資源簡介

八　二次函數的圖象與性質(第1課時)
【A層 基礎夯實】
知識點1　二次函數y=x2與y=-x2的圖象
1.(2024·衡水質檢)下列各點在拋物線y=-x2上的是( )
A.(1,1)　 B.(-1,1) C.(2,4)　 D.(-2,-4)
2.若點(0,a),(3,b)都在二次函數y=x2的圖象上,則a與b的大小關系是( )
A.ab
C.a=b D.無法確定
3.關于二次函數y=x2和y=-x2的圖象,以下說法正確的有( )
①兩圖象都關于x軸對稱;②兩圖象都關于y軸對稱;③兩圖象的頂點相同;④兩圖象的開口方向不同;⑤點(-1,1)在拋物線y=x2上,也在拋物線y=-x2上.
A.2個　 B.3個　 C.4個　 D.5個
4.如圖,由y=x2的圖象可以看出,當-1≤x≤2時,y的取值范圍是 .
5.已知二次函數y=ax2(a≠0)的圖象與直線y=x+2交于點(2,m).
(1)判斷y=ax2的圖象的開口方向,并說出此拋物線的對稱軸、頂點坐標以及當x>0時,y的值隨x值的增大而變化的情況;
(2)設直線y=x+2與拋物線y=ax2的交點分別為A,B.試確定A,B兩點的坐標.(點A的橫坐標大于點B的橫坐標)
知識點2　二次函數y=x2與y=-x2的性質
6.已知函數y=-x2的圖象上有三個點:A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),則y1,y2,y3的大小關系為( )
A.y1>y2>y3　 B.y2>y3>y1
C.y3>y2>y1　 D.y3>y1>y2
7.如圖,☉O的半徑為2,C1是函數y=x2的圖象,C2是函數y=-x2的圖象,則陰影部分的面積是 .
8.(2024·惠州質檢)函數y=x2的圖象對稱軸左側上有兩點A(a,15),B(b,),則a-b 0(填“>”“<”或“=”).
9.已知二次函數y=x2,當x≥m時,y的最小值為0,求實數m的取值范圍.
【B層 能力進階】
10.點A(m-1,y1),B(m,y2)都在拋物線y=x2上.若y1A.m>4 B.m<4 C.m< D.m>
11.如圖,A,B為拋物線y=x2上兩點,且線段AB⊥y軸.若AB=6,則點A的坐標為( )
A.(3,3) B.(3,9) C.(-3,3) D.(-3,9)
12.已知二次函數y=-x2,當-4≤x≤2時,y的最小值為 .
13.(2024·連云港期中)已知點(a,1)在拋物線y=x2圖象上,則a= .
14.關于拋物線y=-x2,給出下列說法:
①拋物線開口向下,頂點是(0,4).
②當x>1時,y隨x的增大而減小.
③當-2④若(m,p),(n,p)是該拋物線上兩個不同的點,則m+n=0.
其中正確的說法有 .(填序號)
15.如圖,正方形OABC的頂點B位于二次函數y=x2在第一象限的圖象上,若點B的橫坐標與縱坐標之和等于6,求對角線AC的長.
【C層 創新挑戰(選做)】
16.(模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,點P是拋物線y=x2在第一象限內的一點,點A的坐標是(3,0).設點P的坐標為(x,y).
(1)△OPA的面積S關于y的函數表達式為 S=y(y>0) .
(2)S是x的什么函數
(3)當S=6時,求點P的坐標.
(4)在拋物線y=x2上存在點P',使OP'=P'A,寫出點P'的坐標.十一　二次函數的圖象與性質(第4課時)
【A層 基礎夯實】
知識點1　二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
1.拋物線y=x2-bx+9的頂點在x軸上,則b的值一定為( )
A.0　 B.6　 C.-6　 D.±6
2.若二次函數y=(m+2)x2-mx+m2-2m-8經過原點,則m的值為( )
A.-2　 B.4 C.-2或4　 D.無法確定
3.已知二次函數y=ax2+bx+c,若a<0,b<0,c>0,那么它的圖象大致是( )
4.(2024·綏化中考)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,對稱軸為直線x=-1,則下列結論:
①>0;
②am2+bm≤a-b(m為任意實數);
③3a+c<1;
④若M(x1,y),N(x2,y)是拋物線上不同的兩個點,則x1+x2≤-3.
其中正確的結論有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
5.(2024·樂山中考)已知二次函數y=x2-2x(-1≤x≤t-1),當x=-1時,函數取得最大值;當x=1時,函數取得最小值.則t的取值范圍是( )
A.06.二次函數y=-x2-2x+m圖象的最高點的橫坐標是 .
