象如圖,則它的表達式是( )
A.y=2x2-4x
B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2
D.y=-2x2+4x
10.(2024·湖州期末)已知二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0),該函數y與x的部分對應值如表:下列各選項中,正確的是( )
x … -1 0 1 3 …
y … 3 -1 -3 -1 …
A.這個函數的圖象開口向下
B.這個函數的最小值為-3
C.當x=4時,y=2
D.當x<1時,y的值隨x的值的增大而減小
11.對于二次函數y=ax2+bx+c(a≠0,a為整數),有四種說法:①函數與x軸的一個交點為(-1,0);②對稱軸為直線x=1;③當a>0時,函數的最小值為3;④點(2,8)在函數圖象上.若其中只有一個說法是錯誤的,則a的值為 .
12.(2024·常州質檢)如果將二次函數的圖象平移,有一個點既在平移前的函數圖象上又在平移后的函數圖象上,那么稱這個點為“平衡點”.現將拋物線C1:y=(x-1)2-1沿x軸平移得到新拋物線C2,如果“平衡點”為(4,8),那么新拋物線C2的表達式為 .
13.(2024·揚州中考)如圖,已知二次函數y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0),B(1,0)兩點.
(1)求b,c的值;
(2)若點P在該二次函數的圖象上,且△PAB的面積為6,求點P的坐標.
【C層 創新挑戰(選做)】
14.(模型觀念、運算能力、應用意識)(2024·湖南中考)已知二次函數y=-x2+c的圖象經過點A(-2,5),點P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函數的圖象上的兩個動點.
(1)求此二次函數的表達式;
(2)如圖1,此二次函數的圖象與x軸的正半軸交于點B,點P在直線AB的上方,過點P作PC⊥x軸于點C,交AB于點D,連接AC,DQ,PQ.若x2=x1+3,求證:的值為定值;
(3)如圖2,點P在第二象限,x2=-2x1,若點M在直線PQ上,且橫坐標為x1-1,過點M作MN⊥x軸于點N,求線段MN長度的最大值.十二　確定二次函數的表達式
【A層 基礎夯實】
知識點1　由二次函數頂點式求表達式
1.一拋物線的形狀、開口方向與拋物線y=x2-2x+3相同,頂點為(-2,1),則此拋物線的表達式為(C)
A.y=(x-2)2+1　 B.y=(x+2)2-1
C.y=(x+2)2+1　 D.y=(x-2)2-1
2.已知二次函數的最小值為-3,這個函數的圖象經過點(1,-2),且對稱軸為直線x=2,則這個二次函數的表達式為　y=x2-4x+1　.
3.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點A(2,0),頂點坐標為B(0,3),求a,b,c的值.
【解析】∵拋物線的頂點坐標為B(0,3),
∴設拋物線的表達式為y=ax2+3,
∵拋物線過點A(2,0),
∴a·22+3=0,
解得a=-,
∴拋物線的表達式為y=-x2+3,
∴a=-,b=0,c=3.
知識點2　由二次函數一般式求表達式
4.一個二次函數,當x=0時,y=-5;當x=-1時,y=-4;當x=-2時,y=5,則這個二次函數的表達式是(A)
A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5
C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5
5.二次函數圖象過A,B,C三點,點A的坐標為(-1,0),點B的坐標為(4,0),點C在y軸正半軸上,且AB=OC,求二次函數的表達式.
【解析】∵A(-1,0),B(4,0),
∴AO=1,OB=4,AB=AO+OB=1+4=5,
∴OC=5,即點C的坐標為(0,5).
設二次函數的表達式為y=ax2+bx+c,
∵二次函數圖象過A,C,B三點,
∴
解得
∴二次函數的表達式為y=-x2+x+5.
知識點3　由二次函數交點式求表達式
6.在平面直角坐標系中,拋物線與x軸交于點A(-2,0),B(6,0),與y軸交于點C(0,6),則該拋物線的表達式是(B)
A.y=(x+2)(x-6)
B.y=-(x+2)(x-6)
C.y=(x-2)(x+6)
D.y=-(x-2)(x+6)
7.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點在線段AB上移動,與x軸交于C,D兩點,若A(-2,-3),B(4,-3),當四邊形ABDC是矩形時,此時拋物線的表達式是　y=x2-x-　.