7.已知二次函數y=x2-2x-m的圖象經過點(2,-3).求:
(1)該二次函數的表達式;
(2)函數圖象的頂點坐標;
(3)當自變量x滿足0知識點2　二次函數y=ax2+bx+c的圖象平移
8.(2024·東莞一模)將拋物線y=x2+2的圖象向右平移2個單位長度后,再向下平移1單位長度,得到的拋物線的表達式為( )
A.y=(x+2)2+3　 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x-2)2+1　 D.y=(x-2)2+3
9.將二次函數y=x2-2x-3的圖象先向右平移2個單位,再向上平移3個單位,得到二次函數y'的圖象,則二次函數y'有( )
A.最大值-4　 B.最小值-4
C.最小值-1　 D.最大值-1
【B層 能力進階】
10.若拋物線y=-x2+bx+c經過點(-2,-3),則c-2b的值是( )
A.-7　 B.-1　 C.1　 D.7
11.一次函數y=-ax+b(a≠0)與二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是( )
12.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,給出下列說法:
①ac>0;
②2a+b=0;
③a+b+c=0;
④當x<1時,函數y隨x的增大而增大;
⑤當y>0時,-1其中正確的是( )
A.①②④　 B.②③④
C.②③⑤　 D.②④⑤
13.(易錯警示題·忽視分類討論遺漏其他情況)(2024·西安一模)若拋物線y=x2-2mx+m2+2m+1(m是常數)的頂點到x軸的距離為2,則m的值為( )
A.-　 B. C.-或　 D.-或
14.(2023·上海中考)一個二次函數y=ax2+bx+c的頂點在y軸正半軸上,且其對稱軸左側的部分是上升的,那么這個二次函數的解析式可以是 .
15.已知二次函數y=ax2-6ax+6a,若當2≤x≤5時,y的最大值是3,則a的值為 .
16.(2024·上海中考)對于一個二次函數y=a(x-m)2+k(a≠0)中存在一點P(x',y'),使得x'-m=y'-k≠0,則稱2|x'-m|為該拋物線的“開口大小”,那么拋物線y=-x2+x+3的“開口大小”為 .
【C層 創新挑戰(選做)】
17.(模型觀念、運算能力、應用意識)(2024·寧波模擬)已知二次函數y=x2-2kx+k-2的圖象過點(5,5).
(1)求二次函數的表達式.
(2)若A(x1,y1)和B(x2,y2)都是二次函數圖象上的點,且x1+2x2=2,求y1+y2的最小值.
(3)若點P(a,n)和Q(b,n+2)都在二次函數的圖象上,且a【A層 基礎夯實】
知識點1　二次函數y=x2與y=-x2的圖象
1.(2024·衡水質檢)下列各點在拋物線y=-x2上的是(D)
A.(1,1)　 B.(-1,1) C.(2,4)　 D.(-2,-4)
2.若點(0,a),(3,b)都在二次函數y=x2的圖象上,則a與b的大小關系是(A)
A.ab
C.a=b D.無法確定
3.關于二次函數y=x2和y=-x2的圖象,以下說法正確的有(B)
①兩圖象都關于x軸對稱;②兩圖象都關于y軸對稱;③兩圖象的頂點相同;④兩圖象的開口方向不同;⑤點(-1,1)在拋物線y=x2上,也在拋物線y=-x2上.
A.2個　 B.3個　 C.4個　 D.5個
4.如圖,由y=x2的圖象可以看出,當-1≤x≤2時,y的取值范圍是　0≤y≤4　.
5.已知二次函數y=ax2(a≠0)的圖象與直線y=x+2交于點(2,m).
(1)判斷y=ax2的圖象的開口方向,并說出此拋物線的對稱軸、頂點坐標以及當x>0時,y的值隨x值的增大而變化的情況;
【解析】(1)將點(2,m)代入y=x+2,解得m=4,所以交點坐標為(2,4).
把(2,4)代入y=ax2,可得a=1.
所以二次函數表達式為y=x2,
所以拋物線的開口向上,對稱軸為y軸,頂點坐標為(0,0),
所以當x>0時,y隨x的增大而增大.
(2)設直線y=x+2與拋物線y=ax2的交點分別為A,B.試確定A,B兩點的坐標.(點A的橫坐標大于點B的橫坐標)
【解析】(2)由題意,得x2=x+2,解得x=2或x=-1,則y=4或y=1.
所以點A的坐標為(2,4),點B的坐標為(-1,1).
知識點2　二次函數y=x2與y=-x2的性質
6.已知函數y=-x2的圖象上有三個點:A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),則y1,y2,y3的大小關系為(B)
A.y1>y2>y3　 B.y2>y3>y1
C.y3>y2>y1　 D.y3>y1>y2
7.如圖,☉O的半徑為2,C1是函數y=x2的圖象,C2是函數y=-x2的圖象,則陰影部分的面積是　2π　.
8.(2024·惠州質檢)函數y=x2的圖象對稱軸左側上有兩點A(a,15),B(b,),則a-b　<　0(填“>”“<”或“=”).
9.已知二次函數y=x2,當x≥m時,y的最小值為0,求實數m的取值范圍.
【解析】∵二次函數表達式為y=x2,
∴當x=0時,y有最小值,且y最小值=0,
∵當x≥m時,y最小值=0,∴m≤0.
【B層 能力進階】
10.點A(m-1,y1),B(m,y2)都在拋物線y=x2上.若y1A.m>4 B.m<4 C.m< D.m>
11.如圖,A,B為拋物線y=x2上兩點,且線段AB⊥y軸.若AB=6,則點A的坐標為(D)
A.(3,3) B.(3,9) C.(-3,3) D.(-3,9)
12.已知二次函數y=-x2,當-4≤x≤2時,y的最小值為　-16　.
13.(2024·連云港期中)已知點(a,1)在拋物線y=x2圖象上,則a=　±1　.
14.關于拋物線y=-x2,給出下列說法:
①拋物線開口向下,頂點是(0,4).
②當x>1時,y隨x的增大而減小.
③當-2④若(m,p),(n,p)是該拋物線上兩個不同的點,則m+n=0.
其中正確的說法有　②④　.(填序號)
15.如圖,正方形OABC的頂點B位于二次函數y=x2在第一象限的圖象上,若點B的橫坐標與縱坐標之和等于6,求對角線AC的長.
【解析】設點B的橫坐標為a.
∵點B的橫坐標與縱坐標之和等于6,
∴點B的縱坐標為6-a.∵點B位于二次函數y=x2在第一象限的圖象上,∴6-a=a2,
解得a1=-3(不合題意,舍去),a2=2,
∴6-a=4,∴點B的坐標為(2,4).
連接OB,如圖,
則OB==2.
∵四邊形OABC是正方形,∴AC=OB=2.
【C層 創新挑戰(選做)】
16.(模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,點P是拋物線y=x2在第一象限內的一點,點A的坐標是(3,0).設點P的坐標為(x,y).
(1)△OPA的面積S關于y的函數表達式為　S=y(y>0)　.
【解析】(1)∵OA=3,P點坐標為(x,y),
∴△AOP的面積S關于y的函數表達式為S=×3×y=y;
(2)S是x的什么函數
【解析】(2)∵S=y,y=x2,∴S=x2,
∴S是x的二次函數.
(3)當S=6時,求點P的坐標.
【解析】(3)當S=6時,則6=y,解得y=4,
∴4=x2,
解得x=2(負數舍去),
∴P(2,4);
(4)在拋物線y=x2上存在點P',使OP'=P'A,寫出點P'的坐標.
【解析】(4)∵OP'=P'A,
∴P'點橫坐標x=OA=,
把x=代入y=x2得y=,
故P'的坐標為(,).九　二次函數的圖象與性質(第2課時)
【A層 基礎夯實】
知識點1　二次函數y=ax2的圖象與性質
1.下列各點在二次函數y=-3x2圖象上的是( )
A.(-1,3)　 B.(-2,6) C.(-1,-3)　 D.(-2,12)
2.拋物線y=-x2,y=6x2,y=x2的共同性質是( )
A.開口向上　 B.都有最大值
C.對稱軸都是x軸　 D.頂點都是原點
3.在同一個平面直角坐標系中,二次函數y1=a1x2,y2=a2x2,y3=a3x2的圖象如圖所示,則a1,a2,a3的大小關系為 .
4.(2024·瀘州一模)已知點(1,y1),(2,y2)都在函數y=ax2(a<0)的圖象上,則y1與y2大小關系是y1 y2(填“>”“<”或“=”).
5.已知函數y=(m+3)是關于x的二次函數.
(1)求m的值;
(2)當m為何值時,該函數圖象的開口向下
(3)當m為何值時,該函數有最小值
知識點2　二次函數y=ax2+c的圖象與性質
6.(2024·長春質檢)二次函數y=x2+1的對稱軸是( )
A.y軸　 B.x軸 C.直線x=1　 D.直線y=1
7.將拋物線y=-x2+1向上平移2個單位長度,得到的拋物線是( )
A.y=-x2+3　 B.y=-(x-2)2+1
C.y=-x2-1　 D.y=-(x+2)2+1
8.(2024·上海二模)沿著x軸的正方向看,如果拋物線y=(k-1)x2+1在y軸左側的部分是上升的,那么k的取值范圍是 .
9.如果拋物線y=(a-1)x2+1(a為常數)經過了平面直角坐標系的四個象限,那么a的取值范圍是 .
10.已知點P(1,-2a)在二次函數y=ax2+6的圖象上,并且點P關于x軸的對稱點在反比例函數y=的圖象上.