【B層 能力進階】
8.已知y=(a-1)x2-2x+a2是關于x的二次函數,其圖象經過(0,1),則a的值為(C)
A.a=±1　 B.a=1
C.a=-1　 D.無法確定
9.二次函數的圖象如圖,則它的表達式是(D)
A.y=2x2-4x
B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2
D.y=-2x2+4x
10.(2024·湖州期末)已知二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0),該函數y與x的部分對應值如表:下列各選項中,正確的是(D)
x … -1 0 1 3 …
y … 3 -1 -3 -1 …
A.這個函數的圖象開口向下
B.這個函數的最小值為-3
C.當x=4時,y=2
D.當x<1時,y的值隨x的值的增大而減小
11.對于二次函數y=ax2+bx+c(a≠0,a為整數),有四種說法:①函數與x軸的一個交點為(-1,0);②對稱軸為直線x=1;③當a>0時,函數的最小值為3;④點(2,8)在函數圖象上.若其中只有一個說法是錯誤的,則a的值為　5　.
12.(2024·常州質檢)如果將二次函數的圖象平移,有一個點既在平移前的函數圖象上又在平移后的函數圖象上,那么稱這個點為“平衡點”.現將拋物線C1:y=(x-1)2-1沿x軸平移得到新拋物線C2,如果“平衡點”為(4,8),那么新拋物線C2的表達式為　y=(x-7)2-1　.
13.(2024·揚州中考)如圖,已知二次函數y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0),B(1,0)兩點.
(1)求b,c的值;
【解析】(1)把A(-2,0),B(1,0)代入y=-x2+bx+c得:,解得.
(2)若點P在該二次函數的圖象上,且△PAB的面積為6,求點P的坐標.
【解析】(2)由(1)知,二次函數表達式為y=-x2-x+2,設點P坐標為(m,-m2-m+2),
∵△PAB的面積為6,AB=1-(-2)=3,
∴S△PAB=AB·|yP|=×3×|-m2-m+2|=6,∴|m2+m-2|=4,
即m2+m-2=4或m2+m-2=-4,
解得m=-3或m=2,
∴P(-3,-4)或(2,-4).
【C層 創新挑戰(選做)】
14.(模型觀念、運算能力、應用意識)(2024·湖南中考)已知二次函數y=-x2+c的圖象經過點A(-2,5),點P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函數的圖象上的兩個動點.
(1)求此二次函數的表達式;
【解析】(1)將點A的坐標代入拋物線表達式得5=-4+c,則c=9,
即拋物線的表達式為y=-x2+9.
(2)如圖1,此二次函數的圖象與x軸的正半軸交于點B,點P在直線AB的上方,過點P作PC⊥x軸于點C,交AB于點D,連接AC,DQ,PQ.若x2=x1+3,求證:的值為定值;
【解析】(2)令-x2+9=0,則x=±3,則點B(3,0),
由點A,B的坐標得,直線AB的表達式為y=-x+3.點P,Q,D的坐標分別為(x1,-+9),(x2,-+9),(x1,-x1+3),則S△PDQ=PD·(xQ-xP)=(-+9+x1-3)(x2-x1)
=(-+x1+6),同理可得:S△ADC=CD·(xD-xA)=(-+x1+6),
則=3,為定值.
(3)如圖2,點P在第二象限,x2=-2x1,若點M在直線PQ上,且橫坐標為x1-1,過點M作MN⊥x軸于點N,求線段MN長度的最大值.
【解析】(3)點P,Q的坐標分別為(x1,-+9),(-2x1,-4+9),由點P,Q的坐標得,直線PQ的表達式為y=x1(x-x1)-+9=xx1-2+9,則MN=yM=(x1-1)x1-2+9
=-(x1+)2+≤,故MN的最大值為.

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