(1)求二次函數和反比例函數的表達式.
(2)點(-1,4)是否同時在(1)中的兩個函數的圖象上
【B層 能力進階】
11.(2024·昆明期末)已知點(-6,y1),(-3,y2),(-1,y3)都在函數y=-x2+5的圖象上,則y1,y2,y3的大小關系為( )
A.y1>y2>y3　 B.y3>y2>y1
C.y2>y3>y1　 D.y3>y1>y2
12.在同一平面直角坐標系中,二次函數y=ax2與一次函數y=ax+a的圖象大致是( )
13.(2024·赤峰中考)如圖,正方形ABCD的頂點A,C在拋物線y=-x2+4上,點D在y軸上.若A,C兩點的橫坐標分別為m,n(m>n>0),下列結論正確的是( )
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
14.如圖,小明以拋物線為靈感,在平面直角坐標系中設計了一款高OD為14的獎杯,杯體軸截面ABC是拋物線y=x2+5的一部分,則杯口的口徑AC為 .
15.(2024·重慶期末)從-1,1,2這三個數中隨機抽取兩個數分別記為x,y,把點M的坐標記為(x,y),則點M(x,y)在拋物線y=x2+1上的概率為 .
16.如圖,拋物線y=ax2+4與y軸交于點A,過點A且與x軸平行的直線交拋物線y=2x2于B,C兩點,則線段BC的長為 .
17.拋物線y=2x2+n與直線y=2x-1交于點(m,3).
(1)求m和n的值;
(2)求拋物線y=2x2+n的頂點坐標和對稱軸.
【C層 創新挑戰(選做)】
18.(模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,已知拋物線y=ax2過點A(-3,).
(1)求拋物線的表達式;
(2)已知直線l過點A,M(,0)且與拋物線交于另一點B,與y軸交于點C,求證:MC2=MA·MB;
(3)若點P,D分別是拋物線與直線l上的動點,以OC為一邊且頂點為O,C,P,D的四邊形是平行四邊形,求所有符合條件的P點坐標.十一　二次函數的圖象與性質(第4課時)
【A層 基礎夯實】
知識點1　二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質
1.拋物線y=x2-bx+9的頂點在x軸上,則b的值一定為(D)
A.0　 B.6　 C.-6　 D.±6
2.若二次函數y=(m+2)x2-mx+m2-2m-8經過原點,則m的值為(B)
A.-2　 B.4 C.-2或4　 D.無法確定
3.已知二次函數y=ax2+bx+c,若a<0,b<0,c>0,那么它的圖象大致是(A)
4.(2024·綏化中考)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,對稱軸為直線x=-1,則下列結論:
①>0;
②am2+bm≤a-b(m為任意實數);
③3a+c<1;
④若M(x1,y),N(x2,y)是拋物線上不同的兩個點,則x1+x2≤-3.
其中正確的結論有(B)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
5.(2024·樂山中考)已知二次函數y=x2-2x(-1≤x≤t-1),當x=-1時,函數取得最大值;當x=1時,函數取得最小值.則t的取值范圍是(C)
A.06.二次函數y=-x2-2x+m圖象的最高點的橫坐標是　-1　.
7.已知二次函數y=x2-2x-m的圖象經過點(2,-3).求:
(1)該二次函數的表達式;
【解析】(1)將(2,-3)代入二次函數y=x2-2x-m得,-3=22-2×2-m,
解得m=3,
∴二次函數的表達式為y=x2-2x-3;
(2)函數圖象的頂點坐標;
【解析】(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
所以拋物線的頂點坐標為(1,-4);
(3)當自變量x滿足0【解析】(3)由(2)得,當x=1時,y取最小值-4,當x=0時,y=-3,當x=4時,y=5,∴當自變量x滿足0知識點2　二次函數y=ax2+bx+c的圖象平移
8.(2024·東莞一模)將拋物線y=x2+2的圖象向右平移2個單位長度后,再向下平移1單位長度,得到的拋物線的表達式為(C)
A.y=(x+2)2+3　 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x-2)2+1　 D.y=(x-2)2+3
9.將二次函數y=x2-2x-3的圖象先向右平移2個單位,再向上平移3個單位,得到二次函數y'的圖象,則二次函數y'有(C)
A.最大值-4　 B.最小值-4
C.最小值-1　 D.最大值-1
【B層 能力進階】
10.若拋物線y=-x2+bx+c經過點(-2,-3),則c-2b的值是(C)
A.-7　 B.-1　 C.1　 D.7
11.一次函數y=-ax+b(a≠0)與二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(B)
12.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,給出下列說法:
①ac>0;
②2a+b=0;
③a+b+c=0;
④當x<1時,函數y隨x的增大而增大;
⑤當y>0時,-1其中正確的是(D)
A.①②④　 B.②③④
C.②③⑤　 D.②④⑤
13.(易錯警示題·忽視分類討論遺漏其他情況)(2024·西安一模)若拋物線y=x2-2mx+m2+2m+1(m是常數)的頂點到x軸的距離為2,則m的值為(D)
A.-　 B. C.-或　 D.-或
14.(2023·上海中考)一個二次函數y=ax2+bx+c的頂點在y軸正半軸上,且其對稱軸左側的部分是上升的,那么這個二次函數的解析式可以是　y=-x2+1(答案不唯一)　.
15.已知二次函數y=ax2-6ax+6a,若當2≤x≤5時,y的最大值是3,則a的值為　3或-1　.
16.(2024·上海中考)對于一個二次函數y=a(x-m)2+k(a≠0)中存在一點P(x',y'),使得x'-m=y'-k≠0,則稱2|x'-m|為該拋物線的“開口大小”,那么拋物線y=-x2+x+3的“開口大小”為　4　.
【C層 創新挑戰(選做)】
17.(模型觀念、運算能力、應用意識)(2024·寧波模擬)已知二次函數y=x2-2kx+k-2的圖象過點(5,5).
(1)求二次函數的表達式.
【解析】(1)∵二次函數y=x2-2kx+k-2的圖象過點(5,5),
∴5=25-10k+k-2,
∴k=2,
∴二次函數的表達式為y=x2-4x;
(2)若A(x1,y1)和B(x2,y2)都是二次函數圖象上的點,且x1+2x2=2,求y1+y2的最小值.
【解析】(2)∵A(x1,y1)和B(x2,y2)都是二次函數圖象上的點,
∴y1=-4x1,y2=-4x2,
∴y1+y2=-4x1+-4x2,
∵x1+2x2=2,
∴x1=2-2x2,
∴y1+y2
=-4x1+-4x2
=(2-2x2)2-4(2-2x2)+-4x2
=5-4x2-4
=5(x2-)2-,
∵5>0,
∴y1+y2的最小值是-;
(3)若點P(a,n)和Q(b,n+2)都在二次函數的圖象上,且a【解析】(3)∵拋物線y=x2-4x=(x-2)2-4,
∴圖象開口向上,對稱軸為直線x=2,
∵點P(a,n)和Q(b,n+2)都在二次函數的圖象上,且a∴點P(a,n)和Q(b,n+2)在對稱軸的右側,此時b-a=1,則b=a+1,
∴a2-4a=n①,(a+1)2-4(a+1)=n+2②,
②-①得a=,
∴b=a+1=,
∴此時點P(,n)和Q(,n+2),
當點P是點(,n)的對稱點時,則b-a的值最大,
∵對稱軸為直線x=2,
∴點(,n)的對稱點為(,n),∴此時a=,
∴b-a的最大值為-=2.九　二次函數的圖象與性質(第2課時)
【A層 基礎夯實】
知識點1　二次函數y=ax2的圖象與性質
1.下列各點在二次函數y=-3x2圖象上的是(C)
A.(-1,3)　 B.(-2,6) C.(-1,-3)　 D.(-2,12)
2.拋物線y=-x2,y=6x2,y=x2的共同性質是(D)
A.開口向上　 B.都有最大值
C.對稱軸都是x軸　 D.頂點都是原點
3.在同一個平面直角坐標系中,二次函數y1=a1x2,y2=a2x2,y3=a3x2的圖象如圖所示,則a1,a2,a3的大小關系為　a3>a2>a1　.
4.(2024·瀘州一模)已知點(1,y1),(2,y2)都在函數y=ax2(a<0)的圖象上,則y1與y2大小關系是y1　>　y2(填“>”“<”或“=”).
5.已知函數y=(m+3)是關于x的二次函數.
(1)求m的值;
【解析】(1)∵函數y=(m+3)是關于x的二次函數,
∴m2+3m-2=2,m+3≠0,
解得m1=-4,m2=1;
(2)當m為何值時,該函數圖象的開口向下
【解析】(2)∵函數圖象的開口向下,
∴m+3<0,∴m<-3,
∴當m=-4時,該函數圖象的開口向下;
(3)當m為何值時,該函數有最小值
【解析】(3)∵當m+3>0時,拋物線有最低點,函數有最小值,
∴m>-3,
∴當m=1時,y=4x2有最小值,最小值為0.
知識點2　二次函數y=ax2+c的圖象與性質
6.(2024·長春質檢)二次函數y=x2+1的對稱軸是(A)
A.y軸　 B.x軸 C.直線x=1　 D.直線y=1
7.將拋物線y=-x2+1向上平移2個單位長度,得到的拋物線是(A)
A.y=-x2+3　 B.y=-(x-2)2+1
C.y=-x2-1　 D.y=-(x+2)2+1
8.(2024·上海二模)沿著x軸的正方向看,如果拋物線y=(k-1)x2+1在y軸左側的部分是上升的,那么k的取值范圍是　k<1　.
9.如果拋物線y=(a-1)x2+1(a為常數)經過了平面直角坐標系的四個象限,那么a的取值范圍是　a<1　.
10.已知點P(1,-2a)在二次函數y=ax2+6的圖象上,并且點P關于x軸的對稱點在反比例函數y=的圖象上.
(1)求二次函數和反比例函數的表達式.
【解析】(1)∵點P(1,-2a)在二次函數y=ax2+6的圖象上,
∴-2a=a+6,解得a=-2,
∴點P的坐標為(1,4),所求二次函數的表達式為y=-2x2+6.點P關于x軸對稱的點的坐標為(1,-4),∴k=-4,
∴所求反比例函數的表達式為y=-.
(2)點(-1,4)是否同時在(1)中的兩個函數的圖象上
【解析】(2)點(-1,4)既在二次函數y=-2x2+6的圖象上,也在反比例函數y=-的圖象上.
【B層 能力進階】
11.(2024·昆明期末)已知點(-6,y1),(-3,y2),(-1,y3)都在函數y=-x2+5的圖象上,則y1,y2,y3的大小關系為(B)
A.y1>y2>y3　 B.y3>y2>y1
C.y2>y3>y1　 D.y3>y1>y2
12.在同一平面直角坐標系中,二次函數y=ax2與一次函數y=ax+a的圖象大致是(B)
13.(2024·赤峰中考)如圖,正方形ABCD的頂點A,C在拋物線y=-x2+4上,點D在y軸上.若A,C兩點的橫坐標分別為m,n(m>n>0),下列結論正確的是(B)
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
14.如圖,小明以拋物線為靈感,在平面直角坐標系中設計了一款高OD為14的獎杯,杯體軸截面ABC是拋物線y=x2+5的一部分,則杯口的口徑AC為　9　.
15.(2024·重慶期末)從-1,1,2這三個數中隨機抽取兩個數分別記為x,y,把點M的坐標記為(x,y),則點M(x,y)在拋物線y=x2+1上的概率為 　.
16.如圖,拋物線y=ax2+4與y軸交于點A,過點A且與x軸平行的直線交拋物線y=2x2于B,C兩點,則線段BC的長為　2　.
17.拋物線y=2x2+n與直線y=2x-1交于點(m,3).
(1)求m和n的值;
【解析】(1)把(m,3)代入y=2x-1得2m-1=3,
解得m=2,
把(2,3)代入y=2x2+n得2×4+n=3,
解得n=-5;
(2)求拋物線y=2x2+n的頂點坐標和對稱軸.
【解析】(2)∵拋物線的解析式為y=2x2-5,
∴它的頂點坐標為(0,-5),對稱軸為y軸.
【C層 創新挑戰(選做)】
18.(模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,已知拋物線y=ax2過點A(-3,).
(1)求拋物線的表達式;
【解析】(1)把點A(-3,)代入y=ax2,
得到=9a,∴a=,
∴拋物線的表達式為y=x2.
(2)已知直線l過點A,M(,0)且與拋物線交于另一點B,與y軸交于點C,求證:MC2=MA·MB;
【解析】(2)設直線l的表達式為y=kx+b,
則有
解得
∴直線l的表達式為y=-x+.
令x=0,得到y=,∴C(0,),
由
解得或
∴B(1,).
如圖1中,過點A作AA1⊥x軸于A1,過B作BB1⊥x軸于B1,則BB1∥OC∥AA1,
∴===,===,∴=,
即MC2=MA·MB.
(3)若點P,D分別是拋物線與直線l上的動點,以OC為一邊且頂點為O,C,P,D的四邊形是平行四邊形,求所有符合條件的P點坐標.
【解析】(3)如圖2中,設P(t,t2),
∵OC為一邊且頂點為O,C,P,D的四邊形是平行四邊形,
∴PD∥OC,PD=OC,
∴D(t,-t+),
∴=,
整理得t2+2t-6=0或t2+2t=0,
解得t=-1-或-1+或-2或0(舍).
∴P(-1-,2+)或(-1+,2-)或(-2,1).十　二次函數的圖象與性質(第3課時)
【A層 基礎夯實】
知識點1　二次函數y=a(x-h)2的圖象與性質
1.(2024·張家口期末)拋物線y=3(x+2)2的開口向(C)
A.左　 B.右　 C.上　 D.下
2.已知函數y=(x-1)2.當0≤x≤3時,y的取值范圍為　0≤y≤4　.
知識點2　二次函數y=a(x-h)2+k的圖象與性質
3.已知關于x的二次函數y=-(x-m)2+1,當x>3時,y隨x的增大而減小,則實數m的取值范圍是(C)
A.m≤1　 B.04.二次函數y=-3(x-2)2-3的最大值為　-3　.
5.如果二次函數y=(x-1)2+m(m為常數)的圖象上有兩點(-3,y1)和(4,y2),那么y1　>　y2(填“>”“=”或“<”).
6.已知二次函數y=a(x-1)2+h.
(1)若函數圖象經過點A(0,4),B(2,m),求m的值;
【解析】(1)根據題意得,
∴m=4;
(2)當a<0,h>0時,求證:函數圖象與x軸有兩個交點.
【解析】(2)拋物線y=a(x-1)2+h的頂點坐標為(1,h),
∵a<0,∴圖象開口向下,
∵h>0,∴拋物線的頂點(1,h)在x軸上方,
∴函數圖象與x軸有兩個交點.
知識點3　二次函數圖象的平移
7.(2024·南通質檢)將拋物線y=3x2向右平移1個單位,再向上平移2個單位所得到的拋物線解析式為(B)
A.y=3(x+1)2+2 B.y=3(x-1)2+2
C.y=3(x+1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
8.將拋物線y=-x2平移,可以得到拋物線y=-(x+6)2-8,則正確的平移的方法是(D)
A.先向右平移6個單位,再向上平移8個單位
B.先向右平移6個單位,再向下平移8個單位
C.先向左平移6個單位,再向上平移8個單位
D.先向左平移6個單位,再向下平移8個單位
【B層 能力進階】
9.(2024·涼山州中考)拋物線y=(x-1)2+c經過(-2,y1),(0,y2),(,y3)三點,則y1,y2,y3的大小關系正確的是(D)
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
10.二次函數y=a(x-2)2+c與一次函數y=cx+a在同一坐標系中的大致圖象是(B)
11.如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=(x-h)2與x軸只有一個交點M,與平行于x軸的直線l交于點A,B,若AB=4,則點M到直線l的距離為(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(2024·石家莊一模)在學習“二次函數的性質”時,初三某班數學興趣小組的同學們進行了以下研究:如圖,將拋物線C1:y=-(x+1)2+2平移到拋物線C2:y=-(x-2)2-1,點P(m,n1),Q(m,n2)分別在拋物線C1,C2上.
甲:無論m取何值,都有n2<0.
乙:若點P平移后的對應點為P',則點P移動到點P'的最短路程為3;
丙:當-3A.只有丙說得錯
B.只有乙說得錯
C.只有甲說得對
D.甲、乙、丙說得都對
13.將二次函數y=x2的圖象向上平移2個單位長度,再向左平移3個單位長度,點P(2,n)在兩次平移后得到的函數圖象上,則n=　27　.
14.(易錯警示題)已知二次函數y=-(x-h)2(h為常數),當2≤x≤5時,y的最大值為-1,則h的值為　1或6　.
15.已知二次函數y=(x-3)2.
(1)寫出該二次函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標和該函數的最值;
【解析】(1)由題意,∵二次函數y=(x-3)2,
∴該二次函數圖象的開口向上,對稱軸是直線x=3,頂點坐標為(3,0),該函數有最小值為0.
(2)若點A(x1,y1),B(x2,y2)位于對稱軸右側的拋物線上,且x1【解析】(2)由題意,∵二次函數y=(x-3)2,
∴當x>3時,y隨x的增大而增大.
∵點A(x1,y1),B(x2,y2)位于對稱軸右側,且x1(3)拋物線y=(x+7)2可以由拋物線y=(x-3)2平移得到嗎 如果可以,請寫出平移的方法;如果不可以,請說明理由.
【解析】(3)由題意,按照“左加右減,上加下減”的規律進行判斷,∵x-3+10=x+7,
∴拋物線y=(x+7)2可以由拋物線y=(x-3)2向左平移10個單位得到.
【C層 創新挑戰(選做)】
16.(模型觀念、運算能力、應用意識)小明同學學習二次函數后,對函數y=-(|x|-2)2+1進行研究.在經歷列表、描點、連線步驟后得到如下的函數圖象,請根據函數圖象回答下列問題:
(1)觀察研究:
①方程-(|x|-2)2+1=-3的解為　x=-4或x=0或x=4　;
②關于x的方程-(|x|-2)2+1=a有四個實數根時,a的取值范圍是　-3【解析】(1)觀察題中圖象可知:
①方程-(|x|-2)2+1=-3的解為x=-4或x=0或x=4;
②關于x的方程-(|x|-2)2+1=a有四個實數根時,則a的取值范圍是-3(2)綜合應用:當函數y=-(|x|-2)2+1的圖象與直線y=x+b也有三個交點時,求出b的值;
【解析】(2)把點(0,-3)代入y=x+b得,b=-3;
令x+b=-(x-2)2+1,整理得x2-3x+b+3=0,
則Δ=(-3)2-4(b+3)=0,解得b=-.
∴當函數y=-(|x|-2)2+1的圖象與直線y=x+b有三個交點時,b的值為-3或-.
(3)延伸思考:將函數y=-(|x|-2)2+1的圖象經過怎樣的平移可得到函數y1=-(|x-1|-2)2+3圖象 請寫出平移過程,并直接寫出當2【解析】(3)將函數y=-(|x|-2)2+1的圖象向右平移1個單位,向上平移2個單位可得到函數y1=-(|x-1|-2)2+3的圖象,
當2【A層 基礎夯實】
知識點1　二次函數y=a(x-h)2的圖象與性質
1.(2024·張家口期末)拋物線y=3(x+2)2的開口向( )
A.左　 B.右　 C.上　 D.下
2.已知函數y=(x-1)2.當0≤x≤3時,y的取值范圍為 .
知識點2　二次函數y=a(x-h)2+k的圖象與性質
3.已知關于x的二次函數y=-(x-m)2+1,當x>3時,y隨x的增大而減小,則實數m的取值范圍是( )
A.m≤1　 B.04.二次函數y=-3(x-2)2-3的最大值為 .
5.如果二次函數y=(x-1)2+m(m為常數)的圖象上有兩點(-3,y1)和(4,y2),那么y1 y2(填“>”“=”或“<”).
6.已知二次函數y=a(x-1)2+h.
(1)若函數圖象經過點A(0,4),B(2,m),求m的值;
(2)當a<0,h>0時,求證:函數圖象與x軸有兩個交點.
知識點3　二次函數圖象的平移
7.(2024·南通質檢)將拋物線y=3x2向右平移1個單位,再向上平移2個單位所得到的拋物線解析式為( )
A.y=3(x+1)2+2 B.y=3(x-1)2+2
C.y=3(x+1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
8.將拋物線y=-x2平移,可以得到拋物線y=-(x+6)2-8,則正確的平移的方法是( )
A.先向右平移6個單位,再向上平移8個單位
B.先向右平移6個單位,再向下平移8個單位
C.先向左平移6個單位,再向上平移8個單位
D.先向左平移6個單位,再向下平移8個單位
【B層 能力進階】
9.(2024·涼山州中考)拋物線y=(x-1)2+c經過(-2,y1),(0,y2),(,y3)三點,則y1,y2,y3的大小關系正確的是( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
10.二次函數y=a(x-2)2+c與一次函數y=cx+a在同一坐標系中的大致圖象是( )
11.如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=(x-h)2與x軸只有一個交點M,與平行于x軸的直線l交于點A,B,若AB=4,則點M到直線l的距離為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(2024·石家莊一模)在學習“二次函數的性質”時,初三某班數學興趣小組的同學們進行了以下研究:如圖,將拋物線C1:y=-(x+1)2+2平移到拋物線C2:y=-(x-2)2-1,點P(m,n1),Q(m,n2)分別在拋物線C1,C2上.
甲:無論m取何值,都有n2<0.
乙:若點P平移后的對應點為P',則點P移動到點P'的最短路程為3;
丙:當-3A.只有丙說得錯
B.只有乙說得錯
C.只有甲說得對
D.甲、乙、丙說得都對
13.將二次函數y=x2的圖象向上平移2個單位長度,再向左平移3個單位長度,點P(2,n)在兩次平移后得到的函數圖象上,則n= .
14.(易錯警示題)已知二次函數y=-(x-h)2(h為常數),當2≤x≤5時,y的最大值為-1,則h的值為 .
15.已知二次函數y=(x-3)2.
(1)寫出該二次函數圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標和該函數的最值;
(2)若點A(x1,y1),B(x2,y2)位于對稱軸右側的拋物線上,且x1(3)拋物線y=(x+7)2可以由拋物線y=(x-3)2平移得到嗎 如果可以,請寫出平移的方法;如果不可以,請說明理由.
【C層 創新挑戰(選做)】
16.(模型觀念、運算能力、應用意識)小明同學學習二次函數后,對函數y=-(|x|-2)2+1進行研究.在經歷列表、描點、連線步驟后得到如下的函數圖象,請根據函數圖象回答下列問題:
(1)觀察研究:
①方程-(|x|-2)2+1=-3的解為 x=-4或x=0或x=4 ;
②關于x的方程-(|x|-2)2+1=a有四個實數根時,a的取值范圍是 -3(2)綜合應用:當函數y=-(|x|-2)2+1的圖象與直線y=x+b也有三個交點時,求出b的值;
(3)延伸思考:將函數y=-(|x|-2)2+1的圖象經過怎樣的平移可得到函數y1=-(|x-1|-2)2+3圖象 請寫出平移過程,并直接寫出當2

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